数学建模A题国一.docx
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数学建模A题国一
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
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A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
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兰州交通大学
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年月日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
城市表层土壤重金属污染分析
摘要
本文主要针对城市表层土壤重金属污染进行分析，并根据其传播特征建立模型以确定污染源的位置，更好地研究城市地质环境的演变模式。
文中采取的方法是首先通过单因子综合污染指数和内梅罗综合污染指数相结合的方法确定污染源，然后再采取的多项式拟合方法验证。
对于问题一：
主要采用绘制切片图的方法对空间分布情况进行表述，首先根据已知数据，采用内插法，运用MATLAB绘制三维地形图。
之后将海拔分为5个区间进行切片绘图和分析，最后，采用折线图的表示方法从宏观的角度加以说明。
在对污染程度进行分析时，本文采用污染指数法评价模型，其中包括单因子污染指数法和综合污染指数法。
对于问题二：
要求找出重金属污染的主要原因，本文从分析重金属污染的主要来源入手，运用因子分析的方法，分别列出变量相关矩阵、特征值和累计贡献率、旋转前因子载荷矩阵、方差极大正交旋转后因子载荷矩阵。
分析出交通区和工业区产生的废气和粉尘是重金属污染的主要原因。
对于问题三：
要求确定污染源，我们可以在基本假设的基础上，定性分析
污染源对周边采样点的传播特征。
然后用单因子指数法和内梅罗综合污染指数法
对各点的污染指数进行评定得出各点的综合污染程度，再用熵值法进行验证，得
出（2708,2295,22）、（13694、2357、33）、（15248、9106、16）是受重金属污染最严重的几个点，再根据扩散原理可知重金属污染最严重的几个地区就是污染
源。
最后，首先用一个污染源和其周边的采样点通过数据拟合建立出污染程度与
污染源距离的函数关系（此此处采取的是多项式拟合），然后再用其他污染源和
其他采样点对该函数进行修正得出结论。
同时我们还对污染程度与海拔高度进行
了拟合得出相应的关系以弥补我们未考虑高度影响引起的误差。
对于问题四：
为了更好的研究城市地质环境的演变模式还需要收集本地多年的重金属污染情况，只有如此才能将各年的情况进行比较得出演变过程。
同时我们还应该考虑到本地本身的资源状况，采集点取样应采取不同土层综合取样才能更好的代表该地数据。
我们仔细分析了模型的优缺点。
为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集该地区的每年生活、工业等重要污染源的垃圾排放量，以及每年的生物降解量，降雨量对重金属元素扩散的影响，空气污染也应该考虑进去。
有了这些数据以后建立因子分析法，回归分析，曲线拟合等模型解决问题。
本模型的优点主要是将数学知识与计算机知识相结合且比较简洁，使用起来
比较方便，使用面也比较广泛。
缺点是有些条件没有考虑，对一些东西只能作出
定性的分析，还需要进行优化。
关键词单因子指数内梅罗综合污染指数熵值法扩散原理数据拟合_
关键词：
插值法、均值法、扩散模型、因子分析、回归分析。
1．问题的提出
由于经济的快速发展和人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
环境问题与人类的生活息息相关，良好的环境可以促进人类的身体健康，而如果环境受到污染，则会使人类的健康受到危害。
而在土壤的污染物中，重金属元素污染物具有毒性大、不易被土壤微生物等降解，易被生长在土壤中的植物吸收，并通过生物富集作用进入食物链中，对人类的健康产生较大的影响，因此土壤的重金属污染问题受到越来越多的重视，这个问题的研究也正成为环境科学中的一个热点问题。
题目中已给出某城市城区土壤地质环境的调查数据。
本论文针对不同的功能区，不同的海拔高度和不同的重金属元素，利用已知的采样点数据进行分析，通过绘制切片图的方法，最终得到准确直观的空间分布图。
考虑了……等因素，通过建立……的数学模型，借助于计算机的高速运算与逻辑判断能力，求出其污染源。
为了保护人类自身的健康，应该充分研究重金属元素在土壤中分布、来源及传播特征，建立相应的重金属污染物分布、来源及传播特征的模型，通过掌握的污染现状来预测其发展趋势，可以为制定某城区相应的防范和应对措施提供科学依据，以防止这些污染物更大范围的扩散，避免引起更大范围的污染。
因此，研究重金属元素在土壤中的分布、来源及传播特征，并对其建立模型，进行仿真计算，具有攸关人类生存、健康与可持发展的现实意义。
主要解决的问题如下：
（1）给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
（2）通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
（3）分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
（4）分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？
有了这些信息，如何建立模型解决问题？
2．问题的分析
2.1空间分布情况分析方法
为了准确表达该城区内重金属的污染情况，在考虑地形和海拔的基础上，运用切片绘图的方法，将海拔按照分成若干区间，绘制出每一区间不同重金属元素的分布图，并辅以采样点的分布情况。
切片图的x轴坐标为附件1中的x（m）列的数据值，即为采样点的横坐标；切片图的y轴坐标为附件1中的y（m）列的数据值，即为采样点的纵坐标。
图中线条的密集程度表示该元素在特定海拔区间的分布情况。
2.2污染程度评价方法与标准
对土壤环境质量进行评价时所采取的评价方法多种多样，主要有污染指数法、污染程度法，T值分级法、基准分级法、密切值法和模糊数学综合评判法、灰色聚类法等。
文中在对研究区原始测试数据分析评价的基础上，采用污染指数法对该地区土壤的环境质量进行现状评价。
污染指数法具有一定的客观性和可比性，且易于计算，己在环境质量评价中得到了广泛的应用。
在采取污染指数法进行该区土壤环境质量评价时，参照中国土壤环境质量标准（GB15618－1995）来确定评价标准。
所采用的污染指数法评价模型包括单因子污染指数法和综合污染指数法。
本文主要以单因子污染指数法为依据进行分析。
2.3重金属污染的主要原因分析
要想分析重金属污染的主要原因，就要从污染物的主要来源入手进行分析。
本文中所研究城区按功能分为生活区，工业区，山区，交通区，公园绿地区。
主要重金属污染来源有个方面，即：
居民生活污染源、工业生产污染源、交通污染源。
研究时采用多元统计数学方法之一的因子分析，它根据多个实测变量之间按的相互关系，运用数学变换，将多个变量转变为少数几个现行不相关的综合指标，从而简化数据处理。
其目的在于对大量观测数据，用较少的有代表性的因子来说明众多变量所提取的主要信息，提出多个变量间的因果关系。
因子分析从变量的相关矩阵出发将一个
维的随机向量
分解成低于
个且有代表性的公因子和一个特殊的
维向量，使其公因子数取得最佳的个数，从而使对
维随机向量的研究转化成对较少个数的公因子的研究。
设有
个样本，
个指标构成样本空间
，
，
1,2，…，
；
1,2，…，
（1）
因子分析过程一般经过以下步骤：
（1）原始数据的标准化，标准化的公式为
（2）
其中
为第
个样本的第
个指标值，而
和
分别为
指标的均值和标准差。
标准化的目的在于消除不同变量的量纲的影响，而且标准化转化不会改变变量的相关系数。
（2）计算标准化数据的相关系数阵，求出相关系数矩阵的特征值和特征向量。
（3）进行正交变换，使用方差最大法。
其目的是使因子载荷两极分化，而且旋转后的因子仍然正交。
（4）确定因子个数，计算因子得分，进行统计分析。
因子分析只强调变量的离差（变化量）而不强调变量在样品中的比重（百分含量）。
因子分析的数学模型中，通过正交的方差最大旋转法使每一个主因子只与最少个数的变量有相关关系，而使足够多的因子负荷均很小。
变量或因子的重要程度都是以其方差大小来衡量的。
因子旋转后每个变量因子负荷代表着在系统中作用或重要性程度，以各个变量目标因子载荷平方与因子方差贡献率乘积作为变量的权重，构成一个判别污染来源的综合指标，而且因子分析是一个客观计算同主观思维相结合的过程。
其它多元统计分析（如判别分析，回归分析）的计算结果基本上是一个最终结果，可以直接予以应用，但因子分析的计算结果（因子解）只能看作是一个中间结果，剩下的部分要求人们用自己的思维来完成，这就涉及环境地球化学知识、经验，甚至于思维方式和哲学思想。
2.4重金属污染物的传播特征及模型分析
3.模型假设
（1）
（2）
4.符号说明
为浓度（mg/kg）；
为
指标的均值；
为
指标的标准差；
为土壤中污染物
的实测数据；
为污染物
的评价标准·；
为内梅罗综合污染指数；
5.模型的建立及求解
5.1重金属元素的空间分布图及结论
5.1.1重金属元素空间分布图
为了方便描述重金属元素空间分布情况，首先模拟出所研究城区的地形图。
具体方法为，建立三维直角坐标系，按照附件一所给出的数据，运用内插法，借助MATLAB绘图功能，模拟出地形图如图1所示。
图1
在了解地形的基础上，我们运用MATLAB做出采样点的水平面散点图（图2），作为分析空间分布情况的考虑要素。
由图2可得，5类区的划分有交叉点的存在，，功能区之间并不独立。
图2
在分析了地形和采样点分布情况之后，将用Excel处理过的数据导入至软件Surfer8.0中绘制切片图。
首先，将海拔分成5个区间，分别为0~40、40~80、80~120、120~160，160~230，单位为米，m。
之后，x轴、y轴分别为x（m），y（m）的值，绘制切片坐标。
图3表示的是As元素和Cd元素的空间分布情况。
海拔在0~40m的范围内，该城区西南地区的Cd重金属污染浓度较大，主要集中在工业区和交通区。
随着海拔的上升，在40~80m的范围内，重金属污染浓度相对减轻，但仍是工业区和交通区较高。
两图对比来看，Cd的浓度普遍高于As元素。
图3
图4表示的是Cr元素和Cu元素的空间分布情况。
海拔在0~40m的范围内，该城区西南地区的重金属污染浓度相对较重，主要集中在工业区周围，属于交通区和生活区的采样点Cr、Cu浓度也相对较大。
随着海拔的上升，在40~80m的范围内，重金属污染浓度相对减轻。
两图对比来看，Cu的浓度普遍高于Cr元素。
图4
图5表示的是Hg元素和Ni元素的空间分布情况。
海拔在0~40m的范围内，Ni元素的浓度较低，Hg元素的浓度较高，主要集中在工业区、交通区和生活区。
随着海拔的上升，在40~80m的范围内，重金属污染浓度相对减轻，两图对比来看，Hg的浓度普遍高于Ni元素。
图5
图6示的是Pb元素和Zn元素的空间分布情况。
海拔在0~40m的范围内，Pb的污染主要集中在西南方向，Zn的污染主要集中在城区中部偏西的位置。
随着海拔的上升，在40~80m的范围内，重金属污染浓度相对减轻。
两图对比来看，Zn的浓度高于Pb元素。
图6
As的灰度图
Cd的灰度图
Cr的灰度图
Cu的灰度图
Hg的灰度图
Ni的灰度图
Pb的灰度图
Zn的平面分布图
5.1.2空间分布情况总结
从各地区元素浓度对比图中（图7）及八种重金属元素平面分布图可以得出，该城区土壤中As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn有一定程度的积累；在工业区和交通繁忙地带以及生活区含量较高。
8种重金属元素在该城区总含量,Cd>Hg>Zn>Pb>Cu>Cr>Ni>As。
大部分重金属元素含量超过背景值。
其中，工业区Hg金属含量最高，山区的重金属含量基本与该地区的背景值持平。
图7
5.2重金属污染物污染程度分析
5.2.1计算及分析方法
首先采用单因子污染指数法。
单因子污染指数评价即对土壤中的某一污染物程度进行评价。
通过单因子评价，确定单个土壤质量参数的污染情况，它是多因子综合评价的基础。
但项污染指数公式为：
（3）
式中：
为土壤中污染物
的单项污染指数;
为土壤中污染物
的实测数据;
为污染物
的评价标准。
采用Xa、Xc和Xp分别代表土壤污染积累起始值、中度污染起始值和重度污染起始值（表1）。
表1
根据Xa、Xc、Xp值和计算公式确定污染等级、污染指数范围:
1为非污染，相应地区为非污染;1<
2为轻污染，相应地区为轻度污染区;2<
3为中度污染，相应地区为中度污染区;
>3为重污染，相应地区为重度污染区。
按照以上污染指数范围，再求具体的污染指数，可以消除由于各污染物的评价标准不同，
可能相差极大的现象。
具体计算公式如下:
（4）
（5）
（6）
（7）
之后，我们在但因子污染指数法评价的基础上，运用综合污染指数法—内梅罗（N.L.Nemerow）指数进行综合污染指数评价。
内梅罗指数是一种兼顾极值或称突出最大值的计权型多因子环境质量指数，它特别考虑了污染最严重的因子，而且在加权过程中避免了权系数中主观因素的影响，使得评价结果更加客观。
综合污染指数公式为:
（8）
式中:
为内梅罗综合污染指数;
为土壤中污染物
的实测数据;
为污染物
的评价标准。
土壤环境质量分级是土壤质量评价的基本内容。
评价区域内的土壤综合污染指数达到3级或3级以上时，表明该地区的土壤已经受到一定程度的污染。
5.2.1结果与讨论
该区区土壤重金属含量由表2可见。
重金属
最大值
最小值
平均值
标准偏差
变异系数
区域背景值
As（µg/g）
30.130
1.61
5.676
3.02429
0.532774
3.6
Cd（ng/g）
1619.8
40
302.396
224.9876
0.744016
130
Cr（ng/g）
920.84
15.32
53.509
70.00179
1.308207
31
Cu（ng/g）
2528.48
2.290
55.016
162.9151
2.961194
13.2
Hg（ng/g）
16000
8.570
299.711
1629.540
5.437032
35
Ni（ng/g）
142.50
4.270
17.261
9.941420
0.575920
12.3
Pb（ng/g）
472.48
19.68
61.740
50.05776
0.810771
31
Zn（ng/g）
3760.82
32.86
201.202
339.2325
1.686025
69
表2该城市重金属测量数据统计分析结果（mg/kg）
八种重金属元素的平均含量均超过该地区的背景值，99%以上研究区域土壤中重金属含量超过区域背景值。
土壤样品重金属Cd、Cu、Hg、Zn、Cr含量的最大值均远大于表1中土壤污染评价标准重度污染起始值，且分别为区域背景值的12.46、191.55、457.14、54.50、29.70倍，其平均值为302.396、55.016、299.711、201.202、53.509mg/kg,是当地背景值的2.326、4.167、8.563、2.915、1.726倍，说明该区土壤重金属污染较为严重。
土壤样品重金属Ni含量的最大值在土壤污染评价标准轻度污染起始值与中度污染起始值之间，是区域背景值的11.585倍，其平均值为17.261mg/kg，是当地土壤背景值的1.403倍。
土壤样品重金属As、Pb含量的最大值在土壤污染评价标准中度污染起始值与重度污染起始值之间，分别为区域背景值的8.369、15.241倍;平均值为5.676、61.740mg/kg，分别为区域背景值的1.576、2.915倍。
Zn、Pb和Cd的污染源主要是工矿活动的粉尘，其次可能由于交通运输、污水灌溉、生活垃圾等人类生活。
该城区土壤重金属含量差异不大，就变异系数而言，表现为:
Hg>Cu>Zn>Cr>Pb>Cd>Ni>As，即该区域土壤中Hg含量差异大，As含量差异最小。
根据公式（3）—（8），计算研究区土壤样品中重金属的各项污染指数，其统计分析特征（表3）。
表3不同区域土壤重金属污染指数及污染评价
由表3可知，研究区域中交通区的综合污染指数最高，为2.669，属于中度污染。
工业区的综合污染指数为2.608，属于中度污染。
山区的综合污染指数最低，为0.691，属于清洁的环境。
Zn、Cd、Pb的单项污染污染指数平均值为1.291、1.255、1.049，说明该区域土壤Zn、Cd、Pb元素为轻污染。
Ni、Hg、Cu、Cr、As的单项污染污染指数平均值分别为0.406、0.208、0.574、0.582、0.403，说明该区域土壤Ni、Hg、Cu、Cr、As元素为清洁。
5.3重金属污染的主要原因分析与说明
5.3.1重金属污染的主要原因分析
重金属指密度在4.0g/cm3以上的约60种元素或密度在5.0g/cm3以上的45种元素。
有些元素不是金属，但是由于其具有与重金属相类似的性质，因此也将它们列入重金属的范围之内，例如As和Se。
环境污染方面所指的有害重金属主要是指具有显著生物毒性的Hg,Cd,Pb,Cr以及类金属As,还包括具有毒性的重金属Zn,Cu,Co,Ni,V等污染物。
土壤中的重金属按来源可以分为两类：
①母质风化后残留的（内源）;②人为活动通过各种污染途径积累的（外源）。
外源的重金属来源主要包括工业、农业、交通和能源、采矿、冶金等各种生产活动。
这些外源性重金属进入土壤的途径又可有：
大气沉降、污水灌溉、固体废弃物的堆放、农用物资的使用。
该城区土壤单点样重金属元素含量的数据特征完全符合因子分析的要求，并以As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn八种重金属元素指标作因子分析，在解释各指标变化异常时可以着重讨论综合指标因子，同时为该城区中金属污染成因的解释提供一定的理论依据。
以下对该城区土壤单点样重金属元素含量的数据标准化处理后，经SPSS19.0统计软件进行因子分析，可得出以下结果。
首先给出该城区表层土壤As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn八种重金属原始含量数据的相关系数矩阵，如表4所示。
指标
As
Cd
Cr
Cu
Hg
Ni
Pb
Zn
As
1
0.255
0.189
0.160
0.064
0.317
0.290
0.247
Cd
0.255
1
0.352
0.397
0.265
0.329
0.660
0.431
Cr
0.189
0.352
1
0.532
0.103
0.716
0.383
0.424
Cu
0.160
0.397
0.532
1
0.417
0.495
0.520
0.387
Hg
0.064
0.265
0.103
0.417
1
0.103
0.298
0.196
Ni
0.317
0.329
0.716
0.495
0.103
1
0.307
0.436
Pb
0.290
0.660
0.383
0.520
0.298
0.307
1
0.494
Zn
0.247
0.431
0.424
0.387
0.196
0.436
0.494
1
表4变量相关矩阵
可见，Cr和Ni的相关性最好，相关系数最大，为0.716，其次为Pb和Cd，相关系数为0.660，以下依次是Cr和Cu，Pd和Cu的相关性较好，相关系数分别为0.532和0.520，Ni和Cu的相关系数为0.495，Zn和Pd的相关系数为0.494，其它元素之间的相关性并不是很好。
从成因上来分析，相关性较好的元素可能在成因和来源上有一定的关联。
因子分析的关键就是利用相关系数矩阵求出相应的因子的特征值和累计贡献率，用SPSS19.0统计软件计算可得出，见表5。
因
旋转前
旋转后
子
总的特征值
占总变量百分率%
累积贡献率%
合计
方差的%
累积
%
F1
3.56
44.5
44.5
1.827
22.834
22.834
F2
1.150
14.377
58.877
1.525
19.063
41.897
F3
0.965
12.063
70.941
1.045
13.068
54.965
F4
0.768
9.596
80.537
1.032
12.898
67.863
F5
0.578
7.220
87.756
1.020
12.744
80.607
F6
0.432
5.399
93.156
1.004
12.549
93.156
表5特征值和累计贡献率
在累积方差为93.156％（＞90％）的前提下，分析得到6个主因子，可以看到6个主因子提供了源资料的93.156％的信息，满足因子分析的原则，而且从上表可以看出旋转前后总的累计贡献率没有发生变化，即总的信息量没有损失。
从表5还可得出，旋转之后，主因子1和主因子2的方差贡献率均为20％左右，主因子3到主因子6的方差贡献率的范围为12.594％到13.068％之间。
这可以解释为因子1和因子2可能为该城区土壤重金属污染的最重要的污染源，对该城区重金属污染的贡献最大，因子3、因子4、因子5、因子6对该城区重金属污染有重要作用。
因子分析的主要目的是将具有相近的因子荷载的各个变量置于一个公因子之下，正交方差最大旋转使每一个主因子只与最少个数的变量有相关关系，而使足够多的因子负荷均很小，以便对因子的意义作出更合理的解释。
输出结果见表6和表7。
指标
F1
F2
F3
F4
F5
F6
Pb
0.764
0.314
0.237
-0.248
-0.158
-0.217
Cu
0.756
0.125
-0.365
0.137
-0.155
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