第三章《一元一次方程》综合指导一.docx

第三章《一元一次方程》综合指导一.docx

《第三章《一元一次方程》综合指导一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章《一元一次方程》综合指导一.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第三章《一元一次方程》综合指导一

第三章《一元一次方程》综合指导

（一）

一、复习目标

1．知道方程、方程的解、等式的基本性质以及一元一次方程及其相关的概念.

2．能灵活解数字系数的一元一次方程，并体验解方程中蕴含的转化思想.

3．能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，求方程的解和解决结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力.

4．在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值，体验在生活中学数学，在生活中用数学的过程.

二、重要知识点回顾

1．方程

（1）方程的定义：

含有的等式叫做方程.

（2）方程的解：

能够使方程左、右两边的值相等的的值叫做方程的解.

（3）解方程：

求方程的过程叫做解方程.

2．一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的，这样的方程叫做一元一次方程.

3．解一元一次方程的步骤：

①去分母：

在方程的两边都乘以各分母的.注意不要漏乘不含分母的项，分子为多项式的要加上括号；

②去括号：

一般先去，再去号，最后去.注意不要漏乘括号里的项，当括号前是“-”时，去掉括号时注意括号内的项都要变号；

③移项：

将含有未知数的项移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边.注意移项要，移项和交换位置不同；

④合并同类项：

将同类项合并成一项，把方程化为ax=b（a≠0）的形式.注意只合并同类项的；

⑤系数化为1：

在方程ax=b的两边都除以a，求出方程的解x=.注意符号，不要把方程ax=b的解写成x=

。

4．列方程解应用题的步骤：

（1）审：

弄清题意，正确理解，准确把握题目条件中的即已知量和未知量，必要时可用图表辅助分析；

（2）设：

设出未知数，将题设条件中的语句都“翻译”成含有“字母”的代数式；

（3）列：

寻找等量关系，列出方程；

（4）解：

解方程，求出未知数的值；

（5）验：

检验所求的未知数的值是否是所列方程的解，受否符合题意；

（6）答：

根据题意写出答案.

5、实际问题的常见类型

（1）日历问题：

①相关公式：

上下相邻的两个数都相差7；前后相邻的两个数都相差1；②相等关系：

由几个相邻数的和，求各天的具体日期.

（2）储蓄问题：

①相关公式：

利息=本金×利率×期数×（1－20%）（20%为利息税）；②相等关系：

本息和=本金+利息.

（3）打折销售问题：

①相关公式：

利润率=利润÷进价；商品售价=商品标价×商品销售折扣；商品售价=商品进价×（1＋商品利润率）②相等关系：

利润=售价-进价；商品进价×（1＋商品利润率）=商品标价×商品销售折扣.

（4）等积变形问题：

①相关公式：

长方体的体积=长×宽×高;圆柱的体积=底面积×高等.②相等关系：

变形前的体积=变形后的体积.

（5）和差倍分问题：

①相关公式：

增长量=原有量×增长率；②相等关系：

现有量=原有量＋增长量，现有量=原有量－降低量.

（6）工程问题：

①数量关系：

工作量=工作时间×工作效率.②相等关系：

总工作量=各部分工作量的和.

（7）行程问题：

①相关数量关系：

路程=时间×速度;②相等关系：

相遇问题：

两者路程和=总路程；追及问题：

两者路程差=相距路程；航行问题：

顺流（风）速=静水（风）速＋水流（风）速；逆流（风）速=静水（风）速－水流（风）速.

（8）成龙配套问题：

①相关数量关系：

某物体的数量是另一个物体的几倍；②相等关系：

每天每人的工作效率×人数=每天的工作量（产品数量）.

（9）数字问题：

多位数的表示方法：

abcd是一个多位数，它可表示为：

abcd=a×103＋b×102＋c×10＋d，其中a、b、c、d均为大于或等于0而小于10的整数.

（10）社会的热点问题：

以实物信息题、对话信息题为主要类型.

四、思想方法

1、方程思想：

就是把未知数用字母表示，并将字母看成已知数，让字母和已知数一同参与运算，这就是方程思想.很多问题用方程思想来解决，往往比其他方法简捷的多.

2、转化思想：

解一元一次方程，就是把形式比较复杂的方程，逐步化简为最简形式：

ax=b（a≠0）.进而写出方程的解x=

就是转化思想的应用和体现.

3、数形结合思想：

是指在研究问题的过程中，由数思形、由形思数，把数与形有机的结合起来分析问题的思想方法.本章列方程解应用题常用这种方法.

4、整体思想：

在解方程或列方程时，把某一部分看成一个整体来处理的方法.

五、易错点例析

1、错于移项

例1解方程4x-2=3-x.

错解：

移项，得4x-x=3-2.

合并同类项，得3x=1.

方程两边同除以3，得x=

.

分析：

方程中的某一项从方程的一边移到另一边，应改变符号，而上述并没有改变符号.

正解：

移项，得4x+x=3+2.

合并同类项，得5x=5.

方程两边同除以5，得x=1.

2、错于去分母

（1）去分母时漏乘不含分母的项

例2解方程

=

-1.

错解：

去分母，得4（2x-1）=3（x+2）-1.

去括号，得8x–8=3x+6–1.

移项、合并同类项，得5x=13.

方程两边同除以5，得x=

.

分析：

去分母时，方程两边都乘各分母的最小公倍数，而上述解法漏乘了方程右边不含分母的项“1”.

正解：

去分母，得4（2x-1））=3（x+2）-12.

去括号，得8x–8=3x+6–12.

移项、合并同类项，得5x=2.

方程两边同除以5，得x=

.

（2）去分母时漏添括号

例3解方程

-

=1.

错解：

去分母，得4x+2-5x-1=6.

移项、合并同类项，得x=-5.

分析：

上述错误是忽视了分数线的双重功能，即分数线不仅具有“除号”作用，而且还具有“括号”作用.因此去分母时，不要忘记给分子加上括号，特别是最小公倍数与分母相等时更要注意.

正解：

去分母，得2（x+1）-（5x-1）=6.

去括号，得2x+2–5x+1=6.

移项、合并同类项，得-3x=3.

方程两边同除以-3，得x=1.

3、错于去括号

例4解方程11x+1=5（2x+1）.

错解：

去括号，得11x+1=10x+1.

移项、合并同类项，得x=0.

分析：

运用乘法分配律去括号时，用括号外面的数去乘括号内的每一项，再把积相加.上述解法只乘了括号内的第一项.

正解：

去括号，得11x+1=10x+5.

移项、合并同类项，得x=4.

4、错于把未知数的系数化为1

例5解方程2x+5=10-8x.

错解：

移项，合并同类项，得10x=5.

系数化为1，得x=2.

分析：

把方程10x=5中x的系数化为1时，两边都除以10即10为除数，应得x=

.上述解法10作了被除数，故而错误.正解略.

5、错于化小数为整数

化分母的小数为整数时混用分数基本性质和等式基本性质

例6解方程

-

=1.

错解：

原方程变形为：

-

=10，

去分母，得2（10x+10）-（30x-10）=40.

移项，合并同类项，得-10x=10.

方程两边同除以-10，得x=-1.

分析：

原方程为了把分母0.2和0.4化为整数，利用分数基本性质将

和-

两项的分子、分母同乘以10，并非利用等式基本性质，方程两边都乘以10，方程右边应为1而不是10.

正解：

原方程变形为：

-

=1.

去分母，得2（10x+10）-（30x-10）=4.

移项，合并同类项，得-10x=-26.

方程两边同除以-10，得x=2.6.

六、重要考点例析

1．一元一次方程的定义

和一元一次方程的定义有关的题目主要有：

（1）识别所给的方程哪个是一元一次方程；

（2）根据实际问题中的数量关系列出方程.（3）根据方程的根，写出方程.

例1例1下列方程中，属于一元一次方程的是（）

A．

；B．

；C．

；D．

.

析解：

要判断一个方程是不是一元一次方程，主要看这个方程是否满足一元一次方程的条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的指数为1；（3）必须是整式方程，简单地说分母中不含有未知数的方程.答案C具备这三个条件，故答案应选C.

评注：

判断一个方程是否是一元一次方程，其主要依据一元一次方程的定义.

例2某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人.现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援.问第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？

设抽调

人，则可列方程（）

A.

；B.

；

C.

；D.

.

析解：

要选择正确的方程，首先要从问题中找到相等关系，然后用含有x的代数式表示各种量，列出方程.本题应用x表示从第二组抽调人数，则第一组人数达到（22＋x）人，第二组为（26－x）人，根据抽调后第一组的人数是第二组的2倍，所以列出方程22＋x=2（26－x）.故应选B.

评注：

根据实际问题列方程，其实质是用字母表示出各个数量关系，依据相等关系列出方程.

例3已知

是方程

的解，则a=．

析解：

根据方程解的定义，将x=5代入方程

，

即

，解得，a=－9.

评注：

已知方程的解求参数的值，是一种逆向思维.根据方程解的意义和解方程的意义即可求得.

2．解一元一次方程

解一元一次方程的一般步骤是：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式.根据题意可交换顺序，去分母注意没有分母的项也同乘分母的最小公倍数，移项要改变符号，最后要形成检验的习惯.

例4解方程：

.

解：

去分母，得3（x－1）－12=2（2x＋1）

去括号，得3x－3－12=4x＋2

移项，得3x－4x=2＋3＋12.

合并同类项，得－x=17

系数化为1，得x=－17.

评注：

方程中含有分母，一般应先去分母，特别注意要防止漏乘不含分母的项和分数线的括号作用.

例5解方程

.

分析：

解一元一次方程时,有括号的一般方法是先去括号.根据方程的特点有时不先去括号反而简单.

解：

移项，得

（x－3）＋

（x－3）=2，

合并同类项，得x－3=2，

移项，得x=5

评注：

本题运用了整体思想，即将（x－3）看做一个整体，达到灵活求解的目的，在解方程时，一定要认真观察方程的特点，选择灵活的方法求解.

3．列方程解实际问题

列方程解实际问题，特别是社会的热点问题，是一个重点，也是考试中的一个热点.列方程解实际问题的关键是从实际问题中找出相等关系，并通过设未知数，根据相等关系列出方程.

例6请你替小健同学解答以下问题：

分析：

根据图画息型知，购买名著的费用=（65×20）元，购买辞典的费用=购买辞典的本数×辞典的单价40元，购买辞典的费用＋购买名著的费用=2000.根据相等关系即可列出方程，问题得以解决.

解：

设还能买词典x本.根据题意，得

40x＋65×20=2000，

解得，x=17.5.

由于x为整数，所以x=17（本）

故最多还能买词典17本.

评注:

解决本题的关键是从图画息型中找到相等关系.本题所隐含的相等关系是：

购买辞典的费用＋购买名著的费用=2000.

例7母亲节那天，很多同学给妈

妈准备了鲜花和礼盒.从图中信息可知

一束鲜花的价格是多少元？

分析：

本题以实物图形给出数据

信息，具有直观、形象的特点.由图中可知，

一束鲜花的钱＋两个礼盒的钱=55元，两束鲜花的钱＋三个礼盒的钱=90元，

由此可设鲜花的单价为x元，则礼盒的单价为

元，列方程解决问题.

解：

设鲜花的单价为x元，则礼盒的单价为

元.由图形信息，得

2x＋3×

=90，解得x=15.

所以一束鲜花的价格是15元.

评注：

当一个实际问题中包含两个相等关系时，根据其中一个相等关系设出未知数，则根据另一个相等关系列方程.

例8某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费数据如下表．

为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？

分析：

本题是一道表格信息题.通过观察表格信息，可设三人普通房共住了

人，则双人普通房共住了

人，根据相等关系：

三人普通间的费用＋双人普通间的费用=1510，列方程解决问题.

解：

设三人普通房共住了

人，则双人普通房共住了

人，

根据题意，得

．

解得x=24，即50－x=26.

且

（间），

（间）．

答：

三人间普通客房、双人间普通客房各住了8、13间．

评注：

表格信息型问题要求学生依据所给出的信息通过整理、分析以及加工等手段进行解答的一类实际应用问题.其主要考查学生阅读表格和处理信息的能力.

例9为净化空气，美化环境，我市冷水滩区在许多街道和居民小区都种上了玉兰和樟树，冷水滩区新建的某住宅区内，计划投资1.8万元种玉兰树和樟树共80棵，已知某苗甫负责种活以上两种树苗的价格分别为：

玉兰树300元／棵，樟树200元／棵，问可种玉兰树和樟树各多少棵?

分析：

随着时代的进步，保护环境，美化环境，成了人们关注的问题.本题取材于社会的热点问题，解决问题的关键是认真分析题意，找出相等关系.

解：

设种玉兰树

棵，樟树（80－x）棵.根据题意，得

300x＋200（80－x）=18000，

解得，x=20，即80－x=60.

答：

可种玉兰树20棵，樟树60棵．

评注:

解决本题的关键是找到相等关系，即玉兰树的费用＋樟树的费用=18000，注意统一单位.