第二讲盈亏问题.docx
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第二讲盈亏问题
盈亏问题
思维基础训练篇
【思维引导】盈亏问题就是把一定数量的某一类物体分发给若干个对象,且在两次分配中,出现多余(盈)、不足(亏)、刚好分完(足)三种不同的结果,而每个对象分的物品个数差叫分配差,要求物品数量和对象数量,这类应用题叫做盈亏问题。
解盈亏问题有一个重要的思想:
转化思想。
基本关系式:
一盈一足:
总人数=盈÷分配差
一盈一亏:
总人数=(盈+亏)÷分配差
双盈:
总人数=(大盈-小盈)÷分配差
双亏:
总人数=(大亏-小亏)÷分配差
一亏一足:
总人数=亏÷分配差
(一)简单的盈亏问题
一盈一足
例1、小朋友分桃子,每人分8个,余8个,每人10个,刚好分完。
问:
有多少个小朋友?
【分析】:
假如第一次分的时候,其中有一人分了10个,其余每人分8个,则余6个;假如有两个人每人分10个,则余4个;以此类推,要把余下的8个桃子都分完,就需要4个人每人分10个,则总共有4个小朋友。
解:
8÷(10-8)=4(人)
根据列式推出:
总人数=盈÷分配差
练习题:
(1)某班少先队员参加学校的搬砖劳动,若每人搬20块还剩30块,若每人搬22块刚好搬完。
问:
有多少名少先队员,共有多少块砖?
一盈一亏
例2、小朋友分桃子,每人8个余8个,每人10个缺6个。
问:
有多少个小朋友?
【分析】对比第一题观察,第一题每人10个刚好分完,而本题每人10个还缺6个,如果送他们6个桃子刚好分完。
第二次送了6个桃子,那第一次分也要送6个桃子。
本题转化:
“每人8个余14个,每人10个刚好分完”。
注:
转化后的余14个是由(余8个+缺6个)而来。
解:
(8+6)÷(10-8)=7(人)
根据列式推出:
总人数=(盈+亏)÷分配差
练习题:
(2)猴妈妈采了一堆桃子,分给小猴吃,每个小猴分3个剩6个,每个小猴分5个缺4个。
问:
一共有多少个桃子?
双盈
例3、小朋友分桃子,每人10个余1个,每人8个余7个。
问:
有多少个小朋友?
【分析】:
此题两次都有剩余,根据第二题的转换思想,假设把第一次余的1个拿走,那么第一次就变成刚好分完,因为两次分的桃子的总数量要一样多,那么第二次也要拿走1个,条件可转化为“每人8个余6个,每人10个刚好分完”,根据第一题的公式可解。
注:
转化后的余6个是由(余7个—余1个)而来。
解:
(7-1)÷(10-8)=3(人)
根据列式推出:
总人数=(大盈-小盈)÷分配差
练习题:
(3)小明有一些糖分给小伙伴,每人分4块还剩8块,每人6块还剩2块,问:
小明共有多少块糖。
双亏
例4、小朋友分桃子,每人8个缺9个,每人10个缺17个。
问:
有多少个小朋友?
【分析】:
此题两次都要缺桃子,同样根据第二题的转换思想,第二次分的时候少17个,那么就再送他们17个,第二次就变成刚好分完了,因为两次分的桃子的总数量要一样多,那么第一次也要送17个,第一次就变成余8个,条件就转化为“每人8个余8个,每人10个刚好分完”再根据第一题的公式可解。
注:
转化后的余8个是由(缺17个—缺9个)而来。
解:
(17-9)÷(10-8)=4(人)
根据列式推出:
总人数=(大亏-小亏)÷分配差
练习题:
(4)幼儿园阿姨给小朋友分饼干,若每人5块还少1块,若每人6块还少8块,问:
阿姨共有多少块饼干。
一亏一足
例5、小朋友分桃子,每人8个,刚好分完,每人10个缺8个。
问:
有多少个小朋友?
【分析】:
第二次分时缺8个桃子,假设送他们8个,那么第二次就变成就刚好分完,因为两次分的桃子的总数量要一样多,所以第一次也要送8个,此题条件就克转化为“每人8个余8个,每人10个刚好分完。
”,再根据第一题的公式可解。
注:
转化后的余8个是由“缺8个”而来。
解:
8÷(10-8)=4(人)
根据列式推出:
总人数=亏÷分配差
练习题:
(5)老师有一些作业本,每个学生发3本刚好发完,每人分4本还缺8本。
问:
老师共有多少本作业本?
总结得出简单盈亏问题的基本特点:
①分配的次数为两次
②两次分配的物品总数量要统一
③分配的物品种类为一种
④两次分配的对象总数量要统一
⑤两次分配结果的单位都是物品的单位
思维提高训练篇
(二)复杂的盈亏问题
【思维引导】解决复杂的盈亏问题,同样需要采取转化思想,将复杂的盈亏问题转化为简单的盈亏问题,再利用公式可解。
物品的总数量改变
例1、小朋友分桃子,每人10个少11个,后来老师又多拿来了两个桃子,现在每人8个多7个。
问:
有多少个小朋友?
【分析】:
两次分配中桃子的总数量发生了变化,第二次多了两个桃子。
假如把多的两个桃子“抢”了,就和第一次分配的桃子总量一样。
可由一盈一亏公式可解。
注:
第二次分配时被“抢”了两个桃子,则原来的“多7个”将转化为“多5个”。
解:
(11+7-2)÷(10-8)=8(人)
解法:
将物品的总数量转化为统一
练习题:
(1)某校参加六一杯小学数学竞赛,原定考场若干个。
每个考场坐24人,还有6人没座位;后来增加了60名考生,每个考场坐30人,还有10人没座位。
总共有多少个考场?
物品的种类为两种或多种
例2、小朋友分一筐桃子和苹果,苹果是桃子的2倍,苹果每人分10个多6个,桃子每人分8个少12个,问:
有多少个小朋友?
【分析】:
分配的种类变为两种,无法直接运用公式。
根据“苹果是桃子的2倍”和“苹果每人10个多6个”,若按苹果的分法去分桃子可知“桃子每人5个多3个”,由此可转化为都分桃子。
注:
两类物品成倍数关系时,转化中每人分的个数和结果的个数都要成倍数变化。
解:
(12+6÷2)÷(8-10÷2)=5(人)
解法:
把多种物品转化为一种
练习题:
(1)老师给同学分发课本和练习本,已知练习本比课本的3倍还多2本,课本每人1本刚好发完,练习本每人2本还剩17本,问:
课本和练习本各多少本?
对象的总数量改变
例3、小朋友分桃子,每人10个少9个,后来又来了5个小朋友,重新分配,每人4个多7个,问小朋友原来有多少人?
【分析】:
两次分配时总人数不同,无法直接运用公式。
假如后来的5个小朋友没来,两次次分配人数就统一了,但第二次分配的结果就会发生变化。
由“多7个”转化为“多27个”。
注:
“多27个”是由“5个小朋友每人分4个的和”加上“本来就多的7个”而来。
解:
(4×5+7+9)÷(10-4)=6(人)
解法:
把对象的数量转化为统一
练习题:
(3)幼儿园将一筐苹果分给小朋友。
如果分给大班的小朋友,每人3个余20个;如果分给小班的小朋友,每人8个缺2个。
已知大班的人数是小班的2倍。
这一筐苹果有多少个?
分的次数不是两次
例4、小朋友分桃子,先给3个人每人分了8个,其余每人10个,还少9个,如果每人8个,就要多7个,问小朋友有多少人?
【分析】:
本题总共分了3次,无法直接运用公式。
如果把前面两次分配转化为一次分配,则可直接运用公式。
假设第一次的3个人每人也分10个,这样就还少6个,则可把前面两次分配转化为“每人10个,还少15个”。
注:
“少15个”由“少9个”加上“少6个”而来。
解:
[(10-8)×3+9+7]÷(10-8)=11(人)
解法:
把多次转化为两次。
练习题:
(4)小红家买来一篮桔子,分给全家人。
如果其中二人每人分4只,其余每人分2只,还多出4只,如果一人分6只,其余每人分4只,又缺12只,小红家买来多少只桔子?
小红家共有多少人?
单位不统一
例5、小朋友分桃子,每人10个,就有两个人没有分到,每人8个,剩2个桃子,问共有多少个小朋友?
【分析】第一次分配是两人没分到,第二次分配是剩2个桃子,单位不统一不能直接运用公式。
需要将第一次分配结果“两人没分到”转化为“还缺20个桃子”,就能直接运用公式了。
注:
“缺20个桃子”由“两个人每人分10个”得来。
解:
(2×10+2)÷(10-8)=11(人)
解法:
把两次分配结果的单位都要统一为物品的单位
练习题:
(5)育才小学学生乘汽车去春游,如果每车坐65人,则有15人不能乘车;如果每车多坐5人,恰好多余一辆车。
问一共有几辆汽车?
有多少学生?
思维拓展训练篇
(3)盈亏问题拓展
【思维引导】有些行程问题,工程问题和鸡兔同笼问题等可转化为盈亏问题。
例1、李师傅加工一批零件,如果每天做50个,要比原计划晚8天完成;如果每天做60个,就可以提前5天完成。
这批零件共有多少个?
【分析】:
乍一看,这道题应该是工程问题,但是仔细斟酌,其实是一道盈亏问题,用盈亏问题的解题方法来解更简便。
通过审题,我们可以把“零件”转化为“物品”,把“天数”转化为“对象”。
“晚8天完成”可转化为“还差400个零件”,“提前5天完成”转化为“多做300个零件”。
得到典型的盈亏问题。
解:
(8×50+5×60)÷(60-50)=70(天)
70×60-60×5=3900(个)
练习题:
(1)钢笔与圆珠笔每支相差1元2角,小明带的钱买5支钢笔差1元5角,买8支圆珠笔多6角。
小明带了多少钱?
例2、小明8点3分从家出发去上学,如果每分钟走50米,就要迟到3分钟,如果每分钟走60米,就会提前2分钟到校。
问:
小明上课时间是几点几分?
【分析】虽是行程问题,同样可转化为盈亏问题。
把“路程”看作“物品”,把“时间”看作“对象”,则可转化为“每分钟走50米,还差150米,每分钟走60米,就多120米”,注:
所求出的时间是准时上课需要的时间。
解:
(3×50+2×60)÷(60—50)=27(分钟)
8点3分+27分=8点30分
练习题:
(2)一个旅行社住旅馆,如果每个房间住3个人,还有16个人没法住;如果每个房间住5个人,还有两个房间没人住,问旅行社共有多少个人?
思维竞赛训练篇
(四)综合类的盈亏问题
【思维引导】综合类盈亏问题会同时根据多个特点来改变题型,增加难度。
但只要找准改变的特点,再一个一个特点逐步转化,最后都能转化为最简单的盈亏问题。
例1、小朋友分一筐桃和苹果,苹果每人5个,桃每人2个,只剩20个苹果,后来人数有变,现重新分配,苹果每人7个,桃每人2个,只剩12个桃,问小朋友原来有多少人?
【分析】:
通过审题,可知题中物品种类为两种,对象数量发生变化,我们就根据这两类变型题的解题方法,一步一步地转换为最简单的盈亏问题。
(1)把物品种类转化为一种
“桃每人2个刚好分完,人数变动后,桃每人2个剩12个”
两次分配每人都是2个桃,但第二次还剩12个,说明人数少了6人(12÷2)。
(2)把人数都转化为原来小朋友的数量
“苹果每人5个,剩20个,每人7个,缺42个”
解:
(12÷2×7+20)÷(7—5)=31(人)
练习题:
(1)用一根绳子绕大树3圈余3分米,用这根绳子绕小树8圈还差8分米,已知大树直径是小树直径的2倍。
问:
这根绳子有多长?
例2、王小明从家到学校上学。
他以每分钟50米的速度走了两分钟后,发觉如果这样走下去要迟到8分钟,于是他加快速度,每分钟多走10米,结果会提前5分钟到校。
王小明家离学校多远?
【分析】此题同样需要两次转化。
(1)将行程问题转化为盈亏问题
“若每分钟走50米,少走400米(8分钟),若前面两分钟每分钟走50米,其余时间每分钟走60米(多走10米),多出300米(提前5分钟)。
”
(2)将次数转化为两次(把后面两次转化为一次)
“若每分钟走50米,少走400米,每分钟走60米,就多出320米(300+10×2)”
解:
(5×60+10×2+50×8)÷(60—50)=72(分钟)
50×(72+8)=4000(米)
练习题:
(2)红山小学学生乘汽车到香山春游,如果每车坐65人,则有5人不能乘上车;后来学校又调来一辆车,如果每车多坐1人,恰好多余余一辆车,问一共几辆车,多少学生?
课后练习题
(1)学校为新生分配宿舍,每个房间住3人,则多出23人;每个房间住5人,则空出3个房间,问宿舍有多少间?
新生有多少人?
(2)少先队员去植树,如果每人种5棵,还有3棵没人种;如果其中2人各种4棵,其余的人各种6棵,这些树苗正好种完,问有多少少先队员,一共种多少树苗?
(3)工程队修一条路,如果每天修150米,则可以提前2天完成任务;如果每天修180米,则可以提前5天完成任务。
这条路全长多少米?
(4)有红、白球若干。
若每次拿出1个红球和1个白球,拿到没有红球时,还剩下50个白球;若每次拿走1个红球和3个白球,则拿到没有白球时,红球还剩下50个。
那么这堆红球、白球共有多少个?
(2000年小学数学奥林匹克竞赛预赛题)
(5)食堂采购员小李去买肉,如果买牛肉18千克,那么还差4元;如果买猪肉20千克,就会剩2元;已知牛肉和猪肉每千克相差8角钱。
求牛肉、猪肉每千克各多少钱?