61从实际问题到方程.docx
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61从实际问题到方程
七年级数学导（学）案
编写人：
郑威斌参与人：
郑威斌弓丽琴审核人：
郑威斌年月日
课题
6.1从实际问题到方程
班级
姓名
组别
学
习
目
标
知识与技能：
探索具体问题中的数量关系或变化规律，体验用方程来表示这种数量关系或变化规律的方法。
过程与方法：
会根据具体问题中的数量关系列出方程。
情感态度价值观：
运用数学知识分析解决实际问题，体现数学在现实生活中的价值。
学习过程：
（一、二、三（A）必做）
第一课时
一、课前准备（判断题）
（1）等式是方程．（ ）
（2）方程是等式．（ ）
（3）x＝3是方程．（ ）
（4）ax＋b＝0（a.b为常数）是方程．（ ）
（5）方程2x＝0的解是x＝0．（ ）
（6）x＝－3不是方程2x－1＝0的解．（ ）
（7）（a
-1）x
+（a-1）x+2=0是一元一次方程.（ ）
（8）方程中的字母一定都是未知数．（ ）
（9）x与3的和的
等于5，可列方程为
＋3＝5．（ ）
（10）方程2x－3＝
x，可理解为“x的2倍与3的差等于x的
”．（ ）
二、探究新知：
1．在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是14．就问同学：
“我今年46，几年以后我的年龄是你们年龄的三倍?
”
探究一：
（算术解法）
探究二：
（列出方程并用检验的方法求解）
小结：
检验一个数是不是方程的解的步骤
1将这个数代入方程的左、右两边；
2分别计算出方程左、右两边的值；
3依据“能使方程左、右两边值相等的数是方程的解，不能使方程左、右两边的值相等的数不是方程的解”来检验．
思考
如果未知数可能取到的数值较多，或者不一定是整数，该从何试起？
如果试验根本无法入手又该怎么办？
第二课时
三、课堂检测：
（A组）基础训练
（1）在列方程解决实际问题时，应注意所列方程两端代数式的单位要_______．
图6－2
（2）两边都放有物体的天平处于平衡状态．如图6－2用等式表示天平两边所放物体的质量关系为____________．
（3）甲每小时走a千米，乙每小时走b千米（a>b），若两人同时同地出发．
①反向行走x小时后，两人相距_______千米；
②同向行走y小时后，两人相距_______千米；
③他们从A地出发到达相距x千米的B地．若甲比乙早到2小时，则题中的一个等量关系是_______．
（B组）能力提高
根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）
（1）某班原分成两个小组活动，第一组30人，第二组20人，根据学校活动器材的数量，要将第一组人数调整为第二组人数的一半，应从第一组调多少人到第二组去？
所用的等量关系是
解：
（2）小赵去商店买练习本，回来后问同学：
“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠．我就买了20本，结果便宜了2.00元．你猜原来每本价格多少?
”
所用的等量关系是
解：
（3）小明的爸爸三年前为小明存了一份1000元的教育储蓄.今年到期时取出，得到的本息和为1243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.
所用的等量关系是
解：
（C组）挑战极限
根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）
针对居民用水浪费现象，某市制定用水标准，规定三口之家每月标准用水量，不超标部分每立方米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9元．王军家是三口之家，四月份用水12立方米，交水费22元．你能由上述数据算出规定的标准用水量吗?
所用的等量关系是
解：
四、课堂小结
（1）如何区分等式和方程?
（2）如何区分方程的解和解方程?
（3）如何理解方程与问题关系?
（4）如何检验一个数是不是方程的解?
亮点与不足：
七年级数学导（学）案
编写人：
郑威斌参与人：
弓丽琴郑威斌审核人：
郑威斌年月日
课题
6.2.1解一元一次方程
（1）
班级
姓名
组别
学
习
目
标
知识与技能：
掌握方程变形的原理，理解解一元一次方程的两个基本步骤；
过程与方法：
熟练掌握移项的法则并会熟练解一元一次方程
情感态度与价值观:
初步体会数学建模过程和思想.
学习过程
第一课时
一课前准备（方程的故事）
方程知识源远流长，在人类数学发展史的长河中，它至少已有三千五百年的历史，1858年英国人HenryRhind从收藏的古埃及草片文书（公元前1600年左右）中，发现其中记载一些求未知量的问题及解法，大体上相当于一元一次方程．例如，草片文书中的第31题，翻译成数学语言是：
“一个数，它的
，它的
，它的
，它的全部，加起来总共是388．”请求这个数是多少？
（你会将文字语言转化为数学符号语言吗？
）
二、探究新知
图6.2.1～6.2.3反映了由天平联想到的几个方程的变形．
x+2=5
x=5-2
图6.2.1
3x=2x+2
3x-2x=2
图6.2.2
2x=6
x=6
2
图6.2.3
由x+2=5
x=5-2,3x=2x+2
3x-2x=2可以看出原来等号左边的+2，变形后在“=”右边变成了-2，原来“=”右边的2x，变形后在“=”左边成了；我们归纳出方程的性质
性质1方程的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变．
性质2方程的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），方程的解不变．
思考：
移项要和化系数为两种变形.
第二课时
三课堂测试
（A组）基础训练
1、例1．下列各式哪些是方程，哪些不是方程，并说明理由．
（1）x＝3；
（2）1＋7＝15－8＋1；（3）1－
x＝x＋1；
（4）xy－3x＋2y－8＝0；（5）2x＋3y－1；
（6）
｜x｜－2xy＝
．
2、下列方程的变形是否正确？
为什么？
（1）由3＋x=5,得x=5+3;
（2）由7x=-4,得x=-
;
（3）由
得y=2;（4）由3=x-2,得x=-2-3.
3、（口答）求下列方程的解：
（1）－3＋x＝4；
（2）8x＝64；；
（B组）能力提高
根据下列条件列方程并求解．
（1）某数的5倍与它的差比它的3倍少1；
（2）某数的
与
的和等于这个数的
；
（3）某数与6的和的3倍等于10；
（4）某数与3的差的绝对值与它的一半相等．
（C组）挑战极限
下列方程移项正确的是（）
A、0.5x+3=3.5-2x,移项，得0.5x-2x=3.5-2
B、7x+6=8x-2,移项，得7x-8x=-2+6
C、9x-6=10x-8,移项，得10x-9x=-6+8
D、0.5x-1=0.25x+6,移项，得0
四、课堂小结
1、方程变形中移项的根据是什么
2、解方程的过程，就是对方程进行适当的变形，最终得到什么的形式。
亮点与不足：
七年级数学导（学）案
编写人：
郑威斌参与人：
弓丽琴郑威斌审核人：
郑威斌年月日
课题
6.2.1解一元一次方程
（2）
班级
姓名
组别
学
习
目
标
知识与技能：
掌握方程的同解变形原理，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。
过程与方法：
熟练移项法则，在解方程的时候，要注意观察方程，再动手解方程。
情感态度价值观：
培养同学们耐心、细致的学习习惯。
学习过程：
第一课时
一回顾旧知：
1、上节我们学习了一元一次方程的两个简单变形，第一个变形是移项，要注意移项时，所移动的项要。
第二个变形是将未知数的系数化为1，即化为的形式。
2、考一考你的眼力。
（1）x+3=5
（2）2x－1=7
x=5+32x=7+1
x=82x=8
x=1/4
二、探究新知
1、解下列方程：
6＝8＋2x；
探究：
做完和例题对照第一步要交换等式左右两边的位置，这样有什么好处？
2、看下面两个题，你先对比再动手。
13=6+3X②3=6-3X
探究：
这三个方程在求解的过程中的共同点，都是把所含未知数的项放在等式的，把常数项放在等式的。
第二课时
三、课堂测试
（A组）基础训练
1.3x＋4＝0. 2.7y＋6＝－6y
3.5x＋2＝7x＋8 4.3y－2＝y＋1＋6y.
（B组）能力提高多项式
（1）5x2－2kxy－y2＋
xy－3x中，不含xy项，则k＝_______．
（2）方程ax＝b，当_______时，其解为x＝
．
（3）当x＝_______时，代数式x与
的值相等．
（4）若方程3x－6＝ax的解为x＝4，则代数式a2－3a＋1的值为_______．
（5）在公式S＝
（a＋b）h中，已知a＝3，b＝5，S＝12，则h＝_______
（6）当x＝2时，二次三项式2x2＋mx＋4的值等于6．那么，当x＝－2时，这个二次三项式的值是_______．
（C组）挑战极限
已知y1＝x＋2,y2＝4－x.
（1）当x取何值时，y1=y2?
（2）当x取何值时，y1比y2大4？
四：
课堂小结；
解方程的实质是一个由未知向已知转化的过程．转化的方法是运用方程的两个基本性质进行变形，分离出已知数与未知数，最后转化为方程的最简形式：
ax＝b．
亮点与不足：
七年级数学导（学）案
课题
6.2.2解一元一次方程
（1）
班级
姓名
组别
学
习
目
标
知识与技能：
掌握一元一次方程的概念及解法
过程与方法：
去括号解一元一次方程，去分母解一元一次方程
情感态度与价值观：
使学生运用比较的方法来探索更好的解题方法。
自学过程
第一课时
一回顾旧知：
（1）2y＋3＝11－6y
（2）方程的概念
二探究新知
1、一元一次方程的概念
一元一次方程是指只含有_____个未知数,并且含有未知数的式子是________,未知数的次数是______的方程.方程中的的个数，叫做方程的元数．方程中含项的，叫做方程的次数．
2、去括号
解方程：
3（x－2）＋1＝x－（2x－1）．
归纳由小到大去括号，分配原则要记牢，注意符号勿漏乘，小小方程便学好。
3、去分母
（1）解方程：
注意
1）不要漏乘不含分母的项，
2）分子是个整体，去分母后要加上括号，
3）方程两边要乘分母最小公倍数
编写人：
郑威斌参与人：
弓丽琴郑威斌审核人：
郑威斌年月日
第二课时
三、当堂检测
（A）基础训练
1）解方程：
5（x＋2）＝2（5x－1）;
2）列方程求解：
当x取何值时，代数式3（2－x）和2（3+x）的值相等？
3）
（B）能力提高
（1）x取什么值时，代数式3（2－x）与2（3＋x）的值互为相反数?
（2）若代数式
－1的值为2，求x的值；
（C）挑战极限
k取何值时，代数式
的值比
的值小1？
课堂小结
1、一元一次方程的概念以及去括号、去分母的法则：
2、解一元一次方程的步骤：
亮点与不足：
七年级数学导（学）案
课题
6.2.2解一元一次方程
（2）
班级
姓名
组别
学
习
目
标
知识与技能：
从实际问题中抽象出数量关系，建立方程，把实际问题转化为数学问题，运用数学知识求解；
过程与方法：
感受数学知识在实际问题中的应用；
情感态度与价值观：
在动手实践活动中，初步体会数形结合思想在实践应用中的作用。
学习过程：
第一课时
一、回顾旧知：
（1）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．x2＋3x＝0B．
＝0C．x＋8D．x＋
＝4
（2）解方程：
;
（3）解方程：
；
二、探索新知：
1、如图6.2.4，天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？
设应从盘A内拿出盐xg，可列出表6.2.1．
解：
归纳
用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关
系，列出方程.求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答.
即步骤为审设找列解答
编写人：
郑威斌参与人：
弓丽琴郑威斌审核人：
郑威斌年月日
三、当堂测试第二课时
A）基础训练
某汽车公司有两个车队，共160辆汽车．因工作需要从第二车队调20辆车支援第一车队，这时第一车队的汽车正好是第二车队汽车的3倍，问第一、第二车队原有汽车各几辆?
若设第一车队原有汽车x辆，填写下表
原有汽车辆数
汽车调动情况
现有汽车辆数
第一车队
X
调进20辆
第二车队
160－x
调出20辆
本题的一个主要相等关系是：
_____________________；
列出相应的方程为：
_____________________；
解出方程，并经检验得：
第一车队原有汽车_______辆，第二车队原有汽车_______辆．
B）能力提高
学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖．初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了400块．问初一同学有多少人参加了搬砖?
设初一同学有x人参加搬砖，填写下表：
初一学生
其他年级学生
总数
参加人数
x
每人搬砖数
——
共搬砖数
本题的一个主要相等关系是：
_____________________；
列出相应的方程为：
_____________________；
解出方程，并经检验得：
初一学生有_______人参加了搬砖，其他年级有_______人参加了搬砖．
C）挑战极限
学校所在地的出租车计价规则如下：
行程不超过3千米，收起步价8元，超过部分每千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程?
四、课堂小结
用一元一次方程解答实际问题过程也可以简单地表述为：
其中分析和抽象的过程通常包括：
（1）弄清题意和其中的数量关系，
（2）用字母表示适当的未知数；
（3）找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；
（4）对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程.
注意：
在设未知数和解答时，应写清量的单位.
亮点与不足：
七年级数学导（学）案
课题
6.3实践与探索
（1）
班级
姓名
组别
学
习
目
标
知识与技能：
正确地找出等量关系，准确地设元并列出方程；
过程与方法：
在自主学习以及合作交流.
情感态度与价值观：
理解和体会数学建模思想在解决实际问题中的作用。
自学过程
第一课时
一、复习巩固
球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色块数比白色块数的一半多2，问两种皮块各有多少？
二、实践与探索（几何问题）．
本节课我们主要用一元一次方程来探究周长一定的情况下面积变化的情况。
问题一：
用一根长60㎝的铁丝围成一个长方形。
使长方形的宽是长的
，求这个长方形的面积。
解：
设这个长方形的长是x㎝，那么宽是㎝，依题意得
问题二：
使长方形的宽比长少3㎝，求这个长方形的面积。
探究：
在这两个问题中，能不能直接设长方形的面积为未知数？
问题三：
将题（3）中的宽比长少3厘米改为2厘米、1厘米、0厘米（即长与宽相等），长方形的面积有什么变化？
通过探索我们发现，长方形的周长一定的情况下，它的长和宽越接近，面积就.当长和宽相等，即成为正方形时，面积，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理.
知识拓展：
若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七凹八凸的不规则图形），面积最大的是圆.这里面的道理需要较为高深的学问.将来你有兴趣去认识它吗？
编写人：
郑威斌参与人：
弓丽琴郑威斌审核人：
郑威斌年月日
三、反馈训练第二课时
A）基础训练
（1）一个正方形的周长是8厘米，那么这个正方形的边长为_______厘米．
（2）用一根长18厘米的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多5厘米，求围成的长方形的长和宽各是多少厘米?
若设长方形的宽为x厘米，那么可得方程____________；
若设长方形的长为x厘米，那么可得方程____________．
（3）长方体甲的长、宽、高分别是55厘米、44厘米、33厘米，长方体乙的底面是边长为11厘米的正方形，如果甲体积是乙体积的12倍，求长方体乙的高．
设长方体乙的高为x厘米，则V乙＝_______，又V甲＝_______；
根据题意，得V甲＝_______V乙；
列方程为_____________________．
B）能力提高
一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱,它的高是多少?
（精确到0.1厘米,π取3.14）
C）挑战极限
在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃中，能否完全装下？
若装不下，那么瓶内水面还有多高？
若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.
课堂小结
1、几何问题：
有关面积或体积公式为基本等量关系．
2、有些应用题，有的量发生变化，而其中某些量始终保持不变．有时抓住其中的不变量就能很快地找到相等关系．例如，工程问题中，总工作量不变；劳动调配问题中，总人数不变；在等积变形问题中，面（体）积不变等．
3、利用线段、图形、表格等分析手段，使问题直观、形象化．
亮点与不足：
七年级数学导（学）案
课题
6.3实践与探索
（2）
班级
姓名
组别
学
习
目
标
知识与技能：
通过实践与探索，体会数学的价值，从而培养同学学习数学的兴趣。
过程与方法：
能够寻找实际问题中的等量关系，用方程知识给予解决。
情感态度与价值观：
在自主、合作中，提高自主学习的能力和合作的精神。
自学过程：
第一课时
一、复习巩固
已知圆柱甲的直径为40毫米，圆柱乙的直径为60毫米，高为60毫米，且圆柱乙的体积是圆柱甲的3倍，求圆柱甲的高。
二、实践与探索（储蓄问题和利润问题）
1.小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄．今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器．问小明爸爸前年存了多少元？
（
利息问题：
年利息＝本金×年利率×存期．
利息税＝年利息×20％．本利和＝本金＋利息＝本金×（1＋利率×存期））
探究：
（1）在这个问题中，利息是怎样计算的？
（2）买计算器的钱是否就是小明爸爸存钱后直接产生的利息？
（3）扣除利息的20%，那么实际得到的利息是多少？
你能否列出简单方程？
本题用等量关系
2.学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：
如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．（营销问题：
销售额＝售价×销售量．总利润=（售价-成本）×销售量
本题用等量关系
编写人：
郑威斌参与人：
弓丽琴郑威斌审核人：
郑威斌年月日
第二课时
三、反馈训练
A）基础训练
（1）学校图书馆原有图书a册,最近增加了15%,则现在有图书_______册;
（2）某商品按定价的八折出售,售价14.80元,则原定价是_________元.
B）能力提高
某煤矿预计今年比去年增产15%,达到年产煤60万吨,去年产煤多少万吨？
本题用等量关系
C）挑战极限
肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债4500元,今年到期,扣除利息税后,共得本利和约4700元.问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）?
本题用等量关系
四、课堂小结:
有些应用题的数量关系是通过包含运算意义的词语体现出来的．如：
和、差、倍、比、增加、减少、超过、提前、比几倍多几等．解题时，要善于分析这些关键性词语，通过这些词语寻找相等关系，从而列出方程．
亮点与不足：
七年级数学导（学）案
课题
6.3实践与探索（3）
班级
姓名
组别
学
习
目
标
知识与技能：
掌握行程问题中的数量关系。
过程与方法：
会用一元一次方程解决行程中的有关问题
情感态度与价值观：
激发学生兴趣,发挥学生的想象能力
学习过程
第一课时
一、复习巩固
1、一项工作，甲单独做7.5小时完成，乙单独做5小时完成．若两人合作1小时，再由乙单独做，问共几小时完成?
等量关系：
2、有一个三位数，它的十位数字比个位数字大2，百位数字比个位数字小2，三个数字的和的17倍等于原数，这个三位数是多少？
等量关系：
二、实践与探索（路程问题）
某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：
“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米／时，运货汽车的速度为35千米／时，
?
”请将这道作业题补充完整，并列出方程．（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）
思路一：
可以构造相向而行的第一次相遇的时间问题．
解：
补充为：
两车分别从甲、乙两地同时相向而行，经过几小时才能相遇?
若设两车经过x小时才能相遇，根据题意，得．
思路二：
可以构造追击问题．
解：
补充为：
摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地同向而行，经过几小时摩托车才能追上运货汽车?
若设经过x小时摩托车才能追上运货汽车，根据题意，得．
思路三：
可以构造回头相遇问题．
解：
补充为：
两车从甲地同时出发，到达乙地后迅速返回（在乙地不逗留），出发后两车何时第一次再相遇?
若设出发后两车x小时后第一次相遇，根据题意，得．
编写人：
郑威斌参与人：
弓丽琴郑威斌审核人：
郑威斌年月日
第二课时
三、反馈训练
A）基础训练
某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度是每小时7.5千米，水流的速度是每小时2.5千米。
若A.C两地相距10千米，求A.B两地的距离。
解：
设A.B两地的距离为x千米，因C地位置没有确定，所以需对C地位置进行分类讨论：
（1）当C地在A.B两地之间时，由题意列方程得：
------------------------------，解得--------------。
（2）当C地在A.B两地之外时，由题意列方程得：
------------------------------，解得--------------。
故A.B两地的距离为--------------------。
B）能力提高
从甲地到乙地公共汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程近了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4个小时即可到达。
求甲乙两地之间高速公路的路
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