人教版初中数学八年级下册1823正方形的性质与判定教案设计.docx

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人教版初中数学八年级下册1823正方形的性质与判定教案设计

正方形

教学目标;

1.理解并运用正方形的定义计算和证明.

2.理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明.

3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系.

经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.

让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.

【重点】正方形性质和判定定理的应用.

【难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.

【教师准备】教学中出示的教学插图、问题和例题.

【学生准备】复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.

导入一:

[过渡语]前面我们研究了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定,现在请同学们回忆学过的内容,回答下面的问题.

.

回答上面的问题学生观察教具变化情况,结合所学菱形、矩形知识这里让学生从动态的角度出发正方形是学生熟悉的几何图形,,小学已经学过设计意图[].体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别认识正方形,,感受特殊与一般的关系

:

导入二

八年级

（2）班的简兰同学想买一条方纱巾.有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾,非常想买,但她拿起来看时感觉纱巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子,马上过来拉起一组对角,让她看另一组对角是否对齐,她还有些疑惑,老板又拉起另一组对角让她检验,她终于买下这块纱巾,你认为她买的这块纱巾是正方形的吗?

当时采用什么方法可以检验出来?

学了这节后,你就会做出准确的判断了.

[设计意图]将数学问题融入生活情境,拉近了学生与数学之间的距离,激发学生研究正方形的积极性.

新知构建：

1.正方形的认识

思路一

[过渡语]结合上面的演示,请同学们回答下面的问题:

（1）什么样的图形是平行四边形?

（2）什么样的图形是矩形?

（3）什么样的图形是菱形?

（4）什么样的图形是正方形?

学生讨论,回答.

在学生回答的基础上,教师引导学生归纳:

正方形是有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形.

追问:

正方形与矩形、菱形之间有什么关系呢?

学生思考,回答:

正方形既是矩形,又是菱形.

[设计意图]结合图形的演示,让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定.在此基础上尝试归纳正方形的定义,理解正方形的定义,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.

思路二

[过渡语]前面我们学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定,小学认识过了正方形,请同学们回答下面的问题.

（1）正方形与矩形有怎样的关系?

（2）正方形与菱形有怎样的关系?

（3）正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系?

.

学生观察、思考、交流

生1:

正方形是特殊的矩形,即有一组邻边相等的矩形是正方形.

生2:

正方形是特殊的菱形,即有一个角是直角的菱形是正方形.

教师画图说明,正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图.

总结:

正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.

你能根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系,解释下面的问题吗?

（1）把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下,就可以裁出正方形纸片.为什么?

（2）如何从一块长方形纸片中裁出一块最大的正方形纸片呢?

学生动手折叠、思考、交流.

（1）由折叠得所得的四边形有三个直角,且一组邻边相等.有三个角是直角的四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,所以裁出的纸片是正方形.

（2）要使裁出的四边形是最大的正方形,只要让四边形（正方形）的边长等于长方形的宽即可.

教师总结:

正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形.

[设计意图]结合图形的折叠,让学生归纳得出有一组邻边相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形.从矩形、菱形的角度出发体会它们之间的关系,感受特殊与一般的关系.

正方形的性质2..下面我们继续研究正方形的性质上面认识了正方形,[过渡语]

思路一因此它具有平行四边形、矩,它也是特殊的矩形、特殊的菱形正方形是特殊的平行四边形,从边、角、对角线、轴对称性四方（,回答下面的问题.形、菱形的所有性质请回忆学过的内容）:

面考虑?

平行四边形有哪些性质

（1）?

（2）矩形有哪些性质

?

菱形有哪些性质（3）

（4）正方形有哪些性质?

分小组进行讨论,整理所学的性质:

图形对边对角对角线对称性

不是轴对称图形相等平行四边形平行、相等互相平分轴对称图形,四个角都是有两条对矩形平行、相等互相平分且相等称轴直角

互相垂直且平分,每平行、四条边都有两条对轴对称图形,相等条对角线平分一组菱形相等称轴对角

互相垂直、平分且相平行、四条边都四个角都是轴对称图形,有四条对正方形等,每条对角线平分称轴直角相等一组对角[设计意图]让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质.在此基础上理解正方形的性质,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.

思路二

正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请把它们写出来,并与同桌交流.

学生梳理总结得:

正方形

[设计意图]让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质,体会它们之间的联系与区别.在此基础上梳理得出正方形的性质,有助于这些知识的正确运用.

3.正方形的判定

思路一

提问:

怎样判定一个四边形是正方形呢?

把你所想的判定方法写出来.

学生自由发言.

教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法:

（1）定义法:

有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形是正方形.

（2）矩形法:

有一组邻边相等的矩形是正方形.

.

有一个角是直角的菱形是正方形:

菱形法（3）

思路二

既然正方形是特殊的图形,那么我们就可以通过一般图形来判定正方形.请大家考虑:

满足什么条件的矩形是正方形?

你有哪些方法?

类似地,如何通过菱形和平行四边形来判定正方形?

教师深入学生中,督促学生积极探索交流,了解学生的思维深度和广度并及时加以校正和激励.

派学生代表走向讲台进行总结发言,并鼓励其他学生大胆提问.

师进一步归纳正方形的判定方法.

[知识拓展]

（1）平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义和判定方法如下表:

图形定义判定

.两组对边分别相等的四边形1

两组对边分别平行的四.两组对角分别相等的四边形2平行四边形边形.对角线互相平分的四边形3.一组对边平行且相等的四边形4有一个角是直角的平行.对角线相等的平行四边形1矩形四边形.有三个角是直角的四边形2有一组邻边相等的平行.对角线互相垂直的平行四边形1菱形四边形.四条边相等的四边形2

.有一个角是直角的菱形1

有一个角是直角,有一组.有一组邻边相等的矩形2正方形邻边相等的平行四边形.有一个角是直角,3有一组邻边相等的平行四边形

4.例题讲解

[过渡语]上面我们研究了正方形的定义、性质和判定,下面我们举例说明它们的应用.

（教材例5）求证:

正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

学生分析题设和结论,画图,写出已知和求证.

O.相交于点是正方形,对角线AC,BD已知:

如图,四边形ABCD.

是全等的等腰直角三角形CDO,△DAOBCO,求证:

△ABO,△△每条对角线平分一组对角”可,师生分析:

利用正方形的性质“对角线互相垂直平分且相等

.以得到四个三角形是全等的等腰直角三角形:

一生板书学生独立完成解题过程.,是正方形:

∵四边形ABCD证明BD,AO=BO=CO=DO.

⊥∴AC=BD,ACDAO.≌△CDO≌△都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO.教师点评,纠正写法上的不足

E.

BC的延长线于点连接AO并延长,交中）如图,在平行四边形ABCD,O是CD的中点,（补充

EOC;

≌△

（1）求证△AOD°时,四边形∠ACEDAEB=是正方形.请说明理由.

（2）连接AC,DE,当∠B=师生共同分析:

（1）根据题意可得∠ADC=∠OCE,∠DAO=∠OEC,OC=OD,所以△AOD≌△EOC.

（2）当∠B=∠AEB=45°时,根据△AOD≌△EOC,先证明四边形ACED是平行四边形,再根据∠COE=∠BAE=90°,得到平行四边形ACED是菱形,AB=AE,AB=CD,故AE=CD,从而可知菱形ACED是正方形.

学生独立写出过程后,教师重点指导第

（2）问的解答过程.

证明:

（1）∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC.

∴∠ADC=∠OCE,∠DAO=∠OEC.

又∵O是CD的中点,

∴OC=OD.

∴△AOD≌△EOC.

解:

（2）如图,当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形.理由如下:

∵△AOD≌△EOC,

OA=OE.

∴

又∵OC=OD,

∴四边形ACED是平行四边形.

∵∠B=∠AEB=45°,

∴AB=AE,∠BAE=90°.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,AB=CD.

∴∠COE=∠BAE=90°.

∴平行四边形ACED是菱形.

∵AB=AE,AB=CD,

∴AE=CD.

从而可知菱形ACED是正方形.

[解题策略]探索条件类问题,先看题中的已知条件,根据正方形的判定方法,缺什么就补什么条件,一般从“矩形+一组邻边相等”或“菱形+有一个角是直角”去考虑.

[设计意图]运用正方形的性质、判定解决有关的问题,培养运用所学知识解题的意识,提高解题能力.

课堂小结：

师生共同归纳小结.

本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:

课堂检测

下列命题1.

是真命题的是

）（矩形的对A.

角线互相垂直菱形的对角线相等B.

C.正方形的对角线相等且互相垂直

D.四边形的对角线互相平分

解析:

根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.

2.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是（）

A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD

B.AD∥BC,∠A=∠C

C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD

D.AO=CO,BO=DO,AB=BC

解析:

根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定选项A是矩形;根据“两直线平行,同旁内角互补”“等量代换”“同旁内角互补,两直线平行”可判定选项B是平行四边形;根据“对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形”可判定选项C是正方形;根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定选项D是菱形.故选C.

3.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AB=10cm,则四边形EFOG的周长是.

解析:

先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5cm.故填10cm.

板书设计：

18.2.3正方形

1.正方形的认识

2.正方形的性质

3.正方形的判定

4.例题讲解

例1例2

一、教材作业【必做题】.题第;教材第61页习题18.27,8教材第59页练习第1,2,3题【选做题】.题教材第61页习题18.2第12

二、课后作业【基础巩固】）矩形、正方形、菱形的共同性质是（1.对角线相等A.对角线互相垂直B.C.对角线互相平分D.每一条对角线平分一组对角③AB=BC,②∠ABC=90°,2.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:

①你认,）,现有下列四种选法（BD中选两个作为补充条件,使?

ABCD为正方形如图⊥AC=BD,④AC）

（为其中错误的是

D.②④②③C.①③A.①②B.

）

（°正方形,ABCD中,CE⊥MN,∠MCE=35,那么∠ANM是3.如图B.55°C.65°D.75°°A.45

若O.相交于点与中如图所示4.,在四边形ABCD,AB=BC=CD=DA,对角线ACBD则还需增加的一个条件不增加任何字母与辅助线是正方形,,要使得四边形ABCD.是

则∠延长线上一点是是对角线中正方形如图5.,ABCD,AC,EBC,CE=AC,E=度.

【能力提升】

6.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠OCF=∠OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.

⊥AD,PNPM⊥上一点,过点P作BD如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线平分∠ABC,P是BD7.M,N.垂足分别为CD,

CDB;

∠

（1）求证∠ADB=.是正方形,求证四边形MPNDADC=90

（2）若∠°

【拓展探究】并证明你,AB,AC,BE平分∠BAC,试猜想之间的关系,AEABCD8.如图,在正方形中,AC是对角线.的猜想

课堂反思并能,通过本节课的教学活动,学生进一步认识了正方形基本掌握了正方形的判定和性质,

.运用所学的知识解决一些问题

学生不能灵活运用所学来解决,加上学生个体的差异,由于课堂时间有限