历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 c单元 三角函数理科 含答案.docx

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历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编c单元三角函数理科含答案

C单元　三角函数

C1　角的概念及任意的三角函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

13．C1，C2，C6设sin2α＝－sinα，α∈

，则tan2α的值是________．

13.

　解法一：

由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα，又α∈

，故sinα≠0，于是cosα＝－

，进而sinα＝

，于是tanα＝－

，

∴tan2α＝

＝

＝

.

解法二：

同上得cosα＝－

，又α∈

，可得α＝

，∴tan2α＝tan

＝

.

C2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

13．C2已知α是第三象限角，sinα＝－

，则cotα＝________．

13．2

　cosα＝－

＝－

，所以cotα＝

＝2

.

13．C1，C2，C6设sin2α＝－sinα，α∈

，则tan2α的值是________．

13.

　解法一：

由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα，又α∈

，故sinα≠0，于是cosα＝－

，进而sinα＝

，于是tanα＝－

，

∴tan2α＝

＝

＝

.

解法二：

同上得cosα＝－

，又α∈

，可得α＝

，∴tan2α＝tan

＝

.

15．C2，C5设θ为第二象限角，若tan

＝

，则sinθ＋cosθ＝________．

15．－

　由tan

＝

得

＝

tanθ＝－

cosθ＝－3sinθ，

由sin2θ＋cos2θ＝110sin2θ＝1，θ在第二象限，

sinθ＝

，cosθ＝－

，

∴sinθ＋cosθ＝－

.

20．C2、C5、C6，C8在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋

ab＝c2.

（1）求C；

（2）设cosAcosB＝

，

＝

，求tanα的值．

20．解：

（1）因为a2＋b2＋

ab＝c2，

所以由余弦定理有cosC＝

＝

＝－

.故C＝

.

（2）由题意得

＝

，

因此（tanαsinA－cosA）（tanαsinB－cosB）＝

，

tan2αsinAsinB－tanα（sinAcosB＋cosAsinB）＋cosAcosB＝

，

tan2αsinAsinB－tanαsin（A＋B）＋cosAcosB＝

.①

因为C＝

，所以A＋B＝

，所以sin（A＋B）＝

.

因为cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB，

即

－sinAsinB＝

.

解得sinAsinB＝

－

＝

.

由①得tan2α－5tanα＋4＝0，

解得tanα＝1或tanα＝4.

9．C2、C6，C74cos50°－tan40°＝（　　）

A.

B.

C.

D．2

－1

9．C　原式＝4sin40°－

＝

＝

＝

＝

＝

＝

，故选C.

C3　三角函数的图像与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3．A2、C3“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．A　∵曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点，

∴sinφ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，故选A.

1．C3函数y＝3sin

的最小正周期为________．

1．π　周期为T＝

＝π.

8．C3函数y＝xcosx＋sinx的图像大致为（　　）

图1－2

8．D　∵f（－x）＝－xcos（－x）＋sin（－x）＝－（xcosx＋sinx）＝－f（x），∴y＝xcosx＋sinx为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x＝

时，y＝1>0，排除选项C；x＝π，y＝－π<0，排除选项A；故选D.

C4　函数　的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

15．C4设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．

15．－

　因为f（x）＝sinx－2cosx＝

sin（x＋φ）

，

所以当x＋φ＝

＋2kπ（k∈Z），即x＝

－φ＋2kπ（k∈Z）时，y＝f（x）取得最大值

，

则cosθ＝cosx＝cos

＝sinφ，由

φ∈

可得

sinφ＝－

，所以cosθ＝－

.

16．C4已知函数f（x）＝4cosωx·sinωx＋

（ω>0）的最小正周期为π.

（1）求ω的值；

（2）讨论f（x）在区间0，

上的单调性．

16．解：

（1）f（x）＝4cosωx·sinωx＋

＝2

sinωx·cosωx＋2

cos2ωx

＝

（sin2ωx＋cos2ωx）＋

＝2sin2ωx＋

＋

.

因为f（x）的最小正周期为π，且ω>0，

从而有

＝π，故ω＝1.

（2）由

（1）知，f（x）＝2sin2x＋

＋

.

若0≤x≤

，则

≤2x＋

≤

.

当

≤2x＋

≤

，即0≤x≤

时，f（x）单调递增；

当

≤2x＋

≤

，即

≤x≤

时，f（x）单调递减．

综上可知，f（x）在区间0，

上单调递增，在区间

，

上单调递减．

20．C4，C9，B14已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0，0<φ<π）的周期为π，图像的一个对称中心为

.将函数f（x）图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向右平移

个单位长度后得到函数g（x）的图像．

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈

，使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？

若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；

（3）求实数a与正整数n，使得F（x）＝f（x）＋ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

20．解：

（1）由函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的周期为π，ω>0，得ω＝

＝2.

又曲线y＝f（x）的一个对称中心为

，φ∈（0，π），

故f

＝sin

＝0，得φ＝

，所以f（x）＝cos2x.

将函数f（x）图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y＝cosx的图像，再将y＝cosx的图像向右平移

个单位长度后得到函数g（x）＝cos

的图像，所以g（x）＝sinx.

（2）当x∈

时，

，0

，

所以sinx>cos2x>sinxcos2x.

问题转化为方程2cos2x＝sinx＋sinxcos2x在

内是否有解．

设G（x）＝sinx＋sinxcos2x－2cos2x，x∈

，

则G′（x）＝cosx＋cosxcos2x＋2sin2x（2－sinx）．

因为x∈

，所以G′（x）>0，G（x）在

内单调递增．

又G

＝－

<0，G

＝

>0，

且函数G（x）的图像连续不断，故可知函数G（x）在

内存在唯一零点x0，

即存在唯一的x0∈

满足题意．

（3）方法一：

依题意，F（x）＝asinx＋cos2x，令F（x）＝asinx＋cos2x＝0.

当sinx＝0，即x＝kπ（k∈Z）时，cos2x＝1，从而x＝kπ（k∈Z）不是方程F（x）＝0的解，所以方程F（x）＝0等价于关于x的方程a＝－

，x≠kπ（k∈Z）．

现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a＝－

的解的情况．

令h（x）＝－

，x∈（0，π）∪（π，2π），

则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．

h′（x）＝

，令h′（x）＝0，得x＝

或x＝

.

当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x

h′（x）

＋

0

－

－

0

＋

h（x）

1

－1

当x>0且x趋近于0时，h（x）趋向于－∞，

当x<π且x趋近于π时，h（x）趋向于－∞，

当x>π且x趋近于π时，h（x）趋向于＋∞，

当x<2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于＋∞，

故当a>1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；

当a<－1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；

当－1

由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，nπ）内恰有2013个交点；

又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1342.

综上，当a＝1，n＝1342或a＝－1，n＝1342时，函数F（x）＝f（x）＋ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

方法二：

依题意，F（x）＝asinx＋cos2x＝－2sin2x＋asinx＋1.

现研究函数F（x）在（0，2π]上的零点的情况．

设t＝sinx，p（t）＝－2t2＋at＋1（－1≤t≤1），则函数p（t）的图象是开口向下的抛物线，

又p（0）＝1>0，p（－1）＝－a－1，p

（1）＝a－1.

当a>1时，函数p（t）有一个零点t1∈（－1，0）（另一个零点t2>1，舍去），F（x）在（0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈（π，2π）；

当a<－1时，函数p（t）有一个零点t1∈（0，1）（另一个零点t2<－1，舍去），F（x）在（0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈（0，π）；

当－1

由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数F（x）在（0，nπ）内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意．

当a＝1时，函数p（t）的一个零点t1∈（－1，0），另一个零点t2＝1；

当a＝－1时，函数p（t）的一个零点t1＝－1，另一个零点t2∈（0，1），

从而当a＝1或a＝－1时，函数F（x）在（0，2π]有3个零点，由正弦函数的周期性，2013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1342.

综上，当a＝1，n＝1342或a＝－1，n＝1342时，函数F（x）＝f（x）＋ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

4．C4将函数y＝

cosx＋sinx（x∈R）的图像向左平移m（m>0）个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是（　　）

A.

B.

C.

D.

4．B　结合选项，将函数y＝

cosx＋sinx＝2sin

的图像向左平移

个单位得到y＝2sin

＝2cosx，它的图像关于y轴对称，选B.

11．C4函数y＝sin2x＋2

sin2x的最小正周期T为________．

11．π　y＝sin2x＋

（1－co