傅里叶级数连续时间信号分析MATLAB课程.docx
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傅里叶级数连续时间信号分析MATLAB课程
课程设计任务书
学生姓名：
专业班级：
指导教师：
工作单位：
题目:
连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现
初始条件：
MATLAB软件，微机
要求完成的主要任务:
利用MATLAB强大的图形处理功能，符号运算功能和数值计算功能，实现连续时间非周期信号频域分析的仿真波形；
1、用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析；
2、用MATLAB实现信号的幅度调制；
3、用MATLAB实现信号傅立叶变换性质的仿真波形；
4、写出课程设计报告。
时间安排：
学习MATLAB语言的概况第1天
学习MATLAB语言的基本知识第2天
学习MATLAB语言的应用环境，调试命令，绘图能力第3、4天
课程设计第5-9天
答辩第10天
指导教师签名：
年月日
系主任（或责任教师）签名：
年月日
摘要…………………………………………………………………………………III
ABSTRACT……………………………………………………………………………III
绪论…………………………………………………………………………………IV
1傅里叶变换原理概述………………………………………………………………1
1.1傅里叶变换及逆变换的MATLAB实现………………………………………2
2用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析………………………………………3
2.1单边指数信号时域波形图、频域图………………………………………3
2.2偶双边指数信号时域波形图、频域图………………………………………4
2.3奇双边指数信号时域波形图、频域图………………………………………4
2.4直流信号时域波形图、频域图…………………………………………5
2.5符号函数信号时域波形图、频域图……………………………………………5
2.6单位阶跃信号时域波形图、频域图……………………………………………6
2.7单位冲激信号时域波形图、频域图……………………………………………6
2.8门函数信号时域波形图、频域图………………………………………………7
3用MATLAB实现信号的幅度调制……………………………………………………8
3.1实例1…………………………………………………………………………8
3.2实例2………………………………………………………………………10
4实现傅里叶变换性质的波形仿真…………………………………………………11
4.1尺度变换特性………………………………………………………………11
4.2时移特性………………………………………………………………………14
4.3频移特性………………………………………………………………………16
4.4时域卷积定理…………………………………………………………………18
4.5对称性质…………………………………………………………………………20
4.6微分特性………………………………………………………………………22
心得体会…………………………………………………………………………………25
参考文献…………………………………………………………………………………26
附录………………………………………………………………………………………27
摘要
MATLAB和、并称为三大数学软件。
MATLAB在数学类科技应用软件中在方面首屈一指。
Simulink是MATLAB软件的扩展，它是实现动态系统建模和仿真的一个软件包。
MATLAB具有强大的图形处理功能、符号运算功能和数值计算功能。
其中系统的仿真（Simulink）工具箱是从底层开发的一个完整的仿真环境和图形界面。
在这个环境中，用户可以完成面向框图系统仿真的全部过程，并且更加直观和准确地达到仿真的目标[1]。
本文主要介绍基于MATLAB的一阶动态电路特性分析。
关键字：
MATLAB；仿真；图形处理；一阶动态电路。
Abstract
MATLAB,andMathematica,Maple,andknownasthethreemajormathematicalsoftware.Itistheapplicationoftechnologyinmathematicsclassesinnumericalcomputingsoftware,secondtonone.SimulinkisanextensionofMATLABsoftware,whichistherealizationofdynamicsystemmodelingandsimulationofapackage.MATLABhasapowerfulgraphicsprocessingcapabilities,symboliccomputingandnumericalcomputingfunctions.Onesystemsimulation（Simulink）toolboxfromthebottomofthedevelopmentofacompletesimulationenvironmentandthegraphicalinterface.Inthisenvironment,theusercancompletesystemsimulationblockdiagramfortheentireprocessandachieveamoreintuitiveandaccuratesimulationofgoal[1].
Inthispaper,MATLAB-basedfirst-ordercharacteristicsofdynamiccircuits.
Keywords:
MATLAB；Simulation；Graphics；FirstOrderCircuit。
绪论
在科学技术飞速发展的今天，计算机正扮演着愈来愈重要的角色。
在进行科学研究与工程应用的过程中，科技人员往往会遇到大量繁重的数学运算和数值分析，传统的高级语言Basic、Fortran及C语言等虽然能在一定程度上减轻计算量，但它们均用人员具有较强的编程能力和对算法有深入的研究。
MATLAB正是在这一应用要求背景下产生的数学类科技应用软件。
MATLAB是matrix和laboratory前三个字母的缩写，意思是“矩阵实验室”，是MathWorks公司推出的数学类科技应用软件[2]。
MATLAB具有以下基本功能：
（1）数值计算功能；
（2）符号计算功能；（3）图形处理及可视化功能；（3）可视化建模及动态仿真功能。
本文介绍了如何利用MATLAB强大的图形处理功能、符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间系统频域分析。
本次课程设计介绍了用MATLAB实现典型非周期信号的频谱分析，用MATLAB实现信号的幅度调制以及用MATLAB实现信号傅里叶变换性质的仿真波形。
1傅里叶变换原理概述
设有连续时间周期信号
，它的周期为T，角频率
，且满足狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。
傅里叶级数有三角形式和指数形式两种[3]。
1.三角形式的傅里叶级数[2]：
式中系数
，
称为傅里叶系数，可由下式求得：
[
2.指数形式的傅里叶级数[2]：
式中系数
称为傅里叶复系数，可由下式求得：
周期信号频谱具有三个特点[1]：
（1）离散性，即谱线是离散的；
（2）谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上；
（3）收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小。
周期信号的傅里叶分解用Matlab进行计算时，本质上是对信号进行数值积分运算。
在Matlab中有多种进行数值积分运算的方法，我们采用quadl函数，它有两种其调用形式。
（1）y＝quadl（‘func’,a,b）。
其中func是一个字符串，表示被积函数的.m文件名（函数名）；a、b分别表示定积分的下限和上限。
（2）y＝quadl（@myfun,a,b）。
其中“@”符号表示取函数的句柄，myfun表示所定义函数的文件名。
1.1傅里叶变换及逆变换的MATLAB实现
MATLAB的SymbolicMathToolbox提供了能直接求解傅里叶变换及逆变换的函数Fourier（）及Fourier（）[4]。
1.1fourier变换
1.
（1）F=fourier（f）;
（2）F=fourier（v）;
（3）F=fourier（f,u,v）;
说明：
（1）F=fourier（f）是符号函数f的Fourier变换，缺省返回是关于ω的函数。
如果f=f（ω）,则fourier函数返回关于t的函数。
（2）F=fourier（f,v）返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是缺省的ω
（3）F=fourier（f,u,v）对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数。
1.2fourier逆变换
1.
（1）f=ifourier（F）;
（2）f=ifourier（F,u）;
（3）f=ifourier（F,v,u）;
说明：
（1）f=ifourier（F）中输入参量F是傅里叶变换的符号表达式，缺省为符号变量w的函数，输出参量f是F的傅里叶逆变换的符号表达式，缺省为符号变量x的函数。
（2）f=ifourier（F,u）中输入参量F是傅里叶变换的符号表达式，缺省为符号变量w的函数，输出参量f是F的傅里叶逆变换的符号表达式，为指定符号变量u的函数
（3）f=ifourier（F,v,u）中输入参量F是傅里叶变换的符号表达式，为指定符号变量v的函数，输出参量f是F的傅里叶逆变换的符号表达式，缺省为符号变量u的函数。
2用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析
2.1单边指数信号时域波形图、频域图
的时域波形图和频谱图如图2.1.1：
图2.1.1单边指数信号
2.2偶双边指数信号时域波形图、频域图
偶双边指数信号时域波形图、频域图如下图图2.2.1：
图2.2.1偶双边指数信号
2.3奇双边指数信号时域波形图、频域图
奇双边指数信号时域波形图、频域图如下图图2.3.1：
图2.3.1奇双边指数信号
2.4直流信号时域波形图、频域图
直流信号f（t）=A,不满足绝对可积条件，但傅里叶变换却存在。
可以把单位直流信号看做双边指数信号当a趋于0时的极限。
直流信号时域波形图、频域图如下图2.4.1：
图2.4.1直流信号
2.5符号函数信号时域波形图、频域图
符号函数信号时域波形图、频域图如下图2.5.1：
图2.5.1符号函数信号
图5符号函数信号波形图
2.6单位阶跃信号时域波形图、频域图
单位阶跃函数信号时域波形图、频域图如下图2.6.1：
图2.6.1单位阶跃函数信号
2.7单位冲激信号时域波形图、频域图
单位冲激函数信号时域波形图、频域图如下图2.7.1：
图2.7.1单位冲激函数信号
2.8门函数信号时域波形图、频域图
门函数信号时域波形图、频域图如下图2.8.1：
图2.8.1门函数信号
3用MATLAB实现信号的幅度调制
设信号f（t）的频谱为F（jw）,现将f（t）乘以载波信号cos（w0t），得到高频的已调信号y（t），即：
y（t）=f（t）cos（w0t）
从频域上看，已调制信号y（t）的频谱为原调制信号f（t）的频谱搬移到0±w处，幅度降为原F（jw）的1/2，即
上式即为调制定理，也是傅里叶变换性质中“频移特性”的一种特别情形。
MATLAB提供了专门的函数modulate（）用于实现信号的调制。
调用格式为：
y=modulate（x,Fc,Fs,'method'）[y,t]=modulate（x,Fc,Fs）
其中，x为被调信号，Fc为载波频率，Fs为信号x的采样频率，method为所采用的调制方式，若采用幅度调制、双边带调制、抑制载波调制，则＇method＇为＇am＇或amdsd-sc＇。
其执行算法为y=x*cos（2*pi*Fc*t）
其中y为已调制信号，t为函数计算时间间隔向量。
涉及到一个函数，暂时不容易理解，因此查阅工具书，特在此说明：
MATLAB的“信号处理工具箱函数”中的估计信号的功率谱密度函数psd（）,其格式是：
[Pxx，f]=psd（x，Nfft，Fs，window，noverlap，dflag）
其中，x是被调制信号（即本例中的f（t）），Nfft指定快速付氏变换FFT的长度，Fs
为对信号x的采样频率。
后面三个参数的意义涉及到信号处理的更深的知识，在此暂不介绍。
3.1信号调制实例1
例1：
f（t）=sin（100πt）f=400Hz，绘出原信号f（t）以及调制信号y（t）=f（t）coswt的实域波形图、频铺图以及功率谱。
程序如下：
Fm=50;
Fc=400;%载波频率
Fs=1000;%信号x的抽样频率
N=1000;
k=0:
N-2;%采样点
t=k/Fs;%采样时间
x=sin（2*pi*Fm*t）;%被调制信号
subplot（221）;
plot（t,x）;%画出被调制信号的波形
xlabel（'t（s）'）;
ylabel（'x'）;
title（'被调制信号的波形'）;
axis（[00.1-11]）;%坐标系范围t取值范围不能大，因为采样频率很高，不便于观察
Nfft=1024;
window=hamming（512）;
noverlap=256;
dflag='none';
[Pxx,f]=psd（x,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag）;%估算被调信号的功率谱密度Nfft是快速傅里叶变换的长度
subplot（222）;
plot（f,Pxx）;%画出被调信号的功率谱密度的波形
ylabel（'功率谱（x）'）;
xlabel（'f（hz）'）;
%axis（[06000100]）;%坐标系的范围
title（'被调信号的功率谱密'）;
grid
y=modulate（x,Fc,Fs,'am'）;%得到调制信号
subplot（223）;
plot（t,y）;%会出调制信号的波形
xlabel（'t（s）'）;
ylabel（'y'）;
title（'已调信号'）;
axis（[00.1-11]）;%坐标系的范围t取值范围不能大，因为采样频率很高，不便于观察
[Pxx,f]=psd（y,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag）;%估算被调信号的功率谱密度Nfft是快速傅里叶变换的长度
subplot（224）;
plot（f,Pxx）;%画出被调信号的功率谱密度的波形
ylabel（'功率谱（y）'）;
xlabel（'f（hz）'）;
%axis（[06000100]）;%坐标系的范围
title（'已调信号功率谱'）;
grid
图3.1.1调制信号与被调信号
3.2信号调制实例2
例2：
设
绘出原信号f（t）以及调制信号y（t）=f（t）coswt的实域波形图、频谱图以及功率谱。
解：
n=0.005;
t=-1.5:
n:
1.5;
f=Heaviside（t+1）-Heaviside（t-1）;
ft=f.*cos（10*pi*t）;%FT为已调信号，要满足矩阵相乘规则，点乘，.w
subplot（221）;
plot（t,f）;%画出被调制信号波形
xlabel（'t'）;
ylabel（'f（t）'）;
title（'被调制信号波形'）;
subplot（222）;
plot（t,ft）;%画出已调制信号波形
xlabel（'t'）;
ylabel（'ft（t）'）;
title（'已调制信号波形'）;
w1=40;
N=1000;
k=-N:
N;
w=w1*k/N;
Fw=f*exp（-j*t'*w）*n;%得到被调制信号频谱
Ftw=ft*exp（-j*t'*w）*n;%得到已调制信号频谱
Fwr=real（Fw）;%热∈挡?
Ftwr=real（Ftw）;
subplot（223）;
plot（w,Fwr）;%画出被调制信号频谱
xlabel（'w'）;
ylabel（'F（jw）'）;
title（'被调制信号频谱'）;
subplot（224）;
plot（w,Ftwr）;%画出已调制信号频谱
xlabel（'w'）;
ylabel（'Ft（jw）'）;
title（'已调信号频谱'）;
图3.2.1原信号f（t）、调制信号ft（t）的波形及其频谱F（jw）、Ft（jw）
4用MATLAB实现信号傅立叶变换性质的仿真波形
4.1傅里叶变换的尺度变换特性
若f（t）«F（jw），则傅里叶变换的尺度变换特性为[5]：
例1:
设
，即门宽为τ=2的门信号，用MATLAB求
的频谱Y（jw），并与f（t）的频谱F（jw）进行比较。
%尺度变换
n=0.02;%采样间隔
t=-2:
n:
2;%采样范围
f=Heaviside（t+1）-Heaviside（t-1）;%脉宽为2的门信号
h=Heaviside（2*t+1）-Heaviside（2*t-1）;%脉宽为1的门信号
w1=5*2*pi;
N=500;
k=-N:
N;
w=k*w1/N;
F=f*exp（-j*t'*w）*n;%求出Fw
H=h*exp（-j*t'*w）*n;%求出Hw
subplot（221）;
plot（t,f）;%画出脉宽为2的门信号的时域波形
xlabel（'t'）;
ylabel（'f（t）'）;
title（'脉宽为2的门信号的时域波形'）;
axis（[-2.52.501.1]）;
subplot（222）;
plot（t,h）;%画出脉宽为1的门信号的时域波
xlabel（'t'）;
ylabel（'h（t）'）;
title（'脉宽为1的门信号的时域波形'）;
axis（[-2.52.501.1]）;
subplot（223）;
plot（w,F）;%画出脉宽为2的门信号的频域波
xlabel（'w'）;
ylabel（'F（w）'）;
title（'脉宽为2的门信号的频域波形'）;
axis（[-5*pi5*pi-0.52.1]）;
subplot（224）;
plot（w,H）;%画出脉宽为1的门信号的频域波
xlabel（'w'）;
ylabel（'H（w）'）;
title（'脉宽为1的门信号的频域波形'）;
axis（[-5*pi5*pi-0.52.1]）;
图4.1.1傅里叶变换的尺度变换特性
由图4.1.1，y（t）信号相当于原信号f（t）在时域上压缩一倍，即y（t）=f（2t），a=2，按式，Y（jw）的频域宽度应是F（jw）的两倍，而幅度下降为F（jw）的一半。
4.2傅里叶变换的时移变换特性
若f（t）«F（jw），则傅里叶变换的时移特性为：
例2：
设
试用MATLAB绘出f（t-t0）,f（t+t0）及其频谱（幅度谱及相位谱）。
t0=0.2;%时移大小
n=0.02;%采样间隔
t=-5:
n:
5;%采样范围
f1=1/2*exp（-2*t）.*Heaviside（t）;%定义函数f1
f2=1/2*exp（-2*（t-t0））.*Heaviside（t-t0）;%定义函数f2，时域右移t0
f3=1/2*exp（-2*（t+t0））.*Heaviside（t+t0）;%定义函数f1，时域左移t0
subplot（311）;
plot（t,f1）;%画出f1,f2,f3的时域波形
xlabel（'t'）;
ylabel（'f（t）'）;
holdon
plot（t,f2,'-.'）;
plot（t,f3,':
'）;
axis（[-6600.7]）;
legend（'f1（t）','f2（t）','f3（t）'）;标注f1f2f3
N=300;
w1=5*pi*2;%频谱宽度
k=-N:
N;
w=k*w1/N;
F1=n*f1*exp（-j*t'*w）;%f1的傅里叶变换
F1f=abs（F1）;%f1的幅度频谱
F1a=angle（F1）;%f1的相位频谱
F2=n*f2*exp（-j*t'*w）;%f2的傅里叶变换
F2f=abs（F2）;%f2的幅度频谱
F2a=angle（F2）;%f2的相位频谱
F3=n*f3*exp（-j*t'*w）;%f3的傅里叶变换
F3f=abs（F3）;%f3的幅度频谱
F3a=angle（F3）;%f3的相位频谱
subplot（312）;
plot（w,F1f）;
xlabel（'w'）;
ylabel（'F（w）'）;
holdon
plot（w,F2f,'-.'）;
plot（w,F3f,':
'）;%画出f1f2f3的幅度谱
axis（[-6600.7]）;
legend（'F1f（w）','F2f（w）','F3f（w）'）;
subplot（313）;
plot（w,F1a*180/pi）;
xlabel（'w'）;
ylabel（'P（度）'）;
holdon
plot（w,F2a*180/pi,'-.'）;
plot（w,F3a*180/pi,':
'）;%画出f1f2f3的相位
axis（[-66-200200]）;
图4.2.1f（t）,f（t-t0）,f（t+t0）及其幅频特性与相频特性
从图4.2.1可以看出，信号时移后其幅度频谱并没有改变，只是相位频谱发生了改变，增加0.2w或减少0.2w。
4.3傅里叶变换的频移变换特性
若f（t）的傅里叶变换为F（jw），则傅里叶变换的频移特性为：
例4:
设f（t）=e（t+1）-e（t-1），试用MATLAB绘出
的频谱F1（jw）及F2（jw），并与f（t）的频谱F（jw）进行比较。
w0=30;
n=0.02;
t=-1:
n:
1;
g=Heaviside（t+1）-Heaviside（t-1）;
gt=1/2*g.*（exp（j*w0*t）+exp（-j*w0*t））;
subplot（221）;
plot（t,g）;
xlabel（'t'）;
ylabel（'g'）;
title（'脉宽为2的门函数的时域波形','FontSize',15）;
axis（[-1.51.501
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