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习题答案

1、简述正交试验设计的基本步骤。

答：

正交试验设计总的来说包括两部分：

一是实验设计，二是数据处理。

基本步骤可简单归纳如下。

（1）明确实验目的，确定评价指标

（2）确定因素和水平

（3）选择适当的正交表

（4）明确试验方案进行试验，对试验结果进行统计分析

（5）进行验证试验，作进一步分析

2、以合成某有机化合物的产率为试验指标。

该有机化合物的合成主要影响因素为反应温度、时间及催化剂，现对其合成工艺进行优化，以提高产率。

根据前期条件试验，确定的因素与水平如表1所示，假定因素间无交互作用。

试用正交设计和极差分析确定各因素的最优水平及组合。

表1因素水平表

水平

（A）温度/℃

（B）反应时间/h

（C）催化剂种类

1

100

3

甲

2

80

1

乙

3

60

5

丙

解：

本题中试验的目的是提高产品的产率，试验的指标为单指标产率，因素和水平是已知的，所以可以从正交表的选取开始进行试验设计和极差分析。

①选正交表。

本题为一个3水平的试验，因此要选用Ln（3m）型正交表，共有3个因素，且不考虑因素间的交互作用，所以要选一张m≥3的表，而L9（34）是满足条件m≥3最小的Ln（3m）型正交表，故选用正交表L9（34）来安排试验。

②表头设计。

见表1-1。

表1-1表头设计

因素

A

空列

B

C

列号

1

2

3

4

表1-2 试验方案

试验号

A

空列

B

C

试验方案

1

1

1

1

1

A1B1C1

2

1

2

2

2

A1B2C2

3

1

3

3

3

A1B3C3

4

2

1

2

3

A2B2C3

5

2

2

3

1

A2B3C1

6

2

3

1

2

A2B1C2

7

3

1

3

2

A3B3C2

8

3

2

1

3

A3B1C3

9

3

3

2

1

A3B2C1

③明确试验方案。

如表1-3所示。

④按规定的方案做试验，得出试验结果。

如表1-3。

表1-3 试验方案及实验结果分析

试验号

A

空列

B

C

产率

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

1

1

2

2

2

3

3

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

1

3

1

2

1

2

3

3

1

2

2

3

1

0.50

0.75

0.54

0.91

0.88

0.85

0.68

0.60

0.64

K1

K2

K3

1.79

2.64

1.92

2.09

2.23

2.03

1.95

2.30

2.10

2.02

2.28

2.05

k1

k2

k3

0.597

0.880

0.640

0.697

0.743

0.677

0.650

0.767

0.700

0.673

0.760

0.683

极差R

0.85

0.20

0.35

0.26

因素主次

ABC

优方案

A2B2C2

⑤计算级差，结果如表1-3所示。

⑥通过极差确定优方案。

试验指标是产率，指标越大越好，所以应挑选每个因素的K1，K2，K3（或k1，k2，k3）中最大的值对应的那个水平，由于：

A因素列：

K2＞K3＞K1   B因素列：

K2＞K3＞K1   C因素列：

K2＞K3＞K1

所以优方案为A2B2C2，即反应温度80℃，反应时间1h，催化剂为乙。

通过极差分析得到的优方案A2B2C2，并不包含在正交表中已做过的9个试验方案中，这正体现了正交试验设计的优越性。

3、现代药理学研究表明，红景天具有抗心律失常、调节免疫功能、镇静、抗疲劳、抗缺氧、抗衰老、抗癌等作用。

其化学成分中，红景天苷及其苷元酪醇是红景天主要有效成份，也是评价红景天及其提取物的最重要指标。

红景天有效成分的提取主要以醇提法和水提法为主，而以醇提法尤佳。

分别考察浸膏得率、红景天苷和酪醇含量,三个指标都是越大越好，根据前期预研试验，决定选取3个相对重要的因素：

乙醇浓度、加醇量（倍数）和提取时间进行正交试验，它们各有3个水平，具体如下表2，不考虑因素间相互作用，试分析找出较好的提取工艺。

表2 因素水平表

水 平

因 素

（A）乙醇浓度%

（B）加醇量（倍）

（C）提取时间（h）

1

2

3

90

70

80

7

6

8

1

2

3

解：

这是一个3因素3水平的试验，由于不考虑交互作用，所以可利用L9（34）正交试验筛选醇提取红景天最佳工艺条件，较全面的优选红景天醇提工艺条件，为新药研究和充分利用红景天药材资源提供参考依据。

表头设计、试验方案及试验结果如表2-1所示。

表2-1 试验方案及试验结果

试验号

A

B

空列

C

浸膏得率/%

红景天苷含量/%

苷元酪醇含量/%

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

1

1

2

2

2

3

3

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

1

3

1

2

1

2

3

3

1

2

2

3

1

6.2

7.4

7.8

8.0

7.0

8.2

7.4

8.2

6.6

5.1

6.3

7.2

6.9

6.4

6.9

7.3

8.0

7.0

2.1

2.5

2.6

2.4

2.5

2.5

2.8

3.1

2.2

与单指标试验的分析方法相同，先对各指标分别进行直观分析，得出因素的主次和优方案（结果如表2-2所示）。

表2-3试验结果分析

指标

A

B

空列

C

浸膏得率/%

K1

K2

K3

21.4

23.2

22.2

21.6

22.6

22.6

22.6

22.0

22.2

19.8

23.0

24.0

k1

k2

k3

7.13

7.73

7.40

7.20

7.53

7.53

7.53

7.33

7.40

6.60

7.67

8.00

极差R

1.8

1.0

0.6

4.2

因素主次

CAB

优方案

C3A2B3或C3A2B3

红景天苷

含量/%

K1

K2

K3

18.6

20.2

22.3

19.3

20.7

21.1

20.0

20.2

20.9

18.5

20.5

22.1

k1

k2

k3

6.20

6.73

7.43

6.43

6.90

7.03

6.67

6.73

6.97

6.17

6.83

7.37

极差R

3.7

1.8

0.7

3.6

因素主次

CAB

优方案

A3C3B3

苷元酪醇

含量/%

K1

K2

K3

7.2

7.4

8.1

7.3

8.1

7.3

7.7

7.1

7.9

6.8

7.8

8.1

k1

k2

k3

2.40

2.47

2.70

2.43

2.70

2.43

2.57

2.37

2.63

2.27

2.60

2.70

极差R

0.9

0.8

0.8

1.3

因素主次

CAB

优方案

C3A3B3

综合上述的分析，优方案为A3B2C3，即乙醇浓度80%、加醇量6（倍数）和提取时间3h。

4、用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度大。

为提高吸光度，对A（灰化温度/℃）、B（原子化温度/℃）和C（灯电流/mA）3个因素进行了考察，并考虑交互作用A×B、A×C，各因素及水平见表3-14。

试进行正交试验，找出最优水平组合。

表3 因素水平表

水  平

A

B

C

1

2

300

700

1800

2400

8

10

解：

ⅰ.选表

这是一个3因素2水平的试验，但还有两个交互作用，在选正交表时应将交互作用看成因素，所以本例应按照5因素2水平的情况来选正交表，于是可以选择满足这一条件的最小正交表L8（27）来安排正交试验。

ⅱ.表头设计

表3-1就是正交表L8（27）对应的交互作用表。

表3-1 L8（27）二列间的交互作用

列号

（ ）

列 号

1

2

3

4

5

6

7

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（1）

3

（2）

2

1

（3）

5

6

7

（4）

4

7

6

1

（5）

7

4

5

2

3

（6）

6

5

4

3

2

1

（7）

表3-2就是正交表L8（27）的表头设计表。

在本题中，总共有3个因素，根据表3-2可知，可以将A，B，C依次安排在1，2，4列，而交互作用A×B，A×C分别安排在第3列和第5列上。

表3-2 L8（27）表头设计

因素数

列 号

1

2

3

4

5

6

7

3

A

B

A×B

C

A×C

B×C

4

A

B

A×B

C×D

C

A×C

B×D

B×C

A×D

D

4

A

B

C×D

A×B

C

B×D

A×C

D

B×C

A×D

5

A

D×E

B

C×D

A×B

C×E

C

B×D

A×C

B×E

D

A×E

B×C

E

A×D

ⅲ.明确试验方案、进行试验、得到试验结果

表头设计完之后，根据A，B，C三个因素所在的列，就可以确定本例中的8个试验方案。

注意，交互作用虽也中有相应的列，但它们与空白列一样，对确定试验方案不起任何作用。

按正交表规定的试验方案进行试验，测定试验结果，试验方案与试验结果yi（i=1，2…，8）见表3-3。

表3-3 试验方案与试验结果分析

试验号

A

1

B

2

A×B

3

C

4

A×C

5

空列

6

空列

7

吸光度

yi

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

1

2

0.484

0.448

0.532

0.516

0.472

0.480

0.554

0.552

K1

K2

1.980

2.058

1.884

2.154

2.038

2.000

2.042

1.996

2.048

1.990

2.024

2.014

2.034

2.004

极差R

0.078

0.270

0.038

0.046

0.058

0.010

0.030

因素主次

B  A  A×C  C A×B

ⅳ.计算极差、确定因素主次

极差计算结果和因素主次见表3-3。

ⅴ.优方案的确定

如果不考虑因素间的交互作用，根据指标越大越好，可以得到优方案为A2B2C1。

但是根据上一步排出的因素主次，可知交互作用A×C比因素C对试验指标的影响更大，所以要确定C的水平，应该按因素A、C各水平搭配好坏确定。

两因素的搭配表见表3-4。

表3-4 因素A、C水平搭配表

因素

A1

A2

C1

C2

（y1+y3）/2=（0.484+0.532）/2=0.508

（y2+y4）/2=（0.448+0.516）/2=0.482

（y5+y7）/2=（0.472+0.554）/2=0.513

（y6+y8）/2=（0.480+0.552）/2=0.516

比较表3-4中的四个值，0.516最大，所以取A2C2好，从而优方案为A2B2C2，即灰化温度700℃、原子化温度2400℃、灯电流10mA。

5、某造板厂进行胶压制造工艺的实验，以提高胶压的性能，因素及水平如表4，胶压板的性能指标采用综合评分的方法，分数越高越好，忽略因素间的交互作用，试用正交设计和极差分析确定各因素的最优水平及组合。

。

表4-1 因素水平表

水平

（A）压力/kPa

（B）温度/℃

（C）时间/min

1

2

3

4

810.60

1013.25

1114.58

1215.90

95

90

9

12

解：

本问题中有3个因素，一个因素有4个水平，另外两个因素都为2个水平，可以选用混合水平正交表L8（41×42）。

因素A有4个水平，应安排在第1列，B和C都为2个水平，可以放在后4列中的任何两列上，本题将B，C依次放在第2，3列上，第4，5列为空列。

本例的试验方案、试验结果如表4-1所示。

由于C因素是对试验结果影响较小的次要因素，它取不同的水平对试验结果的影响很小，如果从经济的角度考虑，可取9min，所以优方案也可以为A4B2C1，即压力1215.90kPa、温度90℃、时间9min。

表4-1 试验结果及其直观分析

试验号

A

B

C

空列

空列

得分

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

2

2

3

3

4

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

1

2

2

6

4

5

6

8

9

10

K1

K2

K3

K4

8

9

14

19

21

29

24

26

23

27

24

26

k1

k2

k3

k4

4.0

4.5

7.0

9.5

5.2

7.2

6.0

6.5

5.8

6.8

6.0

6.5

极差R

5.5

2.0

0.5

1

0.5

因素主次

ABC

优方案

A4B3C2或A4B2C1

6、某制药厂为提高某种药品的合成率，决定对缩合工序进行优化，因素水平表如表4所示，忽略因素间的交互作用，试用正交设计和极差分析确定各因素的最优水平及组合。

。

表5 因素水平表

水平

（A）温度/℃

（B）甲醇钠量/mL

（C）醛状态

（D）缩合剂量/mL

1

2

3

35

25

45

3

5

4

固

液

液

0.9

1.2

1.5

解：

C因素虚拟出一个水平之后，就可以选用正交表L9（34）来安排试验，试验结果及分析见表5-1。

。

在试验结果的分析计算中应注意，因素C的第3水平实际上与第2水平是相等的，应重新安排第3列中C因素的水平，将3水平改成2（结果如表5-1所示），于是C因素所在的第3列只有1，2两个水平，其中2水平出现6次。

所以求和时只有K1，K2，求平均值时k1=K1/3，k2=K2/6。

在计算极差时，应该根据ki（i表示水平号）来计算，即R={ki}max－{ki}min，不能根据Ki计算极差，这是因为，对于C因素，K1是2个指标值之和，K2是6个指标值之和，而对于A，B，D三因素，K1，K2，K3分别是3个指标值之和，所以只有根据平均值求出的ki极差才有可比性。

表5-1 试验结果及其直观分析

试验号

A

B

C

D

合成率/%

（合成率-70）/%

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

1

1

2

2

2

3

3

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

（1）

2

（2）

3

（2）

2

（2）

3

（2）

1

（1）

3

（2）

1

（1）

2

（2）

1

2

3

3

1

2

2

3

1

69.2

71.8

78.0

74.1

77.6

66.5

69.2

69.7

78.8

－0.8

 1.8

 8.0

 4.1

 7.6

－3.5

－0.8

－0.3

 8.8

K1

K2

K3

9.0

8.2

7.7

2.5

9.1

13.3

－4.6

29.5

15.6

－2.5

11.8

k1

k2

k3

3.0

2.7

2.6

0.8

3.0

4.4

－1.5

4.9

15.6

－2.5

11.8

极差R

0.4

3.6

6.4

6

因素主次

CDBA

优方案

C2D1B3A1

在确定优方案时，由于合成率是越高越好，因素A，B，D的优水平可以根据K1，K2，K3的大小顺序取较大的Ki或ki所对应的水平，但是对于因素C，就不能根据K1，K2的大小来选择优水平，而是应根据k1，k2的大小来选择优水平。

所以本例的优方案为C2D1B3A1，即醛为液态、缩合剂量0.9mL、甲醇钠量4mL、温度35℃。

7、某厂拟采用化学吸收法，用填料塔吸收废气的SO2，为了使废气中SO2的浓度达到排放标准，通过正我试验对吸收工艺条件进行了摸索，试验的因素与水平如表6所示。

需要考虑交互作用A×B，B×C。

如果将A，B，C放在正交表L8（27）的1，2，4列，试验结果（SO2摩尔分数/%）依次为：

0.15，0.25，0.03，0.02，0.09，0.16，0.19，0.08。

试进行方差分析。

（a=0.05）

表6因素水平表

水平

（A）碱浓度/%

（B）操作温度/℃

（C）填料种类

1

2

5

10

40

20

甲

乙

解：

①列出正交表L8（27）和试验结果，见表6-1

表6-1试验结果及分析

试验号

A

1

B

2

A×B

3

C

4

空列

5

B×C

6

空列

7

SO2摩尔分数×100

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

12

15

25

3

2

9

16

19

8

K1

K2

45

52

65

32

67

30

46

51

42

55

34

63

52

45

T=97

P=1176.125

Q=1625

极差R

7

33

37

5

13

29

7

SSj

6.125

136.125

171.125

3.125

21.125

105.125

6.125

②计算离差平方和

总离差平方和：

SST=Q－P+1625－1176.125=448.875

因素与交互作用的平方和：

同理                   

                       误差平方和：

          SSe=SS5+SS7=21.125+6.125=27.250

或        SSe=SST－（SSA+SSB+SSA×B+SSC+SSB×C）

             =448.875－（6.125+136.125+171.125+3.125+105.125）=27.250

③自由度计算

总自由度：

              dfT=n－1=8－1=7

各因素自由度：

       dfA=dfB=dfC=r－1=2－1=1

④均方计算

由于各因素和交互作用的自由度为1，所以它们的均方应该等于它们各自的离差平方和，即：

MSA=SSA=6.125

MSB=SSB=136.125

MSA×B=SSA×B=171.125

MSC=SSC=3.125

MSB×C=SSB×C=105.125

可以发现MSA＜MSe，MSC＜MSe，这说明了因素A、C对试验结果的影响较小，为次要因素，所以可以将它们都归入误差，这样误差的离差平方和、自由度和均方都会随之发生变化，即

⑤F值计算

由于因素A、C已经并入误差，所以就不需要计算它们对应的F值。

⑥F检验

表6-2 方差分析表

差异源

SS

df

MS

F

显著性

B

A×B

B×C

136.125

171.125

105.125

1

1

1

136.125

171.125

105.125

14.92

18.75

11.52

*

*

*

9.125

总和

448.125

7

查得临界值F0.05（1，4）=7.71，F0.01（1，4）=21.20，所以对于给定显著性水平。

a=0.05，因素B和交互作用A×B，B×C对试验结果都有显显影响。

最后将分析结果列于方差分析表中（见表6-2）。

从表6-2中F值的大小也可以看出因素的主次顺序为A×B，B，B×C，这与极差分析结果的是一致的。

⑦优方案的确定

交互作用A×B，B×C都对试验指标有显著影响，所以因素A，B，C优水平的确定应依据A，B水平搭配表（表6-3）和B，C水平搭配表（表6-4）。

由于指标（废气中SO2摩尔分数）是越小越好，所以因素A，B优水平搭配为A1B1，因素B，C优水平搭配为B2C2。

于是，最后确定的优方案为A1B3C2，即碱浓度5%，操作温度20℃，填料选择乙。

表3-26 例3.7因素A，B水平搭配表

因素

A1

A2

B1

B2

（15+9）/2=12.0

（3+19）/2=11.0

（9+16）/2=12.5

（19+8）/2=13.5

表3-27 例3.7因素B，C水平搭配表

因素

C1

C2

B1

B2

（15+9）/2=12.0

（3+19）/2=11.0

（9+16）/2=12.5

（19+8）/2=13.5

                                           （3－23）

8、 为了提高某种产品的得率，考察A，B，C，D四个因素，每个因素取3个水平，并且考虑交互作用A×B，A×C，A×D，试通过正交试验设计和方差分析确定较好的试验方案。

解：

①试验设计

本试验要考虑4个因素和3种交互作用，且每种交互作用占两列，这样因素和交互作用在正交表中总共占有10列，