高三第一次模拟考试数学含答案.docx

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高三第一次模拟考试数学含答案

2021年高三第一次模拟考试数学含答案

注意事项：

　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．

　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

参考公式：

锥体体积公式：

，其中为底面积,为高；

柱体体积公式：

，其中为底面积,为高.

样本数据的方差，其中.

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合，，则▲.

2．设复数满足，其中为虚数单位，

则的虚部为▲.

3．已知样本数据的方差，则样本

数据的方差为▲.

4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是▲.

5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字

中至少有一个是偶数的概率为▲.

6．已知实数满足，则的最小值

是▲.

7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角

为，则该双曲线的离心率为▲.

8．设是等差数列，若，则

▲.

9．将函数的图象向右平移（）个单位后，所得函数为偶函数，则▲.

10．将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心

为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值

是▲.

11．在中，已知，，则的最大值为▲.

12．如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线

上从左向右依次取点、，，其中是坐标原点，使

都是等边三角形，则的边长

是▲.

13．在平面直角坐标系中，已知点为函数的图像与圆的公共点，且它们在点处有公切线，若二次函数的图象经过点O，P，M，则的最大值为▲.

14．在中，所对的边分别为，若，则面积的最大值为▲．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱中，，,分别是,的中点．

（1）求证：

∥平面；

（2）求证：

平面平面．

16．（本小题满分14分）

在中，,,分别为内角,,的对边，且．

（1）求角；

（2）若，求的值.

17.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.

18．（本小题满分16分）

如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.

（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？

（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？

（注：

计算中取3）

19．（本小题满分16分）

设函数，（）.

（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；

（2）求函数的单调增区间；

（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？

若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.

（参考数据：

，）

20．（本小题满分16分）

若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差.设数列为“段比差数列”.

（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.

①当时，求；

②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

南京市、盐城市xx届高三年级第一次模拟考试

数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）

A.（选修4-1：

几何证明选讲）

如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，分别交半圆于点.若，，，求的长.

B.（选修4-2：

矩阵与变换）

设矩阵的一个特征值对应的特征向量为，求与的值.

C．（选修4-4：

坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于两点，求弦的长.

D．（选修4-5：

不等式选讲）

若实数满足，求的最小值.

[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）

22．（本小题满分10分）

某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.

（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；

（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）.

23．（本小题满分10分）

设，，.

（1）求值：

①；

②（）；

（2）化简：

.

南京市、盐城市xx届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.2.13.124.95.6.7.

8.639.10.411.12.51213.14.

二、解答题：

本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．证明：

（1）因为,分别是,的中点，所以，...............2分

又因为在三棱柱中，，所以................4分

又平面，平面，所以∥平面................6分

（2）在直三棱柱中，底面，

又底面，所以................8分

又，，所以，...............10分

又平面，且，所以平面................12分

又平面，所以平面平面．...............14分

（注：

第

（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明平面，类似给分）

16．解：

（1）由，根据正弦定理，得，…………2分

因为，所以，…………4分

又，所以.…………6分

（2）因为，所以，所以，

又，所以.…………8分

又，即，

所以

………12分

.…………14分

17．解：

（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，

又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距，……………3分

所以，即，所以椭圆的方程为.……………6分

（2）方法一：

设，，，

联立，消去，得，

所以，又，所以，

所以，，……………10分

则

.……………14分

方法二：

设，，，则，

两式作差，得

，

又，，∴，∴，

又，在直线上，∴，∴，①

又在直线上，∴，②

由①②可得，.……………10分

以下同方法一.

18．解：

如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

（1）因为，，所以半圆的圆心为，

半径．设太阳光线所在直线方程为，

即，...............2分

则由，

解得或（舍）.

故太阳光线所在直线方程为，...............5分

令，得米米.

所以此时能保证上述采光要求................7分

（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．

方法一：

设太阳光线所在直线方程为，

即，由，

解得或（舍）................9分

故太阳光线所在直线方程为，

令，得，由，得................11分

所以

.

当且仅当时取等号.

所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大................16分

方法二：

欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点为，

设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y－

＝－

（x－30），

即．...............10分

由直线与半圆H相切，得．

而点H（r，h）在直线的下方，则3r＋4h－100＜0，

即，从而．...............13分

又

.

当且仅当时取等号.

所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大................16分

19．解：

（1）当时，方程即为，去分母，得

，解得或，……………2分

故所求方程的根为或.……………4分

（2）因为

，

所以

（），……………6分

①当时，由，解得；

②当时，由，解得；

③当时，由，解得；

④当时，由，解得；

⑤当时，由，解得.

综上所述，当时，的增区间为；

当时，的增区间为；

时，的增区间为..……………10分

（3）方法一：

当时，，，

所以单调递增，，，

所以存在唯一，使得，即，.……………12分

当时，，当时，，

所以

，

记函数，则在上单调递增，.……………14分

所以，即，

由，且为整数，得，

所以存在整数满足题意，且的最小值为..……………16分

方法二：

当时，，所以，

由得，当时，不等式有解，.……………12分

下证：

当时，恒成立，即证恒成立.

显然当时，不等式恒成立，

只需证明当时，恒成立.

即证明.令，

所以，由，得，.……………14分

当，；当，；

所以

.

所以当时，恒成立.

综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为..……………16分

20．

（1）①方法一：

∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，

，，.……………3分

方法二：

∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，

∴，，，，，，，…

∴当时，是周期为3的周期数列.

∴.……………3分

②方法一：

∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

∴

，

∴是以为首项、6为公差的等差数列，

又

，

，……………6分

，，设，则，

又

，

当时，，；当时，，，

∴，∴，……………9分

∴，得.……………10分

方法二：

∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列，

∴

，

易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，

，

，………………6分

以下同方法一.

（2）方法一：

设的段长、段比、段差分别为、、，

则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，

当时，，即恒成立，……………12分

①若，则，；

②若，则，则为常数，则，为偶数，，；

经检验，满足条件的的通项公式为或.……………16分

方法二：

设的段长、段比、段差分别为、、，

①若，则，，，，

由，得；由，得，

联立两式，得或，则或，经检验均合题意.…………13分

②若，则，，，

由，得，得，则，经检验适合题意.

综上①②，满足条件的的通项公式为或.……………16分

附加题答案

21.A、解：

由切割线定理得：

则，解得，…………4分

又因为是半圆的直径，故,…………6分

则在三角形PDB中有.…………10分

B、解：

由题意得，…………4分

则，…………8分

解得，.…………10分

C、解：

直线为参数）化为普通方程为，…………2分

圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，…………4分

则圆的圆心到直线l的距离为，…………6分

所以.…………10分

D、解：

由柯西不等式，得

，

即，…………5分

又因为，所以，

当且仅当，即时取等号.

综上，.…………10分

22．解：

（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为.…………4分

（2）由题意得，

.…………6分

所以X的概率分布表为：

X

0

1

2

3

4

5

P

…………8分

所以，X的数学期望为.…………10分

23.解：

（1）①

.……………2分

②

.………………4分

（2）方法一：

由

（1）可知当时

.……………6分

故

.……………10分

方法二：

当时，由二项式定理，有

，

两边同乘以，得

，

两边对求导，得

，

……………6分

两边再同乘以，得

，

两边再对求导，得

.……………8分

令，得

，

即

.…………10分20810514A兊394789A36騶zBp]2527562BB抻=F226805898墘G275076B73歳2170354C7哇