曲线积分与曲面积分重点总结+例题.docx
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曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分
【教学目标与要求】
1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.
3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.
4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】
1。
两类曲线积分的计算方法；
2。
格林公式及其应用；
3。
第一类曲面积分的计算方法；
【教学难点】
1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；
2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;
3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；
6.两类曲线积分的计算方法；
7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;
【参考书】
[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.
［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
§11.1对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量:
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点（x，y）处的线密度为μ（x，y）。
求曲线形构件的质量.
把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆sn（∆si也表示弧长）；
任取（ξi,ηi）∈∆si,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆si;
整个物质曲线的质量近似为;
令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn｝→0,则整个物质曲线的质量为
.
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：
∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆sn,并用∆si表示第i段的弧长;在每一弧段∆si上任取一点（ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在曲线弧L上对弧长的
曲线积分或第一类曲线积分,记作,即
.
其中f（x,y）叫做被积函数,L叫做积分弧段。
曲线积分的存在性：
当f（x,y）在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的。
以后我们总假定f（x，y）在L上是连续的。
根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值，其中μ（x，y）为线密度.
对弧长的曲线积分的推广:
.
如果L（或Γ）是分段光滑的,则规定函数在L（或Γ）上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定
。
闭曲线积分：
如果L是闭曲线，那么函数f（x,y）在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作。
对弧长的曲线积分的性质：
性质1设c1、c2为常数,则
；
性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则
;
性质3设在L上f（x,y）≤g（x,y）,则
.
特别地,有
二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f（x，y）,则曲线形构件L的质量为。
另一方面,若曲线L的参数方程为
x=ϕ（t）,y=ψ（t）（α≤t≤β），
则质量元素为
，
曲线的质量为
.
即.
定理设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为x=ϕ（t）,y=ψ（t）（α≤t≤β）,
其中ϕ（t）、ψ（t）在[α,β］上具有一阶连续导数，且ϕ'2（t）+ψ'2（t）≠0,则曲线积分存在,且
（α<β）。
应注意的问题：
定积分的下限α一定要小于上限β。
讨论：
（1）若曲线L的方程为y=ψ（x）（a≤x≤b），则=?
提示：
L的参数方程为x=x，y=ψ（x）（a≤x≤b），
。
（2）若曲线L的方程为x=ϕ（y）（c≤y≤d）,则=?
提示:
L的参数方程为x=ϕ（y）,y=y（c≤y≤d）,
.
（3）若曲Γ的方程为x=ϕ（t），y=ψ（t）,z=ω（t）（α≤t≤β），
则=?
提示:
。
例1计算,其中L是抛物线y=x2上点O（0，0）与点B（1,1）之间的一段弧。
解曲线的方程为y=x2（0≤x≤1），因此
。
例2计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I（设线密度为μ=1）.
解取坐标系如图所示,则.曲线L的参数方程为
x=Rcosθ,y=Rsinθ（α≤θ〈α）.
于是
=R3（α-sinαcosα）.
例3计算曲线积分,其中Γ为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2π的一段弧.
解在曲线Γ上有x2+y2+z2=（acost）2+（asint）2+（kt）2=a2+k2t2，并且
于是
.
小结
用曲线积分解决问题的步骤:
（1）建立曲线积分;
（2）写出曲线的参数方程（或直角坐标方程），确定参数的变化范围;
（3）将曲线积分化为定积分；
（4）计算定积分.
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
1。
已知椭圆周长为a,求.
2。
设C是由极坐标系下曲线及所围成区域的边界，求
讲课提纲、板书设计
作业P190：
3
（1）（3）（5）（7）
§11。
2对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功：
设一个质点在xOy面内在变力F（x，y）=P（x，y）i+Q（x，y）j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F（x，y）所作的功.
用曲线L上的点A=A0，A1，A2,⋅⋅⋅,An1，An=B把L分成n个小弧段,
设Ak=（xk,yk），有向线段的长度为∆sk,它与x轴的夹角为τk,则
（k=0，1,2,⋅⋅⋅,n1）。
显然，变力F（x，y）沿有向小弧段所作的功可以近似为
;
于是,变力F（x，y）所作的功
从而
。
这里τ=τ（x,y），{cosτ,sinτ｝是曲线L在点（x,y）处的与曲线方向一致的单位切向量.
把L分成n个小弧段:
L1,L2，⋅⋅⋅,Ln;变力在Li上所作的功近似为：
F（ξi,ηi）⋅∆si=P（ξi,ηi）∆xi+Q（ξi,ηi）∆yi；
变力在L上所作的功近似为：
；
变力在L上所作的功的精确值：
其中λ是各小弧段长度的最大值.
提示:
用∆si={∆xi,∆yi}表示从Li的起点到其终点的的向量.用∆si表示∆si的模。
对坐标的曲线积分的定义：
定义设函数f（x,y）在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1，L2，⋅⋅⋅，Ln;小弧段Li的起点为（xi-1,yi1）,终点为（xi,yi），∆xi=xixi1,∆yi=yiyi-1；（ξi，η）为Li上任意一点,λ为各小弧段长度的最大值.
如果极限总存在，则称此极限为函数f（x,y）在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作,即,
设L为xOy面上一条光滑有向曲线,{cosτ，sinτ｝是与曲线方向一致的单位切向量,函数P（x,y）、Q（x，y）在L上有定义。
如果下列二式右端的积分存在，我们就定义
，
前者称为函数P（x，y）在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,后者称为函数Q（x，y）在有向曲线L上对坐标y的曲线积分，对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分。
定义的推广：
设Γ为空间内一条光滑有向曲线，{cosα,cosβ，cosγ}是曲线在点（x，y，z）处的与曲线方向一致的单位切向量，函数P（x,y，z）、Q（x,y，z）、R（x，y，z）在Γ上有定义.我们定义（假如各式右端的积分存在）
，
。
，,
.
对坐标的曲线积分的简写形式:
；
.
对坐标的曲线积分的性质：
（1）如果把L分成L1和L2，则
.
（2）设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的有向曲线弧,则
.
两类曲线积分之间的关系：
设{cosτi,sinτi｝为与∆si同向的单位向量，我们注意到{∆xi,∆yi}=∆si,所以
∆xi=cosτi⋅∆si,∆yi=sinτi⋅∆si，
，
。
即，
或。
其中A=｛P，Q｝，t=｛cosτ，sinτ}为有向曲线弧L上点（x，y）处单位切向量，dr=tds={dx,dy｝。
类似地有
，
或。
其中A={P，Q,R},T={cosα,cosβ,cosγ}为有向曲线弧Γ上点（x，y，z）处单们切向量，dr=Tds=｛dx,dy，dz｝，At为向量A在向量t上的投影。
二、对坐标的曲线积分的计算：
定理：
设P（x，y）、Q（x,y）是定义在光滑有向曲线L：
x=ϕ（t），y=ψ（t）,上的连续函数,当参数t单调地由α变到β时，点M（x,y）从L的起点A沿L运动到终点B,则
，
.
讨论:
=？
提示：
。
定理:
若P（x，y）是定义在光滑有向曲线L:
x=ϕ（t），y=ψ（t）（α≤t≤β）上的连续函数，L的方向与t的增加方向一致,则
.
简要证明：
不妨设α≤β.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为｛ϕ'（t）,ψ'（t）},
所以,
从而
.
应注意的问题：
下限a对应于L的起点,上限β对应于L的终点，α不一定小于β.
讨论：
若空间曲线Γ由参数方程x=ϕ（t）,y=ψ（t）,z=ω（t）给出，那么曲线积分
=？
如何计算?
?
提示：
，
其中α对应于Γ的起点,β对应于Γ的终点.
例题:
例1.计算,其中L为抛物线y2=x上从点A（1，1）到点B（1，1）的一段弧。
例2。
计算.
（1）L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2；
（2）从点A（a，0）沿x轴到点B（-a,0）的直线段。
例3计算。
（1）抛物线y=x2上从O（0，0）到B（1,1）的一段弧;
（2）抛物线x=y2上从O（0，0）到B（1,1）的一段弧；（3）从O（0，0）到A（1,0）,再到R（1，1）的有向折线OAB.
例4.计算，其中Γ是从点A（3,2，1）到点B（0,0,0）的直线段.
例5.设一个质点在M（x，y）处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点.此质点由点A（a，0）沿椭圆按逆时针方向移动到点B（0,b）,求力F所作的功W。
小结
1.第二类曲线积分的定义;
2.第二类曲线积分的计算方法.
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
1。
已知为折线ABCOA,计算
讲课提纲、板书设计
作业P200：
3
（1）（3）（5）（7）,4
§11.3格林公式及其应用
一、格林公式
单连通与复连通区域:
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。
对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下:
当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边.
区域D的边界曲线的方向：
定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成，函数P（x,y）及Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数,则有
其中L是D的取正向的边界曲线.
简要证明:
仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明.
设D=｛（x,y）|ϕ1（x）≤y≤ϕ2（x），a≤x≤b}.因为连续，所以由二重积分的计算法有
.
另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
.
因此
。
设D={（x,y）｜ψ1（y）≤x≤ψ2（y）,c≤y≤d}。
类似地可证
。
由于D即是X－型的又是Y－型的,所以以上两式同时成立，两式合并即得
。
应注意的问题:
对复连通区域D，格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向。
设区域D的边界曲线为L,取P=y，Q=x，则由格林公式得
，或.
例1.椭圆x=acosθ，y=bsinθ所围成图形的面积A。
分析：
只要，就有.
例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明
。
例3。
计算,其中D是以O（0,0）,A（1，1），B（0，1）为顶点的三角形闭区域.
分析:
要使，只需P=0,.
例4计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向。
解:
令，.则当x2+y2≠0时，有.
记L所围成的闭区域为D.当（0,0）∉D时,由格林公式得；
当（0，0）∈D时,在D内取一圆周l：
x2+y2=r2（r〉0）。
由L及l围成了一个复连通区域D1，应用格林公式得
其中l的方向取逆时针方向.
于是=2π。
记L所围成的闭区域为D。
当（0,0）∉D时,由格林公式得
.
分析:
这里,,当x2+y2≠0时,有.
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关：
设G是一个开区域,P（x,y）、Q（x，y）在区域G内具有一阶连续偏导数.如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2,等式
恒成立，就说曲线积分在G内与路径无关，否则说与路径有关。
设曲线积分在G内与路径无关，L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线,则有
因为
⇔
⇔⇔,
所以有以下结论:
曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意
闭曲线C的曲线积分等于零.
定理2设开区域G是一个单连通域,函数P（x，y）及Q（x，y）在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式
在G内恒成立.
充分性易证:
若，则,由格林公式,对任意闭曲线L,有.
必要性：
假设存在一点M0∈G，使,不妨设η>0，则由的连续性，存在M0的一个δ邻域U（M0,δ）,使在此邻域内有.于是沿邻域U（M0,δ）边界l的闭曲线积分
这与闭曲线积分为零相矛盾，因此在G内.
应注意的问题：
定理要求,区域G是单连通区域,且函数P（x，y）及Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数.如果这两个条件之一不能满足,那么定理的结论不能保证成立。
破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点.
例5计算，其中L为抛物线y=x2上从O（0,0）到B（1，1）的一段弧。
解：
因为在整个xOy面内都成立,
所以在整个xOy面内，积分与路径无关。
.
讨论:
设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向,问是否一定成立?
提示:
这里和在点（0，0）不连续.
因为当x2+y2≠0时，，所以如果（0,0）不在L所围成的区域内，则结论成立，而当（0,0）在L所围成的区域内时，结论未必成立.
三、二元函数的全微分求积
曲线积分在G内与路径无关，表明曲线积分的值只与起点从点（x0,y0）与终点（x，y）有关.
如果与路径无关，则把它记为
即。
若起点（x0,y0）为G内的一定点，终点（x，y）为G内的动点,则
u（x,y）
为G内的的函数.
二元函数u（x,y）的全微分为du（x，y）=ux（x，y）dx+uy（x,y）dy。
表达式P（x,y）dx+Q（x，y）dy与函数的全微分有相同的结构，但它未必就是某个函数的全微分。
那么在什么条件下表达式P（x，y）dx+Q（x，y）dy是某个二元函数u（x,y）的全微分呢？
当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢?
定理3设开区域G是一个单连通域,函数P（x，y）及Q（x，y）在G内具有一阶连续偏导数,则P（x，y）dx+Q（x，y）dy在G内为某一函数u（x,y）的全微分的充分必要条件是等式
在G内恒成立.
简要证明:
必要性:
假设存在某一函数u（x,y）,使得du=P（x，y）dx+Q（x，y）dy,
则有,.因为、连续，所以，即.
充分性:
因为在G内,所以积分在G内与路径无关。
在G内从点（x0，y0）到点（x,y）的曲线积分可表示为u（x，y）。
因为u（x,y）
，
所以.
类似地有，从而du=P（x,y）dx+Q（x，y）dy.即P（x，y）dx+Q（x，y）dy是某一函数的全微分。
求原函数的公式:
。
例6验证:
在右半平面（x>0）内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.
解:
这里，.
因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数,且有
所以在右半平面内，是某个函数的全微分。
取积分路线为从A（1,0）到B（x,0）再到C（x,y）的折线,则所求函数为
.
问:
为什么（x0，y0）不取（0，0）？
例7验证：
在整个xOy面内，xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数.
解这里P=xy2，Q=x2y.
因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,且有
所以在整个xOy面内,xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分。
取积分路线为从O（0,0）到A（x,0）再到B（x,y）的折线,则所求函数为
。
思考与练习:
1。
在单连通区域G内，如果P（x,y）和Q（x，y）具有一阶连续偏导数，且恒有,那么
（1）在G内的曲线积分是否与路径无关?
（2）在G内的闭曲线积分是否为零?
（3）在G内P（x，y）dx+Q（x，y）dy是否是某一函数u（x，y）的全微分？
2.在区域G内除M0点外,如果P（x，y）和Q（x，y）具有一阶连续偏导数，且恒有,G1是G内不含M0的单连通区域，那么
（1）在G1内的曲线积分是否与路径无关?
（2）在G1内的闭曲线积分是否为零?
（3）在G1内P（x,y）dx+Q（x,y）dy是否是某一函数u（x,y）的全微分?
3。
在单连通区域G内,如果P（x，y）和Q（x,y）具有一阶连续偏
导数，，但非常简单，那么
（1）如何计算G内的闭曲线积分?
（2）如何计算G内的非闭曲线积分？
（3）计算,其中L为逆时针方向的
上半圆周（x-a）2+y2=a2，y≥0，
小结
1.格林公式
2。
格林公式中的等价条件。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意格林公式和其中的等价条件，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
讲课提纲、板书设计
作业P214:
2
（1）；3；4（3）；
5
（1）,（4）；6
（2）,（5）
§11.4对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
物质曲面的质量问题：
设∑为面密度非均匀的物质曲面,其面密度为ρ（x，y,z），求其质量:
把曲面分成n个小块：
∆S1，∆S2,⋅⋅⋅，∆Sn（∆Si也代表曲面的面积）；求质量的近似值:
（（ξi，ηi,ζi）是∆Si上任意一点）；取极限求精确值：
（λ为各小块曲面直径的最大值）。
定义设曲面∑是光滑的,函数f（x,y，z）在∑上有界.把∑任意分成n小块:
∆S1,∆S2，⋅⋅⋅,∆Sn（∆Si也代表曲面的面积）,在∆Si上任取一点（ξi，ηi，ζi）,如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时,极限总存在,则称此极限为函数f（x,y,z）在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分,记作，即
。
其中f（x,y，z）叫做被积函数,∑叫做积分曲面。
对面积的曲面积分的存在性：
我们指出当f（x，y，z）在光滑曲面∑上连续时对面积的曲面积分是存在的。
今后总假定f（x,y,z）在∑上连续.
根据上述定义面密度为连续函数ρ（x，y，z）的光滑曲面∑的质量M可表示为ρ（x,y，z）在∑上对面积的曲面积分:
如果∑是分片光滑的我们规定函数在∑上对面积的曲面积分等于函数在光滑的
各片曲面上对面积的曲面积分之和.例如设∑可分成两片光滑曲面∑1及∑2（记作∑=∑1+∑2）就规定
.
对面积的曲面积分的性质:
（1）设c1、c2为常数,则
;
（2）若曲面∑可分成两片光滑曲面∑1及∑2,则
;
（3）设在曲面∑上f（x,y,z）≤g（x,y,z）,则
;
（4）,其中A为曲面∑的面积.
二、对面积的曲面积分的计算
面密度为f（x，y,z）的物质曲面的质量为.
另一方面,如果∑由方程z=z（x，y）给出，∑在xOy面上的投影区域为D，那么曲面的面积元素为
质量元素为
。
根据元素法,曲面的质量为
.
因此。
化曲面积分为二重积分：
设曲面∑由方程z=z（x,y）给出，∑在xOy面上的投影区域为Dxy,函数z=z（x,y）在Dxy上具有连续偏导数,被积函数f（x，y,z）在∑上连续,则
。
如果积分曲面∑的方程为y=y（z，x）,Dzx为∑在zOx面上的投影区域,则函数f（x，y,z）在∑上对面积的曲面积分为
.
如果积分曲面∑的方程为x=x（y,z）,Dyz为∑在yOz面上的投影区域,则函数f（x，y,z）在∑上对面积的曲面积分为
。
例1计算曲面积分，其中∑是球面x2+y2+z2=a2被平面
z=h（0解∑的方程为,Dxy:
x2+y2≤a2h2.
因为，，
所以
.
提示:
.
例2计算，其中∑是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面。
解整个边界曲面∑在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次记为∑1、∑2、∑3及∑4,于是
.
提示:
∑4:
z=1-x-y,
.
小结
1。
对面积的曲面积分的定义和计算
2。
格林公式中的等价条件。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式，简化计算的技巧。
，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
课后习题：
1，3，7
讲课提纲、板书设计
作业P218：
4（3）；5
（2）;6
（1）,（3），（4）；8
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