学年江苏省淮安市高二年级第二学期期末调研测试数学文试题解析版.docx

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学年江苏省淮安市高二年级第二学期期末调研测试数学文试题解析版

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江苏省淮安市2017-2018学年度第二学期高二年级期末调研测试数学（文）试题

评卷人

得分

一、填空题

1．已知集合，，则__________．

【答案】

【解析】分析：

利用交集的运算直接求解即可

详解：

由题，，所以.

即答案为

点睛：

本题考查交集的运算，属基础题.

2．函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】分析：

由对属函数的定义域求解即可.

详解：

由对数函数的定义域可知函数的定义域应满足

即函数的定义域为.

点睛：

本题考查函数定义域的求法，属基础题.

3．设复数（是虚数单位），则的模为__________．

【答案】2

【解析】分析：

计算可得，进而得到的模

详解：

.

即答案为2.

点睛：

本题考查复数的运算及复数的模，属基础题.

4．函数的最小正周期为__________．

【答案】

【解析】分析：

函数的化为即可求其最小正周期.

详解：

因为故其最小正周期为

即答案为.

点睛：

本题考查三角函数最小正周期的求法，属基础题.

5．已知幂函数的图象经过点，则的值为__________．

【答案】3

【解析】分析：

根据幂函数的图象经过点，求出的解析式，再计算的值．

详解：

由题幂函数的图象经过点，

即答案为3.

点睛：

本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，属基础题．

6．已知角的终边经过点，若，则实数的值为__________．

【答案】3

【解析】分析：

角的终边经过点，且，可以判断角的终边在第一象限，可确定的值，

详解：

已知角的终边经过点，且，可以判断角的终边在第一象限，

则

即答案为3.

点睛：

本题考查任意角的三角函数的定义，属基础题．

7．函数的单调递减区间为__________．

【答案】（0,2）

【解析】分析：

求出函数的导数为再解得．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间是.

详解：

函数的导数为，

令，得

∴结合函数的定义域，得当时，函数为单调减函数．

因此，函数的单调递减区间是.

故答案为．

点睛：

本题给出含有对数的基本实行函数，求函数的减区间，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属基础题．

8．已知，则的值为__________．

【答案】

【解析】分析：

由可得，化简，即可求得其值.

详解：

由

即答案为.

点睛：

本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

9．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】分析：

先根据函数的奇偶性以及函数在区间上的单调性，判断函数在区间的单调性，再把不等式变形为两个不等式组，根据函数的单调性分情况解两个不等式组，所得解集求并集即可．

详解：

：

∵函数为偶函数且在）上单调递减，

∴在上单调递增，

又∵函数为偶函数且，

∴不等式可变形为①或 ②

解得：

，

故答案：

.

点睛：

本题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，做题时不要忘记考虑函数在区间的单调性，研究此类题也可作出函数图象辅助判断．

10．若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】若“，使得成立”是假命题，即“，使得成立”是假命题，由，当时，函数取最小值，故实数的取值范围为，故答案为.

点睛：

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质等知识点，难度中档；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.

11．设函数若，则实数的值为__________．

【答案】

【解析】分析：

由函数解析式，根据，利用分类讨论的思想可求实数的值.

详解：

由函数解析式，根据，

当时，可得

符合题意；

当时，不合题意.

故答案为.

点睛：

本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．

12．定义在上的函数满足，，且时，，则的值为__________．

【答案】-1

【解析】分析：

由于可知函数是奇函数，，得到函数为周期为4的函数，求出的范围，再由已知表达式，和对数恒等式，即可得到答案．

详解：

定义在上的函数满足，所以函数是奇函数，

），所以函数为周期为4的函数，时，

则

即答案为-1.

点睛：

本题考查函数的周期性及运用，考查对数的运算和对数恒等式的运用，属于中档题．

13．已知，，则__________．

【答案】0

【解析】分析：

利用和差角的正弦公式，可求及的值，可得

详解：

联立可解得

故

即答案为0.

点睛：

本题综合考查了三角函数公式，灵活运用和差角公式和同角三角函数基本关系式是解题的关键，属于中档题．

14．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】分析：

求出函数的导数，得到函数的极值点，根据函数在处取得极小值，求出的范围即可．

详解：

的定义域是，

∵，

令，解得：

或x=1，

若f（x）在处取得极小值，

则

解得：

，

故答案为．

点睛：

本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．

评卷人

得分

二、解答题

15．已知复数（为虚数单位）.

（1）若，求复数的共轭复数；

（2）若是关于的方程一个虚根，求实数的值.

【答案】

（1）；

（2）2．

【解析】分析：

（1）因为，所以，求出，即可得到的共轭复数；

（2）将代入方程，根据复数相等可求求实数的值.

详解：

（1）因为，所以，

所以复数的共轭复数为.

（2）因为是关于的方程的一个虚根，

所以，即.

又因为是实数，所以.

点睛：

本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．

16．已知，.

（1）求的值；

（2）若，且，求的值.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】分析：

（1）由，得，求出，根据，可求求的值；

（2）由

（1）知，化简

根据，可求的值.

详解：

（1）由，得，

即，所以.

因为，所以，所以，即.

（2）由

（1）知，

所以

.

所以，即，

因为，所以，所以，得.

所以所求的为.

点睛：

此题考查了同角三角函数基本关系及三角恒等变形公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．

17．已知函数，和是函数的图象与轴的个相邻交点的横坐标，且当时，取得最大值.

（1）求数的表达式；

（2）将函数的图象上的每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.

①求函数的解析式；

②求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】

（1）；

（2）①；②时，取得最小值；时，取得最大值．

【解析】分析：

（1）根据函数的最大值得出的值，根据函数的图象与轴的相邻交点的横坐标的距离求出周期与的值，再求出的值，即得的解析式与单调增区间；

由

（1）知，.

（2）①依题意，.则.

②由题，所以，由此可求函数在区间上的最大值和最小值.

详解：

（1）因为取得最大值，所以.

因为和是函数的图象与轴的个相邻交点的横坐标，

所以的最小正周期.

又，所以.

又，所以，，

因为，所以.从而，即.

所以.

（2）由

（1）知，.

依题意，.

.

因为，所以，

当，即时，取得最小值；

当，即时，取得最大值．

点睛：

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．

18．某小区内有两条互相垂直的道路与，分别以、所在直线为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，其第一象限有一块空地，其边界是函数的图象，前一段曲线是函数图象的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为米，到的距离为米，长为米.现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形（其中点在曲线上，点在线段上，且、为两底边）.

（1）求函数的解析式；

（2）当梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.

【答案】

（1）

（2）当梯形的高为米时，活动中心取得最大占地面积为平方米.

【解析】以代入，得.因为，得直线：

.即可求出函数的解析式，

（2）根据梯形的面积公式可得，利用导数和函数的最值的关系即可求出最大值

详解：

（1）以代入，得.

因为，得直线：

.

所以

（2）设梯形的高为米，则，且，.

所以，

所以梯形的面积

.

由，

令，得.列表如下：

+

0

-

单调递增

取极大值

单调递减

所以当时，取得极大值，即为最大值为.

答：

当梯形的高为米时，活动中心取得最大占地面积为平方米.

点睛：

本题考查了导数在实际生活中的最值的应用，关键是求出梯形的面积表达式，属于中档题

19．设函数.

（1）若方程的解集为.

①求，的值；

②求的值.

（2）若，问：

是否存在实数，使得对所有满足“，，且”的实数、，都有成立？

若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】

（1）

（2）.

【解析】分析：

（1）①由题意即即可解得求，的值；

②由①，而，由此可求的值.

（2）若，则，

所以.

令，则，对于任意的恒成立，

整理得，，对于任意的恒成立.

记，则即，可求出的取值范围.

详解：

（1）由题意即解得

②由①，

而，

故，

所以.

（2）若，则，

所以

.

因为，，，则，

令，则，则，

则，对于任意的恒成立，

整理得，，对于任意的恒成立.

记，

则即

解得.

点睛：

本题考查了函数解析式的求法，函数的性质及恒成立问题，属中档题.

20．已知函数（）.

（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；

（2）若对于任意且，都有恒成立，求的取值范围.

（3）若对于任意，都有成立，求整数的最大值.

（其中为自然对数的底数）

【答案】

（1）；

（2）；（3）.

【解析】分析：

（1）由题意得：

，由题意可得，解得.

（2）因为，所以，

记，可知在上单调递增.

所以在上恒成立，

即在上恒成立，记，即可求得的取值范围.

（3）若对于任意，都有成立，

所以对于任意恒成立，

即对于任意恒成立，

令，利用导数研究函数的性质，即可得到整数的最大值.

详解：

（1）由题意得：

，

又曲线在处的切线与直线平行，

所以，解得.

（2）因为，所以，

记，又因为且，

所以在上单调递增.

所以在上恒成立，

即在上恒成立，记，

所以，令，解得，

因为当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，取到最大值，

所以.

（3）若对于任意，都有成立，

所以对于任意恒成立，

即对于任意恒成立，

令，所以，

再令，所以在恒成立，

所以在上单调递增，

又，，

所以必存在唯一的解，使得，

即，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

因为，所以，

又因为，所以的最大整数为，

所以整数的最大值为.

点睛：

本题考查了函数的单调性、最值问题及恒成立，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．