数学建模艾滋病之役.docx

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数学建模艾滋病之役

艾滋病之役

摘要

本文研究的是艾滋病的预测和预防问题，艾滋病毒肆虐人间已达26年之久，严重威胁着人类的健康和社会的发展，因此我们研究有关艾滋病的预测和预防问题显得越来越必要。

对问题1，运用传染病基本原理，将人群分为两大类、六小类，即易感人群（正常男性、正常女性、正常婴儿）与感染人群（HIV男性感染者、HIV女性感染者、HIV婴儿感染者），同时考虑艾滋病自身特色的三种传播途径，在无任何干预下，在经典传染病模型的基础上，建立了艾滋病传染的差分模型。

然后，考虑两种基本干预（ARV与预防性疫苗的使用）对不同传播途径的阻碍，引入药物的覆盖率，作为对各自传播途径的阻碍因子，建立了干预下的差分模型。

对问题2，首先基于国内艾滋病发病的严重程度与人均GNP，确定分类的指标，将国家分为可援助与待援助两类，在相应的假设下得到各国期望而且有可能得到的用于抗击HIV/AIDS的来自国外捐赠人资助的资金水平。

然后，考虑各国可用于抗击HIV/AIDS的资金总额，包括国外援助与国内预算。

最后，对三种方案分开做了较为详细的讨论，特别是方案1、2.对方案1，按可用资金的覆盖率，作为阻碍因子，运用1中的干预模型求解；对方案2，将时间分段，在较为合理的假设下，建立疫苗的投入使用年份与额外投资的关系，得到投入使用年份，在人群的不同的接种率下，得到疫苗的阻碍因子，并在干预模型下求解；对方案3，在方案1、2的基础上，考虑资金的分配比，结合查分方程组与单目标规划，得到最佳的分配比，同时得到艾滋病感染者的变化率。

关键词：

差分模型HIV感染率目标规划

1、问题重述

艾滋病严重地威胁着人类的生存，已引起世界卫生组织及各国政府的高度重视。

艾滋病在世界范围内的传播越来越迅猛，严重威胁着人类的健康和社会的发展，已成为威胁人们健康的第四大杀手。

HIV/AIDS（人体免疫缺损病毒/艾滋病）的大范围流行已经进入第25年，由于这种疾病导致的感染人数和死亡人数一直在不断上升.尽管已经付出了巨大的努力，但是国际社会对怎样才能最有效地抗击这种流行病仍然心中无数。

各国政府对防止艾滋病蔓延应予以充分重视，以防止状况进一步恶化。

据专家介绍，艾滋病病毒感染者从感染初期算起，要经过数年、甚至长达10年或更长的潜伏期后才会发展成艾滋病病人。

对于怎样管理可利用的资源来抗击HIV/AIDS提出建议，对令人关注的几种方案进行建模,并用模型就资金分配提出建议.下面的说明提供了某些背景资料,也概述了特定的任务.

任务1：

在每个大洲（非洲、亚洲、欧洲、北美洲、澳洲和南美洲）选择一个你们认为在HIV/AIDS方面是最严重的国家.建立模型来粗略估计这些国家在没有任何其他的干预时从2006年到2050年HIV/AIDS感染人数的变化率.确切地解释你们的模型以及作为你们的模型的基础的那些假设.另外,解释一下你们是如何选择要对之进行建模的国家的.

任务2首先,对你2006到2050年们在任务1中选择的国家,从按年评估你们实际上期望得到的可以用于抗击HIV/AIDS的来自国外捐赠人资助的资金水平.然后,对下面三种方案的符合实际的假设下,利用你们在任务1中研制的模型以及这些资金资源的估计,评估你们选定的国家2006-2050年HIV/AIDS感染人数预期的变化率:

（1）Antiretroviral（ARV）药物治疗

（2）预防性HIV/AIDS疫苗

（3）同时采用ARV准备和预防性HIV/AIDS疫苗

假设上述三种方案都不会有出现HIV抗药菌株的风险（你们将在任务3中考察这个问题）.

可以选择在收支取舍点、疾病负担等的基础上对任务1中选定的所有国家或部分国家执行上述三种方案.

对于预防性HIV疫苗，请对（除了你们可能已经选来包括在你们模型中的其它因素以外的）以下情况做出你们认为合理的假设：

（1）预防性HIV/AIDS疫苗可以投入实用的年份

（2）多快的疫苗接种率有可能达到以下的疫苗接种的稳定水平:

a.如果你们希望使新的一群人（幼儿）得到免疫,那么就假设按国家的新的人群的稳定接种水平就是WHO（2002）报告的白喉-百日咳-破伤风疫苗第三剂（DTP3）的免疫率

b.如果你们希望使成人（5岁以上的人群）得到免疫,那么就假设年龄较大人群的稳定接种水平就是WHO（2002）报告的破伤风类毒素第二剂（TT2）的免疫率

（3）疫苗的功效及其有效期

（4）是否存在来自疫苗接种的流行病学的外部偶然因素

（5）假设疫苗是三剂的（three-dose）,而且可以加进疫苗的标准封装随着WHO的免疫扩展计划（EPI）一起以另外0.75美元的增加成本发放.

任务3：

考虑以下关于ARV抗药性菌株的研制的假设,重新阐明你们在任务2中研制的三个模型

当前的评估表明,采用ARV治疗的病人的坚持程度低于90％-95％的话,有产生抗药性菌株的“巨大危险”.在你们的分析中可以采用假设：

接受ARV治疗的病人的坚持程度低于90％,就有5％的可能性产生对抗标准的一线药物治疗的HIV/AIDS菌株产生抗药性.

人们也可以使用二线和三线药物治疗但在你们的分析中应假设,要在欧洲、日本和美国以外的国家要使用这些药物将会是昂贵得负担不起的.

任务4：

向联合国写一份白皮书，就如下问题提出你们的建议：

（1）就抗击HIV/AIDS中ARV药物的供应和预防性HIV疫苗的可利用资源的分配提出建议

（2）相对于其他外交政策的优先性而言,你们关于怎样权衡作为国际关心的HIV/AIDS的重要性的论证

（3）你们对怎样协调捐赠人对HIV/AIDS的介入的建议

二、模型假设

（1）不考虑艾滋病毒的二次感染；

（2）在预测中使用的参量不随时间变化；

（3）HIV感染女性的生育情况与正常女性相同；

（4）在预测中，不考虑病毒变异等新情况的发生；

（5）在期望国外捐助时只考虑艾滋病疫情和各国GNP，不考虑其他因素；

三、符号说明

参量

意义

dearh-rate1

成年人非艾滋病致亡率

death-rate2

婴儿非艾滋病致亡率

death-rate3

艾滋病患者死亡率

k（1,1）

每年生育的normalb人数占normalw的百分比

k（1,2）

每年生育的hivb人数占hivw的百分比

k（2,1）

每年normalm因性接触成为hivm的人数占normalm的百分比

k（2,2）

每年normalw因性接触成为hivw的人数占normalw的百分比

k（3,1）

每年normalm因血液传播成为hivb的人数占normalm的百分比

k（3,2）

每年normalw因血液传播成为hivw的人数占normalw的百分比

k（3,3）

每年normalb因血液传播成为hivb的人数占normalb的百分比

k（4,1）

每年normalb成长为normalm的人数占normalb的百分比

k（4,2）

每年normalb成长为normalw的人数占normalb的百分比

k（5,1）

每年hivb成长为hivm的人数占hivb的百分比

k（5,2）

每年hivb成长为hivw的人数占hivb的百分比

k（6,1）

每年normalm非艾滋病致亡的百分比

k（6,2）

每年hivm非艾滋病致亡的百分比

k（7,1）

每年normalw非艾滋病致亡的百分比

k（7,2）

每年hivw非艾滋病致亡的百分比

k（8,1）

每年normalb非艾滋病致亡的百分比

k（8,2）

每年hivb非艾滋病致亡的百分比

k（10,1）

每年hivm因艾滋病死亡的百分比

k（10,2）

每年hivw因艾滋病死亡的百分比

变量

意义

normalm

没有携带HIV病毒的正常男性

normalw

没有携带HIV病毒的正常女性

normalb

没有携带HIV病毒的正常婴儿

hivm

HIV男性感染者

hivw

HIV女性感染者

hivb

HIV婴儿感染者

四、问题分析

本文研究的是艾滋病的预测与预防问题，自１９８１年美国研究人员发现世界首例艾滋病病例后，艾滋病在全球范围内迅速蔓延，逐渐成为全球关注的重要公共卫生事件和社会热点问题。

艾滋病的传播途径主要分为三种：

性接触传播、血液传播、母婴传播。

就人们是否感染HIV病毒可以将人群分为两大类，6小类即：

已感染者和未感染者两大类，其中未感染者分为正常男性、正常女性和正常婴儿，已感染者包括HIV男性、HIV女性以及HIV婴儿。

这几类人群之间的关系如下所示：

人群关系流程图

路径说明：

1：

艾滋病毒的母婴传播2：

因性接触而感染HIV病毒

3：

因血液传播而感染HIV病毒4：

正常成长

5：

因艾滋病而死6：

正常生育

7：

非艾滋原因正常死亡

上述人群关系流程图为客观存在的，一般不会因认为的干预而变动，故在以下的求解中均可运用。

在任务一无任何干预的情况下，可直接由此流程图列节点方程，图中各条路径中的参量可以根据题目已给数据和网上查找得到，具体数据见附录。

当人们进行药物治疗、疫苗预防等手段干预时，只是一些参数需要改变，具体的流程还是如上图所示。

五、模型建立

5.1任务一

5.1.1国家的选择

大洲代表国家的选择，可以根据题目建议选择艾滋疫情较为严重的国家，根据题目提供的hiv_aids_data.xls表格中的数据，可以很容易的找出各个大洲艾滋病感染人数最多的国家分别是southAfrica、India、USA、Russianfederation、Australia、Brazil。

这些国家的艾滋病感染人数在其所在的大洲中是最高的，而且艾滋病患者占本国总人口的百分比也相对较高，例如南非，其国家艾滋病患者有550万人，为世界之最，而且患者人数占本国人口的百分比也高达20%；至于印度，虽然HIV感染人数占本国的百分比较小，但由于其人口基数较大，所以患者人数也不容小视。

故，选这六个国家来作为六大洲艾滋疫情的代表国家是合乎情理的。

5.1.2差分模型的建立

根据人群关系流程图，每个节点的输入、输出与现状都处于动态平衡，下面我们给出了每个节点的含义解释，并由此列出每个节点的差分方程：

（1）相比第t年，第t+1年初种群normalm的数量一方面因为第t年种群normalb的成长而增加，另一方面，又因为第t年由传播途径2、3转化为HIV携带者，以及非艾滋病致亡而减少

（2）相比第t年，第t+1年初种群normalw的数量一方面因为第t年种群normalb的成长而增加，另一方面，又因为第t年由传播途径2、3转化为HIV携带者，以及非艾滋病致亡而减少

（3）相比第t年，第t+1年初种群normalb一方面因为第t年种群normalw的生育而增加，另一方面又因为自身的死亡、通过途径3转化为携带者，以及正常成长为normalm、normalw而减少

（4）相比第t年，第t+1年初种群hivm因为第t年种群normalm经途径2、3转化，以及hivb的成长而增加，又因为自身非艾滋病致亡，以及潜伏期结束转化为种群aidsm而减少

（5）相比第t年，第t+1年初种群hivw因为第t年种群normalw经途径2、3转化，以及hivb的成长而增加，又因为自身非艾滋病致亡，以及潜伏期结束转化为种群aidsw而减少

（6）相比第t年，第t+1年初种群hivb一方面因为第t年种群hivw的生育以及normalb经途径3转化为携带者hivb而增加，另一方面又因为自身的非艾滋病致亡，以及成长为hivm、hivw而减少

根据上述六个差分方程可以计算出每一年各种人群的数量，由此可以建立每年艾滋病毒感染者的变化率模型：

第t年初，HIV/AIDS受害者由本年初种群hivm（t）、hivw（t）、以及hivb（t）组成，

第t+1年初，艾滋病感染者的人数相对第t年初的人数的变化率，

5.1.3模型求解

根据以上模型，以美国为例，利用MATLAB数学工具可以求得结果如下：

美国2005-2050人口预测

年份

Normalm

Normalw

Normalb

HIVm

HIVw

HIVb

变化率

2005

15200

1707.872

42.5

4.60676

2006

15236.32

15236.328

1781.310

43.2816

4.84698

0.0198

2007

15279.67

15279.678

1840.567

44.0819

5.05944

0.0196

2008

15328.57

15328.571

1888.776

44.8984

5.25039

0.0193

2009

15381.85

15381.852

1928.379

45.7290

5.42476

0.0191

2010

15438.62

15438.622

1961.281

46.5721

5.58637

0.0188

2011

15498.18

15498.180

1988.967

47.4264

5.73819

0.0186

2012

15559.98

15559.980

2012.594

48.2910

5.88259

0.0184

2013

15623.59

15623.596

2033.067

49.1652

49.1653

6.02139

0.0182

2014

15688.69

15688.696

2051.089

50.0485

6.15601

0.0180

2015

15755.02

15755.023

2067.209

50.9404

6.28759

0.0178

2016

15822.37

15822.375

2081.855

51.8405

6.41697

0.0177

2017

15890.59

15890.595

2095.361

52.7486

6.54485

0.0175

2018

15959.56

15959.563

2107.989

53.6646

6.67178

0.0173

2019

16029.18

16029.184

2119.939

54.5883

6.79816

0.0171

2020

16099.38

16099.384

2131.371

55.5196

6.9243

0.0170

2021

16170.10

16170.106

2142.409

56.4585

7.0505

0.0168

2022

16241.30

16241.306

2153.148

57.4049

7.1769

0.0167

2023

16312.95

16312.951

2163.665

58.358

7.3038

0.0165

2024

16385.01

16385.012

2174.017

59.320

7.4313

0.0164

2025

16457.47

16457.472

2184.250

60.289

7.5593

0.0162

2026

16530.31

16530.315

2194.401

61.265

7.6880

0.0161

2027

16603.52

16603.528

2204.496

62.249

7.8175

0.0160

2028

16677.10

16677.102

2214.559

63.241

63.240

7.9479

0.0158

2029

16751.03

16751.033

2224.605

64.240

8.0791

0.0157

2030

16825.31

16825.314

2234.648

65.246

8.2112

0.0156

2031

16899.94

16899.942

2244.699

66.261

8.3443

0.0155

2032

16974.91

16974.915

2254.765

67.283

8.4783

0.0153

2033

17050.23

17050.231

2264.854

68.313

8.6132

0.0152

2034

17125.89

17125.890

2274.970

69.350

8.7492

0.0151

2035

17201.89

17201.892

2285.118

70.396

8.8862

0.0150

2036

17278.23

17278.236

2295.299

71.449

9.0242

0.0149

2037

17354.92

17354.922

2305.518

72.511

72.510

9.1632

0.0148

2038

17431.95

17431.953

2315.775

73.580

9.3032

0.0147

2039

17509.32

17509.327

2326.073

74.657

9.4443

0.0146

2040

17587.04

17587.047

2336.413

75.743

9.5865

0.0145

2041

17665.11

17665.113

2346.796

76.836

9.7297

0.0144

2042

17743.52

17743.527

2357.222

77.938

9.8740

0.0143

2043

17822.29

17822.290

2367.693

79.048

10.0193

0.0142

2044

17901.40

17901.404

2378.208

80.166

10.1658

0.0141

2045

17980.86

17980.869

2388.769

81.293

10.3133

0.0140

2046

18060.68

18060.687

2399.377

82.427

10.4620

0.0139

2047

18140.86

18140.860

2410.030

83.571

10.6117

0.0138

2048

18221.38

18221.389

2420.731

84.723

10.7626

0.0137

2049

18302.27

18302.276

2431.478

85.883

10.9146

0.0136

2050

18383.52

18383.522

2442.273

87.052

11.0678

0.0136

根据上面计算所得结果，可以很容易的看出，在没有外界干预的情况下，美国的总人口在不断的增加，HIV病毒的感染者也在不断增加，不管是成人还是婴儿中的艾滋病患者都在增加，但是由于在本文中用到的数据都是体现目前国际情况，所以还是有一定的人为干预存在，故，此次计算得到的数据有失一定的准确性，特别是在艾滋病人数变化率上，结果显示虽然患者总人数在增加，但相对于国家总人数的增加，患者的增长率有减小趋势。

由此说明，在未来的45年，如果没有人为干预，美国的艾滋病感染者将会持续增加，而且很可能比数据显示的更加严重。

5.1.4疫苗使用模型

考虑ARV以及疫苗的使用：

ARV的作用群体该是HIV携带者以及AIDS患者，而疫苗的作用群体该是易感人群。

疫苗的使用降低了易感人群转化为携带者的比率，等价于将转化率打折扣（1-pi）（其中pi可视为疫苗的效用，与疫苗的接种水平正相关）；同样，ARV的使用一方面降低了HIV携带者转化为AIDS的比率，等价于将转化率打折扣（1-qi）（其中qi可视为ARV对携带者的效用，与普及程度正相关），另一方面，完成由AIDS患者向HIV携带者的转化ri（其中ri可视为ARV对AIDS患者的效用）。

其中pi表示易感人群中种群i使用疫苗的效用，qi表示HIV携带者中种群i使用ARV的效用，ri表示AIDS中种群i中使用ARV的效用,即转化为HIV携带者的百分比。

在上述模型以及种群数量流动图的基础上，再加入ARV及疫苗的使用因素，同样将人群分为两大类，六小类，按三种传播方式考虑种群数量的流动，在上述模型的基础上对模型稍做修改。

即将上述参变量打折扣来替换：

m（1,1）=k（1,1）m（1,2）=k（1,2）m（2,1）=（1-p1）*k（2,1）

m（2,2）=（1-p2）*k（2,2）m（3,1）=（1-p1）*k（3,1）

m（3,2）=（1-p2）*k（3,2）m（3,3）=（1-p3）*k（3,3）

m（4,1）=k（4,1）m（4,2）=k（4,2）m（5,1）=k（5,1）m（5,2）=k（5,2）

m（6,1）=k（6,1）m（6,2）=k（6,2）m（10,1）=（1-q1）*k（10,1）

m（7,1）=k（7,1）m（7,2）=k（7,2）m（10,2）=（1-q2）*k（10,2）

m（8,1）=k（8,1）m（8,2）=k（8,2）m（9,1）=k（9,1）m（9,2）=k（9,2）

5.2任务二

5.2.1期望国外捐助资金模型

考虑国家得到用于抗击HIV/AIDS的来自国外捐赠人资助的资金水平aidmoney，做如下分析：

各国所得aidmoney与本国国情紧密相关，在此我们只考虑抗击HIV/AIDS的两个比较关键的决定因素：

HIV/AIDS疫情的严重程度、国家GNP。

国家得到国外捐赠资助与国内HIV/AIDS的严重程度正相关，与本国GNP呈负相关，即，HIV/AIDS疫情越严重，GNP越低，期望得到的国外援助越多，反之越少。

对于国内HIV/AIDS疫情的严重程度，用HIV/AIDS患者（包括携带者）占本国总人口的百分比来评价。

加入期望因子t1来评定各国所应得到的aidmoney的大小。

另一方面，若只是单纯的聚天下可用之财用之于天下，这是不太现实的。

所以，应该考虑那些国家有援助的能力，得到世界上可以用来援助的总资金，再按各国所需aidmoney占总的aidmoney的

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