平行四边形典型例题.docx

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平行四边形典型例题

平行四边形典型例题

1．已知如图12-1-19，所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OF⊥BC于F．

求证：

四边形AECF是平行四边形

错证：

在△AOE和△COF中

∵OE⊥AD，OF⊥BC ∴∠AEO=∠CFO=90°

∵四边形ABCD为平行四边形

∴OA＝OC，AD∥BC  ∴∠EAC＝∠ACF

∴△AOE≌△COF（AAS）  ∴OF=OE

∴四边形AECF是平行四边形

错误分析：

上面证明由OF＝OE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线．

正确证明：

在△AOE和△COF中

∵OE⊥AD OF⊥BC ∴∠AEO＝∠CFO＝90°

∵四边形ABCD为平行四边形

∴OA＝OC，AD∥BC  ∴∠EAC=∠ACF

∴△AOE≌△COF（AAS） ∴OF＝OE

又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC

∴E、O、F三点共线

∴四边形AECF是平行四边形

2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形．

分析：

运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线．

解：

取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单．

证明：

在Rt△ABC中 ∵AC＝BC ∴∠B=45°

又∵E、D分别为AC、BC的中点

∴EC＝DC ∴∠CED＝∠CDE＝45°

∴∠AEF＝∠CED＝45° ∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180°

∴F、E、D在一条直线上 ∵∠EAF＝∠C＝90° ∴AF∥CD

又∵AF＝CD＝DB ∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B＝45°

3．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便．

分析：

可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分．

证明方法

（一）

在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE．

∴△ABF≌△CDE ∴AF＝CE

同理可证AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形

方法

（二）

连AC交BD于O

在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD

∵BF＝DE ∴OE=OF ∴四边形AECF为平行四边形

4．如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？

分析：

这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行．

解：

如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行．

如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形．

5．已知如图12-1-4所示，□ABCD中，AB的延长线上取一点E，使BE＝AB，在CE上取一点M使CM＝CD，连结DM并延长交AE的延长线于点F

求证：

BD＝BF

分析：

由于BD，BF是△BDF的两边，所以要证BD＝BF，可由证△BDF中∠BDF＝∠F入手，易知∠F＝∠CDM=∠CMD＝∠EMF，故只要证BD∥CE，由此由证法一又注意到BF＝BE+EF，易知BE＝AB＝CD＝CM，EF＝EM，故BF＝CE，从而只要证BD＝CE，由此有证法二．

证法

（一）：

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB

CD

又∵E点在AB延长线上，且BE＝AB  ∴AB

CD

∴四边形BECD是平行四形  ∴BD∥CE  ∴∠BDF＝∠EMF

∵∠EMF＝∠CMD   ∴∠BDF＝∠CMD

又∵CM＝CD  ∴∠CMD=∠CDM  ∴∠BDF＝∠CDM

∵AF∥CD ∴∠CDM＝∠F ∴BDF＝∠F

即BD＝BF

证法

（二）：

∵四边形ABCD为平行四边形  ∴AB

CD

又∵E点在AB延长线上且BE＝AB  ∴BE

CD

∴四边形BECD是平行四边形 ∴BD＝CE，BE＝CD

又∵∠EMF=∠CMD，CD＝CM  ∴∠CMD=∠CDM

∴∠EMF=∠CDM ∵BE∥CD  ∴∠F＝∠EMF ∴EF＝EM

∴BF＝BE+EF＝CD+EM=CM+EM＝CE＝BD

即BF＝BD

习题精选

　　一、填空题

　　1．过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F，则四边形AECF是            .

　　2．延长△ABC的中线AD到E，使DE＝AD 则四边形ABEC是         四边形．

　　3．在四边形ABCD中∠A＝50°欲使四边形为平行四边形，则∠B=              ，∠C＝           ，∠D＝           .

　　4．在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是         四边形．

　　5．如图12-1-29，在□ABCD中，E、F为AB、CD的中点，连结DE、EF、BF则图中共有

　　           个平行四边形．

　　6．在□ABCD中连结BD作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连结CE、AF，点P、Q在线段BD上，且BP＝DQ，连结AP、CP、AQ、CQ，MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC，那么图中平行四边形（除□ABCD外）有         个，它们是         .

　　二、判断题

　　1．平行四边形的对边分别相等（  ）

　　2．平行四边形的对角线相等（  ）

　　3．平行四边形的邻角互补（  ）

　　4．平行四边形的对角相等（  ）

　　5．平行四边形的对角线互相平分一组对角（  ）

　　6．对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（  ）

　　三、选择题

　　1．能判断四边形是平行四边形的条件是（  ）

　　A．一组对边平行，另一组对边相等

　　B．一组对边平行，一组对角相等

　　C．一组对边平行，一组邻角互补

　　D．一组对边相等，一组邻角相等

　　2．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（  ）

　　A．已知平行四边形的两邻边

　　B．已知平行四边形的两邻角

　　C．已知平形四边形的两对角线

　　D．已知平行四边形的两边及夹角

　　3．平行四边形一边为32，则它的两条对角线长不可能为（  ）

　　A．20和18                                     B．40和50

　　C．60和30                                     D．32和50

　　4．如图12-1-30所示，已知□ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点且平行于BC，直线GH过O且平行AB，则图中有（  ）个平行四边形．

　　A．5个B．6个C．7个D．10个

　　5．能判定四边形为平行四边形的是（  ）

　　A．一组对角相等                              　B．两条对角线互相垂直

　　C．两条对角线互相平分                         D．一对邻角互补

　　6．以下结论正确的是（  ）

　　A．对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形．

　　B．一边长为5，两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形．

　　C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形．

　　D．对角线相等的四边形是平行四边形．

　　7．在□ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，如果点E，F分别由下列各种情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是（  ）

　　A．AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD

　　B．AE，CF使∠BEA＝∠CFD

　　C．E、F分别是BC、AD的中点

　　D．BE＝

BC，AF＝

AD

　　8．□ABCD对角线交点为O，△OBC的周长为59cm，且AD＝28cm，两对角线之差为14cm，则对角线长为（  ）

　　A．12cm和9cm                             　　B．24cm和38cm

　　C．8．5cm和22．5cm                           D．15．5cm和29．5cm

　　四、解答题

　　1．如图12-1-31所示，在□ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，四边形AECF是平行四边形吗？

　　2．如图12-1-32所示，四边形ABCD中∠B＝∠D，∠1＝∠2，则四边形ABCD是平行四边形吗？

为什么？

　　3．如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OD、OB上一点，若∠ECD＝∠FAB，EC＝AF，则四边形AECF是平行四边形吗？

为什么？

　　4．如图12-1-34所示，四边形ABCD中AB=CD，∠DBC＝90°，FD⊥AD于D，求证四边形ABCD是平行四边形．

　　5．如图12-1-35所示，△ABC中DE在BC边上，N、M在AB、AC上，且EN与DM互相平分，MD∥AB，NE∥AC求证：

BD＝DE＝CE

　　五、证明题

　　1．已知：

如图12-1-18，在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.

　　求证：

（1）AE＝CF

（2）AE∥CF

　　2．已知：

如图12-1-19，四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点，且DE＝BF，求证AE＝CF

　　参考答案

　　一、填空题

　　1．平行四边形 点拨：

由一组对边平行且相等，即可判断

　　2．平行四边形

　　3．130°，50°，130°

　　4．平行四边形 点拨：

由题意可得两组对边分别平行

　　5．4个 点拨：

□ABCD，□ADFE，□EFCB，□EDFB

　　6．3个 □AECF，□APCQ，□AMCN

　　二、判断题

　　1．√  2．×点拨：

对角线不一定相等，但互相平分

　　3．√  4．√

　　5．×点拨：

对角线不平分一组对角，只是自己互相平分  6．√

　　三、选择题

　　1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C  7．B 8．B

　　四、解答题

　　1．解：

四边形AECF是平行四边形

　　点拨：

由□ABCD知∠BCD＝∠BAD，又AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，故∠EAF＝∠ECF，又∠AF∥EC，故∠AEC+∠EAF＝18O°，即∠AEC+∠ECF＝18O°，所以AE∥CF，故四边形AECF是平行四边形．

　　2．解：

四边形ABCD是平行四边形

　　由∠1＝∠2得DC∥AB，所以∠D+∠DAB＝18O°，又∠B＝∠D，所以∠DAB+∠B＝180°，所以AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形．

　　3．解：

是平行四边形

　　点拨：

AB∥CD，故∠ACD＝∠CAB，又∠ECD＝∠FAB，故∠ACD-∠ECD＝∠CAB-∠FAB，即∠ACE＝∠CAF，所以CE=AF，CE＝AF，故AFCE是平行四边形．

　　4．证明：

∵BD⊥AD ∴∠BDA=90°

　　∵∠DBC＝90°，DC＝AB，DB＝DB

　　∴△ADB≌△CBD ∴AD＝BC

　　∴四边形ABCD是平行四边形

　　5．证明：

∵NE，MD互相平分

　　∴四边形MNDE为平行四边形 ∴MN

DE

　　又∵MD∥AB，NE∥AC ∴四边形MNBD、MNEC为平行四边形

　　∵MN＝BD，MN＝CE ∴BD=DE＝CE

　　五、证明题

　　1．证明：

∵四边形ABCD为平行四边形

　　∴AB

DC ∴∠ABE＝∠CDF

　　在△ABE和△CDF中

　　∴△ABE≌△CDF（SAS） ∴AE＝CF ∴∠AEB＝∠CFD

　　∴∠AED＝∠BFC（等角的补角相等） ∴AE∥CF

　　2．证明：

如图（3）所示

　　∵四边形ABCD是平行四边形

　　∴AD∥BC，AD＝BC ∴∠1＝∠2

　　∵BD是直线 ∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°

　　∴∠3＝∠4

　　∴△ADE≌△CBF ∴AE＝CF