DFT近似计算信号频谱专题研讨.docx
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DFT近似计算信号频谱专题研讨
《数字信号处理》课程研究性学习报告
DFT近似计算信号频谱专题研讨
姓名
同组成员
指导教师
时间2015.06.19
DFT近似计算信号频谱专题研讨
【目的】
（1）掌握利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法。
（2）理解误差产生的原因及减小误差的方法。
（3）培养学生自主学习能力，以及发现问题、分析问题和解决问题的能力。
【研讨题目】基本题
1.已知一离散序列为
（1）用L=32点DFT计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；
（2）对序列进行补零，然后分别用L=64、128、256、512点DFT计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；
（3）讨论所获得的结果，给出你的结论。
该结论对序列的频谱计算有何指导意义？
【题目分析】
本题讨论补零对离散序列频谱计算的影响。
【温磬提示】
在计算离散非周期序列频谱时常用Ω/π作为横坐标，称Ω/π为归一化频率（normalizedfrequency）。
在画频谱时需给出横坐标。
每幅图下都需给出简要的文字说明。
由于离散非周期序列频谱是周期的，所以在计算时不必用fftshift函数对fft计算的结果进行重新排列。
【序列频谱计算的基本方法】
【仿真结果】
【结果分析】
对序列补零后再做DFT相当于增加了DFT的点数，即频域抽样的点数，而原离散序列没有改变，其傅里叶变换结果也没有改变，同时若DFT点数太少则获得的频谱信息过少，有可能会使得重要的
频率信息丢失。
由结果可知，DFT点数越多，产生的离散谱中含有的信息也就越多，得到的频谱能更好的反应原连续谱中的信息。
在对离散序列用DFT做谱分析时，应当适当增加DFT的点数，以减小栅栏效应。
DFT点数越多，则L越大，即fsam/N越小，那么显示分辨率就越高。
【自主学习内容】
【阅读文献】
[1]陈后金，薛健，胡健. 数字信号处理[M]. 北京：
高等教育出版社，2006 .
【发现问题】（专题研讨或相关知识点学习中发现的问题）：
【问题探究】
【仿真程序】
1.
k=0:
31;
xk=sin（0.2*pi*k）;
H=fft（xk）;
w=linspace（0,2*pi,32）
stem（w/pi,abs（H））;
title（'F=2*k*pi¡À0.2*pi'）;
xlabel（'normalizedfrequency'）;
ylabel（'fudu'）;
2.
k=0:
31;
xk=sin（0.2*pi*k）;
H=fft（xk,64）;
w=linspace（0,2*pi,64）
stem（w/pi,abs（H））;
title（'F=2*k*pi¡À0.2*pi;L=64'）;
xlabel（'normalizedfrequency'）;
ylabel（'fudu'）;
3.
k=0:
31;
xk=sin（0.2*pi*k）;
H=fft（xk,128）;
w=linspace（0,2*pi,128）
stem（w/pi,abs（H））;
title（'F=2*k*pi¡À0.2*pi;L=128'）;
xlabel（'normalizedfrequency'）;
ylabel（'fudu'）;
4.
k=0:
31;
xk=sin（0.2*pi*k）;
H=fft（xk,256）;
w=linspace（0,2*pi,256）
stem（w/pi,abs（H））;
title（'F=2*k*pi¡À0.2*pi;L=256'）;
xlabel（'normalizedfrequency'）;
ylabel（'fudu'）;
5.
k=0:
31;
xk=sin（0.2*pi*k）;
H=fft（xk,512）;
w=linspace（0,2*pi,512）
stem（w/pi,abs（H））;
title（'F=2*k*pi¡À0.2*pi;L=512'）;
xlabel（'normalizedfrequency'）;
ylabel（'fudu'）;
2已知一离散序列为x[k]=AcosΩ0k+Bcos（（Ω0+∆Ω）k）。
用长度N=64的哈明窗对信号截短后近似计算其频谱。
试用不同的A和B的值（如A和B近似相等，A和B近差距较大），确定用哈明窗能分辩的最小的谱峰间隔
中c的值。
∆Ω=0.06πc=1.92
【题目分析】
本题讨论用哈明窗计算序列频谱时的频率分辨率。
Hamming窗函数的幅值有中心向两端逐渐减弱，因而其高频分量明显减小，频谱中旁瓣的幅度较小，主瓣峰值与第一个旁瓣峰值相对衰减很大，hamming窗以增加主瓣宽度来降低旁瓣能量，用hamming窗极端频谱时要求能分辨的谱峰的间隔Δƒ≥c/Tp=c*fs/N。
【仿真结果】
【结果分析】
将实验结果与教材中定义的哈明窗有效宽度相比较，发表你的看法。
由以上三幅图可见f2=140Hz时，各谱峰可分辨。
则△f=40fHz又△Ω=2πc/N且△Ω=△wT=2π△fT=2π*40*1/800
所以c=3.2（近似值）
【自主学习内容】
【阅读文献】
【发现问题】（专题研讨或相关知识点学习中发现的问题）：
【问题探究】
在离散序列频谱计算中为何要用窗函数？
用不同的窗函数对计算结果有何影响？
与矩形窗相比哈明窗有何特点?
如何选择窗函数？
【仿真程序】
【题目分析】
本题讨论用哈明窗计算序列频谱时的频率分辨率。
【仿真结果】
【结果分析】
将实验结果与教材中定义的哈明窗有效宽度相比较，发表你的看法。
【自主学习内容】
【阅读文献】
1]陈后金，薛健，胡健. 数字信号处理[M]. 北京：
高等教育出版社，2006
【问题探究】
在离散序列频谱计算中为何要用窗函数？
用不同的窗函数对计算结果有何影响？
与矩形窗相比哈明窗有何特点?
如何选择窗函数？
【仿真程序】
k=0:
63;
A=1;B=1;t=0.1;w=2*pi;
xk=A*cos（w*k）+B*cos（（w+t）*k）
W=hamming（64）;
yk=xk.*W';
m=linspace（0,pi,512）;
H=fft（yk,512）;
stem（m/pi,abs（H））;
title（'A=1;B=1;t=0.1;w=2*pi;'）;
xlabel（'Normalizedfrequency'）;
ylabel（'Magnitude'）;
k=0:
63;
A=3;B=1;t=0.1;w=2*pi;
xk=A*cos（w*k）+B*cos（（w+t）*k）
W=hamming（64）;
yk=xk.*W';
m=linspace（0,pi,512）;
H=fft（yk,512）;
stem（m/pi,abs（H））;
title（'A=3;B=1;t=0.1;w=2*pi;'）;
xlabel（'Normalizedfrequency'）;
ylabel（'Magnitude'）;
3已知信号
，
（1）以
为间隔对
抽样，抽得128个样本
，画出其频谱密度函数的草图
，对其做128点FFT，得到
，问m为哪些值时，
具有较大值？
（较大值即主瓣之中的非零值）
（2）若给
补上896个零值，使之成为1024点序列，
对
做1024点FFT得到
，问m为哪些值时，
具有较大值？
（3）仍以
对
抽样，抽得1024个样本
，画出其频谱密度函数的草图
，对
做1024点FFT，得到
问m为哪些值时,具
有较大值？
（4）设
为1024点的hamming窗，
写出
的数学表达式，令
，画出
的频谱密度函数的草图
，对
做1024点FFT，得到
，问m为哪些值时，
具有较大的值？
【题目分析】
分析影响谱峰分辨率的主要因数，进一步认识补零在在频谱计算中的作用。
【仿真结果】
【结果分析】
DFT点数越多，分辨率越高，补零只能使序列的频谱变得细致，但不能提高频率的分辨率。
只有采集更多的有效数据，才能得到序列的高分辨频谱。
【自主学习内容】
【阅读文献】
[1]陈后金胡健. 数字信号处理[M]. 北京：
高等教育出版社，2006 .
【发现问题】（专题研讨或相关知识点学习中发现的问题）：
【问题探究】
1、2、3题讨论的是离散信号频谱的计算问题。
与连续信号频谱计算问题相比较，其计算误差有何不同？
答：
离散信号的频谱具有周期性，会因抽样频率的不适而产生混叠，导致失真。
【仿真程序】
1.
t=0:
0.0001:
1.27;T=0.01;
k=0:
127;
f1=10;f2=10.3;
xt1=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;
xk=cos（2*pi*f1*k*T）+cos（2*pi*f2*k*T）;
%stem（k,xk）;
w=linspace（0,2*pi,512）;
X=fft（xk,512）;
plot（w/pi,abs（X））;
holdon;
H=fft（xk）
w2=linspace（0,2*pi,128）;
stem（w2/pi,abs（H）,'r'）;
2.3.
t=0:
0.0001:
10.23;T=0.01;
k=0:
1023;
f1=10;f2=10.3;
xt1=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;
xk=cos（2*pi*f1*k*T）+cos（2*pi*f2*k*T）;
%stem（k,xk）;
w=linspace（0,2*pi,1024）;
X=fft（xk,1024）;
plot（w/pi,abs（X））;
holdon;
H=fft（xk,1024）
w2=linspace（0,2*pi,1024）;
stem（w2/pi,abs（H）,'r'）;
4.
t=0:
0.0001:
10.23;T=0.01;
k=0:
1023;
f1=10;f2=10.3;
xt1=cos（2*pi*f1*t）+cos（2*pi*f2*t）;
xk=cos（2*pi*f1*k*T）+cos（2*pi*f2*k*T）;
%stem（k,xk）;
h=hamming（1024）;
gk=xk.*h';
w=linspace（0,2*pi,1024）;
X=fft（gk,1024）;
plot（w/pi,abs（X））;
holdon;
H=fft（xk,1024）
w2=linspace（0,2*pi,1024）;
stem（w2/pi,abs（H）,'r'）;
4试用DFT近似计算高斯信号
的频谱抽样值。
高斯信号频谱的理论值为
通过与理论值比较，讨论信号的时域截取长度和抽样频率对计算误差的影响。
【题目分析】
连续非周期信号频谱计算的基本方法。
计算中出现误差的主要原因及减小误差的方法。
【仿真结果】
【结果分析】
由于信号在时域和频谱都有理论表达式，在进行误差分析时希望给出一些定量的结果。
【自主学习内容】
【阅读文献】
【发现问题】（专题研讨或相关知识点学习中发现的问题）：
【问题探究】
【仿真程序】
t=0:
0.001:
5;d=0.256;T=0.456;
k=0:
511;
gt=exp（-（t.^2）*d）;
gk=exp（-（（k*T）.^2）*d）;
X=freqz（gk）;
w=linspace（0,2*pi,512）;
plot（w/pi,abs（X））;
holdon;
G=sqrt（pi/d）*exp（-（w.^2）/（4*d））;
plot（w/pi,abs（G）,'r'）;
legend（'³éÑù','ÀíÂÛ'）;
扩展题
5本题研究连续周期信号频谱的近似计算问题。
周期为T0的连续时间周期信号x（t）可用Fourier级数表示为
其中
X（nω0）称为连续时间周期信号x（t）的频谱函数。
称为信号的基频（基波），
称为信号的谐波。
如果信号x（t）函数表达式已知，则可由积分得出信号的频谱。
如果信号x（t）函数表达式未知，或者x（t）函数表达式非常复杂，则很难由积分得信号的频谱。
本题的目的就是研究如何利用DFT近似计算连续时间周期信号的频谱。
（1）若在信号x（t）的一个周期T0内抽样N个点，即
，T为抽样周期（间隔），可获得序列x[k]
试分析序列x[k]的DFT与连续时间周期信号x（t）的频谱X（nω0）的关系；
（2）由
（1）的结论，给出由DFT近似计算周期信号频谱X（nω0）的方案；
（3）周期信号x（t）的周期T0=1，x（t）在区间[0，1]的表达式为
x（t）=20t2（1-t）4cos（12πt）
（a）试画出信号x（t）在区间[0，1]的波形；
（b）若要用6次以内的谐波近似表示x（t），试给出计算方案，并计算出近似表示的误差。
讨论出现误差的原因及减小误差的方法。
【题目分析】
【理论推导】
DFT计算所得结果X[m]与连续周期信号频谱X（nω0）的关系。
【计算方案】
根据理论推导结果设计近似计算方案。
分析产生误差的主要原因。
【扩展分析】
如果周期信号x（t）是带限信号，即信号的最高频率分量为Mω0（是正整数），试确定在一个周期内的最少抽样点N，使得在频谱的计算过程当中不存在混叠误差。
与抽样定理给出的结论比较，发表你的看法。
【仿真结果】
x（t）在区间[0，1]的波形:
【结果分析】
讨论DFT点数对近似计算的影响，讨论所取谐波项的多少对近似计算的影响。
误差分析要给出定量的结果，如平均误差，最大误差等。
与连续非周期信号频谱计算过程中存在的误差相比较，连续周期信号频谱的计算计算误差有何异同？
【自主学习内容】
【阅读文献】
【发现问题】（专题研讨或相关知识点学习中发现的问题）：
【问题探究】
【仿真程序】
t=0:
0.001:
1;
k=0:
101;
xt=20*（t.^2）.*（（1-t）.^4）.*cos（12*pi*t）;
plot（t,xt）
%xk=20*（（k*T）.^2）.*（（1-（k*T））.^4）.*cos（12*pi*（k*T））;
X=fft（xt）/length（t）;
Xm=fftshift（X）;
m=-（length（t）-1）/2:
（length（t）-1）/2;
%m=linspace（0,pi,512）;
%stem（m,abs（Xm））;
N=10;w0=2*pi;
forn=0:
N-1;%N:
г²¨Êý
xN=xN+2*real（X（n）*exp（j*n*w0*t））;
end
%plot（t,xN）;
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