自动控制原理课后习题答案王建辉顾树生编清华大学出版社.docx
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自动控制原理课后习题答案王建辉顾树生编清华大学出版社
2-1什么是系统的数学模型在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪些
用来描述系统因果关系的数学表达式,称为系统的数学模型。
常见的数学模型形式有:
微分方程、传递函数、状态方程、传递矩阵、结构框图和信号流图。
2-2简要说明用解析法编写自动控制系统动态微分方程的步骤。
2-3什么是小偏差线性化这种方法能够解决哪类问题
在非线性曲线(方程)中的某一个工作点附近,取工作点的一阶导数,作为直线的斜率,来线性化非线性曲线的方法。
2-4什么是传递函数定义传递函数的前提条件是什么为什么要附加这个条件传递函数有哪
些特点
传递函数:
在零初始条件下,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
定义传递函数的前提条件:
当初始条件为零。
为什么要附加这个条件:
在零初始条件下,传递函数与微分方程一致。
传递函数有哪些特点:
1.传递函数是复变量S的有理真分式,具有复变函数的所有性质;mn且所有系数均为
实数。
2•传递函数是一种有系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统或
元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息。
3•传递函数与微分方程有相通性。
4.传递函数W(S)的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。
2-5列写出传递函数三种常用的表达形式。
并说明什么是系统的阶数、零点、极点和放大倍
数。
W(s)
mm1
b)sb|S
nn1
a°sa〔s
bm1Sbm
an1San
W(s)
m
KTs1
晋其中K
TjS1
an
W(s)
Kgs乙
i1
n
sPj
j1
其中Kg
bo
a。
传递函数分母S的最高阶次即为系统的阶数,
乙为系统的零点,Pj为系统的极点。
K为
传递函数的放大倍数,Kg为传递函数的根轨迹放大倍数。
2-6自动控制系统有哪几种典型环节它们的传递函数是什么样的
1.比例环节
__[]
比O11一
Ro
0
+
Ri
Uc-0
2.惯性环节
Ro
11
Urq
T\—
H\——
R0」
-卜
+
1/Cs
Uc-o
3.积分环节
1/Cs
H
Ro
Uri一.
4.微分环节
R
1/Cs
Ur-
Uc
5.振荡环节
6.时滞环节
2-7二阶系统是一个振荡环节,这种说法对么为什么
当阻尼比01时是一个振荡环节,否则不是一个振荡环节。
2-8什么是系统的动态结构图它等效变换的原则是什么系统的动态结构图有哪几种典型的连接将它们用图形的形式表示出来,并列写出典型连接的传递函数。
2-9什么是系统的开环传递函数什么是系统的闭环传递函数当给定量和扰动量同时作用于系统时,如何计算系统的输出量
答:
系统的开环传递函数为前向通路传递函数与反馈通路传递函数之积。
系统的闭环传递函数为输出的拉氏变换与输入拉氏变换之比。
当给定量和扰动量同时作用于系统时,通过叠加原理计算系统的输出量。
2-10列写出梅逊增益公式的表达形式,并对公式中的符号进行简要说明。
2-11对于一个确定的自动控制系统,它的微分方程、传递函数和结构图的形式都将是唯一的。
这种说法对么吗为什么
答:
不对。
2-12试比较微分方程、传递函数、结构图和信号流图的特点于适用范围。
列出求系统传递
函数的几种方法。
2-13试求出图P2-1中各电路的传递函数W(s)=Uc(s)/Ur(s)。
R
L
IC1
Ri
(b)
O
C2
-R
R
Uc
(c)
Ur(S)
Ur
解:
(a)解法1:
首先将上图转换为复阻抗图,
图2-1(a-s)
由欧姆定律得:
I(s)=(Ur-UJ/(R+Ls)
由此得结构图:
Uc=l(s)(1/Cs)
由此得结构图:
l(s)
*1/Cs
Uc
整个系统结构图如下:
根据系统结构图可以求得传递函数为:
W(s)=Uc/Ur=[[1/(R+Ls)](1/Cs)]/[1+[1/(R+Ls)](1/Cs)]
22
=1/[LCs+RCs+1]=1/[TlTcs+Tcs+1]
其中:
Tl=L/R;Tc=RC
解法2:
由复阻抗图得到:
I(s)
RLs
Ur(s)1
rUc(s)l(s)〒
1Cs
Cs
Ur(S)1
RLs丄丘
Cs
Ur(s)
2
LcsRCs1
所以:
Uc(s)1
2
Ur(s)LcsRCs1
l2(s)
l1(S
R1
Ur(s)
1/Cs
1/Cs
l(s)R2
UC(s
解:
(b)解法1:
首先将上图转换为复阻抗图,
(b)
根据电路分流公式如下:
l1
同理:
丨2l
R1
R-iR2
I(s)
Ur(S)
Zr2
其中:
Z1/CS//Z!
Z!
R1—丄RQs1代入Z
CsCS
丄丄
CsCs
RCs1
I1(s)
1
Cs
1
Cs
RCs
1R1Cs1
CsRQs2
I(s)〒
Cs
丄
Cs
1
I(s)
1
RCs2
Uc(s)
l1(s)C-I(s)R2
Cs
Ur(s)11Ur(s)D
R2
ZR2R1Cs2CsZR2
所以:
Ur(S)
1R1Cs1
CsRCs2
11
R1Cs2CsR2
1RCs1
CsRCs2
—R2
R2
Ur(S)
R1Cs1R2R1Cs2Cs
Ur(s)R1Cs2Cs
RCs1R2R1Cs2Cs
R2
Uc(s)
Ur(s)
h(s)
Ur(S)Uc(S)
R1
1R2RCs2Cs
RCs1R2R-|Cs2CsR1Cs1R2R1Cs2Cs
22
R1R2Cs2R2CS1
R1R2C2s2R1Cs2R2Cs1
解法2:
首先将上图转换为复阻抗图(如解法1图)
1
l1(s)R1Cs11(s)R1CS1
Cs
I(s)
h(s)I2G)
Uc(s)
1
l1(s)I(s)R2
Cs
画出其结构图如下:
应用梅逊增益公式:
Uc(s)
Ur(S)
n
Tk
k1
其中:
1La
Lb
La
R
R1
RQs
Lb
1
R1CS
所以
R
R1
RCs
1
RCs
RCsR2CSRiCs21
R1Cs
T1
R2
R1
RCs
T2
R1Cs
所以:
Uc(s)
Ur(s)
食RCS
1
R,Cs
RQsR2CSRQs21
R2CsRCs21
RiCsR2CsRCs21
R,Cs
22
R1R2Cs2R2CS1
22
RR2CsRCs2R2Cs1
解:
(c)解法与(b)相同,只是参数不同。
2-14试求出图P2-2中各有源网络的传递函数
W(s)=Uc(s)/Ur(s)。
解:
(a)
Uc(s)
乙
苴
中:
Ur(s)
Zo
丿、
1•
Ro1
Zo1
//Ro
CoS
Ro
Cos
Ro—
RoCoS1
CoS
所以:
1
1
1
乙R1_
R1C1s1
「s1
C1s
C1s
C1s
T0T7其中:
T1R1C1、T0RoCo
Uc(s)
Ur(s)R0C1S
T0s1T1s1
Co
Ro
Uc
解:
(b)如图:
将滑动电阻分为
R2和R3,
11
Ug
Ro
11
Uc(S)
Ri
R2—C1S
R1
R2
Ri
R1C1s1
R3
C1s
R3R1C1S
R2R1C1s1R-i
R1C1s1
所以:
土廻
Ur(S)
Z
R3
R3
R1
C1S
Ro
一R3C;S21R2R1C1s1R1
RoR1R3C1s
解:
(c)解法与
(b)相同。
2-15求图P2-3
所示各机械运动系统的传递函数。
Xr(S)
⑵求图(b)的冬凹
Xr(S)
⑶求图(c)的生®?
(4)求图(c)的
Xi(s)
XK
>»
kk
BtH
iXc(t)
(a)
Hr(t)
b
「Bi
m
1
Xc(t)
H
_B2
+
7777777
(b)
f(t)
///////
(c)
2-16如图P2-4所示为一个带阻尼的质量弹簧系统,求其数学模型。
图p2-4
2-17图P2-4所示为一齿轮传动系统。
设此机构无间隙、无变形。
(1)列出以力矩M为输入量,转角为输出量的运动方程式,并求其传递函数。
(2)列出以力矩M为输入量,转角.为输出量的运动方程式,并求出其传递函数。
c
2-18图P2-6所示为一磁场控制的直流电动机。
设工作时电枢电流不变,控制电压加在励磁
绕组上,输出为电机位移,求传递函数W(s)
(S)
Ur(S)°
Rf
Lf
图P2-6
2-19图P2-7所示为一用作放大器的直流发电机,原电机以恒定转速运行。
试确定传递函数
Wc(s)
Ur(S)
W(s),假设不计发电机的电枢电感和电阻。
c
图P2-7
2-20图P2-8所示为串联液位系统,求其数学模型。
3
2-21一台生产过程设备是由液容为Ci和C2的两个液箱组成,如图P2-9所示。
图中Q为稳态液体流量(m3「s),qi为液箱1输入流量对稳态值得微小变化(m3「s),q2为液箱1到液箱2流量对稳态值得微小变化(m'.'s),q3为液箱2输出流量对稳态值得微小变化(m3:
s),Hi为液箱1的稳态液面高度(m),hi为液箱1液面高度对其稳态值的微小变化(m),H2为液箱2的稳态液面高度(m),h2为液箱2液面高度对其稳态值的微小变化(m),R1为液箱1输出管的液阻(m.(m3s)),R2为液箱2输出管的液阻(m.(m3s))。
(1)试确定以为输入量、为输出量时该液面系统的传递函数;
⑵试确定以为输入,以为输出时该液面系统的传递函数。
(提示:
流量(Q)=液高(H)/液阻(R),
Qqi
4><1=
11液箱i
液箱2
H7hi
H2h2
Ci
Ri
C2
R2
Qq2Qq3
图P2-9
2-22图P2-10所示为一个电加热器的示意图。
该加热器的输入量为加热电压ui,输出量为加热器内的温度To,qi为加到加热器的热量,qo为加热器向外散发的热量,T为加热器周围的
G(s)
To(s)Ut(s)。
2-23热交换器如图P2-11所示,利用夹套中的蒸汽加热罐中的热体。
设夹套中的蒸汽的
温度为Ti;输入到罐中热体的流量为Q,温度为Ti;由罐内输出的热体的流量为Q,温度为
T2;罐内液体的体积为V,温度为To(由于有搅拌作用,可以认为罐内液体的温度是均匀的),并且假设T2=To,Q=Q=Q(Q为液体的流量)。
求当以夹套蒸汽温度的变化为输入量、以流出液
2-24已知一系列由如下方程组成,试绘制系统方框图,并求出闭环传递函数。
Xi(s)Xr(s)W(s)Wi(s)[W7(s)W8(s)]Xc(s)
X2(s)W2(s)[X!
(s)W6(s)X3(s)]
X3(s)[X2(S)Xc(s)W5(s)]W3(s)
Xc(s)W4(s)X3(s)
解:
由以上四个方程式,可以得到以下四个子结构图
1.
X(s)二Xr(s)Wi(s)-Wi(s)[W7(s)-W8(s)]Xc(s)
Xc(s)
2.
X2(s)二W2(s)[Xi(s)-W6(s)X3(s)]
X3(s)
X3(s)=[X2(s)-Xc(s)W5(s)]W3(s)
Xc(s)
4.
Xc(s)=W4(s)X3(s)
X3(s)
•W4(s)
Xc(s)
利用梅逊公式可以求出闭环传递函数为:
Lii=—W(s)W2(s)W3(s)W4(s)[W7(s)-W8(s)]
Li2=—W(s)W4(s)W5(s)
Li3=—W(s)W3(s)W6(s)
L2=0
Ti=W(s)W2(s)W3(s)W4(s)
△i=1
△=1+W(S)W2(s)W3(s)W4(S)[W7(s)-W8(S)]+W3(s)W4(S)W5(S)+W2(s)W3(s)W6(s)
Wb(s)
Xc(s)Tiix?
^s)—
wwww
1WW2W3W4W7W8W3W4W5W2W3W6
2-25试分别化简图P2-12和图P2-13所示结构图,并求出相应的传递函数。
Xr
图P2-12
Xc
图P2-13
解:
化简图P2-12如下:
Xr
图P2-12
继续化简如下:
图P2-12
所以:
Xcww2
Xr1WWH1H21/W2
ww2
1W1w2h1w2h21
解:
化简图P2-12如下:
图P2-13
图P2-13
进一步化简如下:
所以:
W1W2W3
Xc1W1H11W3H2W1W2W3
Xr1WWW3宜1W1H11W3H2W2H2
1W1H11W3H2W1W3
W1W2W3
1W1H1W2H2W3H2W1H1W3H2
2-26求如图P2-14所示系统的传递函数W1(s)
Xc(s)
Xr(S)
W2(s)
Xc(s)
Xd(s)
解:
Xd=0)
1.求W(s)=Xc(s)/Xr(s)的等效电路如下(主要利用线性电路叠加原理,令
Xr
上图可以化简为下图
Xr
由此得到传递函数为:
W(s)=Xc(s)/Xr(s)=[WiV2]/[1-W2H2+VWVH]
2.应用梅逊增益公式:
Xc
Xd
1kk
k1
其中:
1LaLb,LaW1W2H3,LbW2H2
1
WW2H3w2h2
T1W2,11,T2W1W2H1,21
所以:
XcW2WWH1
Xd1w1w2h3w2w2
2-27求如图P2-15所示系统的传递函数。
Xr
P2-15
图
Xc
Xr
其中:
LaLb
LcLdLe
La
W1H1
Lb
W2H2,
Lc
W2W3H3,LdW1W2W3W4H4,
Ld
W2W3W4W5H4
T1
WWW3W4,
1,T2W2W3W4W5,
21W[H1
所以:
c
Xr
WW2W3W4W2W3W4W51wH1
1W1H1W2H2W2W3H3W1W2W3W4H4W2W3W4W5H4
2-28求如图P2-16所示系统的闭环传递函数。
应用梅逊增益公式:
n
Tk
k1
图P2-16
解:
c
即可求解如下:
将上述电路用复阻抗表示后,利用运算放大器反向放大电路的基本知识,
由上图可以求出:
U(s)=—[Zi/Ro](Ur(s)+Uc(s))
U2(s)=—U(s)/[R2GS]
UC(S)=—[R4/R3]U2(S)
中
Z=RUrr,Uf
Wr(s)
Xc(s)
Xr(s)
Wd(s)
Xc(s)
Xd(s)
Wr(s)
Xc
Xr
n
Tkk
1LaLbLcLaW1W2W3H2H3LbW2W3H2H3
LcW3H3
1WW2W3H2H3W2W3H2H3W3H3「ww2w3
1T2W4
21W1W2W3H2H3W2W3H2H3W3H3
Xc(s)W1W2W3W41w1w2w3h2h3w2w3h2h3w3h3Wr(s)
Xr(s)1WW2W3H2H3W2W3H2H3W3H3
Wd(s)
Xc
X;
1LaLbLcLaW1W2W3H2H3LbW2W3H2H3
LcW3H3
1WW2W3H2H3W2W3H2H3W3H3
Xc1(s)
Xr1(s)
Xc2(S)
Xr2(S)
W3
1W1W2W3H2H3W2W3H2H3W3H3
Wd(s)
Xc(s)
Xd(s)
⑻
(b)
Wk(s)
1
%,「£,和;W(S)
s(s1)s(s2n)
10.5
0.5
%e1$100%e10.52100%
16.3%
tr
2.42(s)
ts
arccosarccos0.51.0472(rad)
tr
3.141.0472
...10.52
3
0.5
6(s)(5%)
ts
tf
tf
2
0.866
7.255(s)
1
Xr(S)~2
s
22
ss2ns
A
B
CsD
Xc(s)2
2
2
s
ss
2nS
n
As2
A2
nSA2
Bss22ns
232
nCsDs
22
2
ss
2nSn
五°.827
Xc(s)
A1B
(BC)s3
(ADB2n)s2(A2
2
n
n
Bn2)s
A
Xc(t)t1
20.5t.
——esin
s2s22ns
11
Xc(S)-2—
s2
nS
s2
s2
ft
600
Xr(t)
(t)
Xr(s)1
Xc(s)
1
s2s1
八、20.5t.V3“o
Xc(t)—esint60
V32
Wk(s)
s(s1)
kk
t
Kk
Wk(s)
Kk
s(s1)
%25%e
Xr(S)
22
3n/[S+2E®nS]
Xc(S)
0.4
tm
3.1415926
3.43
Wk(s)
we(s)
E(s)
e(t)
20.42.287
0.547
0.42
Kk
1.5
0.5472.287
2.287
2.861
s(s2
E(s)
Xr(s)
s22
s2~~厂
1.4e107t
n)
e(t)
1.4e
1.07t
0.4e
3.73t
nS
s22
nS
2
n
S22nS
S22nS
nS
0.4e
yXr(s)
n
3.73t
s1.07
s3.73
2n4.8
1.2
()lim0sE(s)
lims
s0
s0s
()lime(t)
lim[1.4e
kvlimsWK(s)
lims
s0
s0s(
1.4
0.4
s4.8
1.07t3.73t,
0.4e]
24.8s40
Kk
1)
%30%
ts(5%)
In
1.2
0.357
s22nS
s22
0.4
nS
s
s22
s4.8
(s1.07)(s3.73)
Wk(s)
Kke(
0.3s
ts(5%)
nS
s2
4.8s
%e12
4
s24.8s
0Wk(s)
Wb(s)
2
s4.8s4
S(s2n)
kk
ev
Xr(t)t
Kk
0.3
0.02Kk
50
0.3
Xr(t)
1(t)
1.22(12)
—0.3s
2(
1.22)
1.22
10
10
1.22
^77
0.4
Xr
Ki/[S2+KiTs]
Wk(s)
Kk
s(s
1)
Kk/s(s1/)
Kk
0.05
Kk
50
KK500
ts(5%)
0.3sKK50
s(s2n)
21000
0.05Wk(s)
1丄20
0.05
31.6
0.4
31.6
10
s22
2
n
nS
-2
n
Kk
Kk
Kk
Kk
n
0.2s10.4s1KK0
2
s7.5s12.512.5KK0KK
s27.5s250
S|23.75j3.3
Wk(s)
12.5
~2
s7.5s12.5
Wb(s)
12.5
2
s7.5s25
k1
kp
K1
2nK1
%20%
ts(5%)1.8s
20%
e1
0.2
e1
ln5
12
22
21.62(1
2)
2(
1.62)
1.62
1.62
2
1.62
0.454
ts(5%)
1.8s
ts(5%)
1.8s
10
1.86
10
10
60.454
3.67
K1
K1:
3.67213.52nK1
2n
2
0.4543.67
0.247
K1
3.672
kplimWK
NS0
(s)
..K1
lim——
S0s(sK1
)
n
6
n
Wk(s)
K1
s(sK1)
13.5
s(s3.33)
x()1(t)
e()
1
0
1kp
kvS叫sWk(s)
叫
■Is
e(
lims2Wk(s)
S0
Xr(t)
1t
2
e(
丄
ka
(s
图P3-4题3-17的系统结构图
lim
S0
ka
知0
Wk(S)
S(S2n)
210
n103.16
10.316
10
2
0.3512
35.12%
tS(5%)—3s
n
Wg(s)
Kg
(TiS1)(T2S1)
Wc(s)Kp
Wc(S)V
1S1
Wc(s)Kp丄
2S
解:
三种调节器中,(b)调节器能够满足要求,即
1
KgKps1s(「s1)®1)
该使
Ti,此时传递函数为W(s)Wg(s)W