金融数学课件3变额年金.docx
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金融数学课件3变额年金
*
孟生旺
中国人民大学统计学院
变额年金
〔VaryingAnnuities〕
*
主要内容
递增年金〔离散支付，离散递增〕
递减年金〔离散支付，离散递减〕
复递增年金：
按几何级数递增的年金
每年支付m次的递增年金〔略去递减年金〕
连续支付的变额年金：
连续支付，离散递增〔或递减〕
连续支付连续递增〔或递减〕的年金
一般的连续支付连续变额现金流
*
回忆：
等额年金公式
年金
根本年金
永续年金的现值
现值
累积值
期末付
期初付
*
年金
每年支付m次的年金
永续年金的现值
现值
累积值
期末付
期初付
*
连续支付的年金〔连续年金〕
连续支付的
永续年金的现值
现值
累积值
*
1、递增年金〔increasingannuity〕
期末付递增年金：
第一期末支付1元，第二期末支9>2元，…，第n期末支付n元。
按算术级数递增。
假如用表示其现值，那么有
上式两边同时乘以（1+i）那么有
*
用第二式减去第一式那么有
所以递增年金的现值为
*
递增年金分解表
时期?
Bstyle='color:
white;background-color:
#990099'>2?
Bstyle='color:
white;background-color:
#990099'>2
0
1
2
3
…
n–1
n
递增年金
1
2
3
…
n–1
n
等
额
年
金
1
1
1
…
1
1
1
1
…
1
1
1
…
1
1
…
…
…
1
1
1
递增年金=n年定期年金
+延期1年的（n–1）年定期年金
+延期2年的（n–2）年定期年金
+…
+延期（n–1）年的1年定期年金
*
将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为
*
根据现值求得其累积值为
期初付递增年金的现值
期初付递增年金的累积值
建议：
只记忆期末付年金的现值公式。
*
当时，还可以得到递增永续年金的现值为
在计算上述极限时，
*
例：
某人希望购置一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。
假如年实际利率为5%，这项年金的现值应该是多少？
解：
年金分解如下：
1000
1100
1800
1900
900
900
900
900
100
200
900
1000
*
例：
写出下述年金的现值公式
设A表示此年金的现值，那么
*
例：
证明以下关系式成立：
〔1〕
〔2〕
*
〔2〕由于，因此
〔1〕
*
时期?
Bstyle='color:
white;background-color:
#990099'>2?
Bstyle='color:
white;background-color:
#990099'>2
0
1
2
3
…
n–1
n
递减年金
n
n–1
n–2
…
2
1
等
额
年
金
1
1
1
…
1
1
1
1
1
…
1
1
1
1
…
…
…
…
1
1
1
1
1
1
期末付递减年金：
第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元。
按算术级数递减。
2、递减年金〔decreasingannuity〕
*
因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现值之和，即：
*
递减年金的其他公式：
*
例：
一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。
从第n+1年开场，每年递减1元，直至最后一年付款1元。
试计算该项年金的现值是多少？
1
2
n
n-1
1
*
*
3、复递增年金〔compoundincreasingannuity〕
含义：
付款金额按照某一固定比例增长的年金。
期末付复递增年金：
在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按的复利r增长，直到第n年末支付（1+r）n-1。
*
上述年金的现值：
变形可得：
假设r?
?
Bstyle='color:
white;background-color:
#990099'>2i,令，那么现值为：
假设r=i,那么现值为n/（1+i）
其中
*
例：
某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给付金额按5％递增，假设年实际利率为111>.3%，请计算这项年金在时刻零的现值。
解：
本例年金的现金流如以下图所示：
*
现值：
其中
因此该项年金的现值为：
*
期初付复递增年金：
假设一项年金在第1年初给付1元，此后给付金额按复利增长，直到第n年初给付金额为元。
*
此项年金的现值表达式：
假设r?
?
Bstyle='color:
white;background-color:
#990099'>2i，那么可令，上式变形为：
其中
假设r=i,那么现值为n
*
问题：
对于等额年金，期初付年金的现值是期末付年金的（1+i）倍，对于复递增年金而言，期初付与期末付存在什么关系？
假设r=i,期末付的现值为n/（1+r）=n/（1+i），期初付的现值为n.
假设r≠i,期末付的现值为：
期初付的现值为：
结论：
期初付的现值是期末付的（1+i）倍〔参见下页图示〕。
*
期末付：
期初付：
*
例：
一份20年期的年金，在第1年初给付200元，以后给付金额按10％的递增，假设年实际利率为5%，请计算此项年金在时刻零的现值。
解：
本例年金的现金流如以下图所示：
*
此项年金的现值为：
其中
因此，此项年金的现值为：
*
10年期期末付年金的现值a与利率i的关系
*
4、每年支付m次的递增年金
假如每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下述两种情况：
同一年的每次付款一样
同一年的每次付款也是递增的
*
每年支付m次的递增年金：
同一年的每次付款一样
现值：
注：
见下页说明
*
第一年内所有付款的现值为
第二年内所有付款的现值为
……
第n年内所有付款的现值为
因此该项年金的现值为：
*
每年支付m次的递增年金：
同一年的每次付款递增
两种方法计算现值：
〔1〕看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。
〔2〕建立新公式〔理解〕
*
〔1〕应用递增年金公式计算现值：
*
令
在式两边同时乘以，那么有
〔2〕建立新公式〔理解〕
*
上式两边同时乘以m，那么有
所以
*
比拟：
请写出累积值的公式。
问题：
如何应用上述公式？
〔每年付款m次，第一年的每次付款为1/m，第一年的付款总额为1〕
〔每年付款m次，第一次付款为1/m2〕
*
例：
写出下述年金的现值计算公式〔年利率i=10%）：
100
100
100
100
200
200
200
200
0
1
2
*
100
200
300
400
500
600
700
800
0
1
2
例：
写出下述年金的现值计算公式〔年利率i=10%）：
*
每年支付m次的递减年金〔理解，课外练习〕
*
5、连续支付的变额年金
（continuouslypayablevaryingannuity）
含义：
支付次数趋于无穷，即支付是连续进展的，但支付金额随时间呈离散变化。
连续支付的递增年金
连续支付的递减年金
假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…，第n年连续支付n元，如以下图所示：
*
连续支付的递增年金的现值为：
*
例：
一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。
解：
可以把这项年金分解为两项年金:
*
本例年金的现值为：
可以计算出
*
连续支付的递增年金的终值：
连续支付的递增永续年金的现值：
第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。
其现值为
*
连续支付的递减年金：
支付是连续进展的，但支付金额随时间离散递减。
第1年连续支付n元，第2年连续支付n-1元，直到第n年连续支付1元。
该年金的现金流如以下图所示。
*
上述年金的现值：
*
例：
一项年金在第1年连续支付100元，第2年连续支付90元，第3年连续支付80元，直到第10年连续支付10元，假设年实际利率为6％，求其现值。
解：
其现值的表达式为：
因此本例年金的现值为：
*
变额年金公式小结
年金
递增年金
永续年金的
现值
现值
累积值
每年支付
1次
每年支付
m次
连续支付
*
年金
递减年金
现值
累积值
每年支付
1次
每年支付
m次
连续支付
*
6、连续支付连续递增的年金〔简称：
连续递增年金〕
〔continuouslyincreasingannuity〕
假设在时刻t的付款率〔paymentrate〕为t，常数利息力为d，那么连续支付连续递增年金的现值为：
注:
I和a上都有横线。
在时刻t的付款率为t，表示按此付款，1年的付款总量将为t.
*
上式右边可用分部积分法展开：
*
连续支付连续递增年金的终值为
*
例：
一项10年期的连续支付连续递增年金，在时刻t的付款率为9t+6，利息力为9％，计算此项年金在时刻零的现值。
解：
分解成两局部：
连续支付连续递增的年金
连续支付的等额年金
其中：
*
例：
一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时刻t的付款率为3t-4，假设固定利息力为6％，试求此项年金在第7年末的终值。
解：
假设此年金的付款期是从时刻0到第7年末，那么其终值可表示为：
从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为：
因此，本例年金的终值为：
*
通过计算可得：
故本例年金的终值为：
*
连续支付连续递增的永续年金：
在连续支付连续递增年金的现值公式中，令n趋于无穷大，那么可以得到连续支付连续递增永续年金的现值公式：
*
例：
一项连续支付的永续年金在时刻t的付款比率为3t，付款从0时刻起并一直延续下去，年实际利率为5％，那么其现值为：
*
7、连续支付连续递减的年金〔简称：
连续递减年金〕
（continuouslydecreasingannuity）
含义：
年金的支付期为n年，在时刻t的付款率为n-t，固定利息力为d。
其现值用符号表示。
连续支付连续递减年金的现值公式：
*
例：
一项10年期的年金，在时刻t的付款率为10-t，假设利息力为5％，试计算此项年金在时刻零的现值和在第10年末的终值。
解：
现值：
终值〔累积值〕：
*
8、一般的连续支付连续变额现金流
现值：
假设付款时间是从时刻a到时刻b，在时刻t的付款率为rt，利息力为dt。
时刻t支付的1在时刻a的现值为〔下页图示〕
从时刻a到时刻b内，所有付款在时刻a的现值是将所有付款的现值加总，在连续情况下就是对它们进展积分：
*
a
b
c
0
t
1
在0点的现值
累积到a点
在a点的现值
*
例：
一个连续支付的现金流
在时刻t的支付率为
利息力为
试计算此现金流在时刻零的现值。
解：
*
令
那么其现值为：
*
非立即支付现金流的现值：
一个现金流的起始时刻为a>0，完毕时刻为b，计算在0点的现值：
方法一：
计算此现金流在时刻a的现值，再将此现值从时刻a贴现到时刻零。
方法二：
改变前式对利息力积分的下积分限来得到在时刻零的现值：
*
例：
一个连续支付现金流的支付率为rt=3元，支付期限从时刻2到时刻6，并且具有固定的利息力dt=0.05，试计算此现金流在时刻零的现值。
解：
改变对利息力积分的积分限，有：
*
另一种方法：
先计算现金流在时刻2的现值：
从时刻2到时刻零的贴现因子为：
因此上述现金流在时刻零的现值为：
*
终值：
在时刻t支付1元，将其累积到时刻b的终值为〔下页图示〕
为了计算从时刻a到时刻b内所有付款的终值，需要将该期间内所有付款的终值加总，在连续情况下就是对它们进展积分：
*
a
b
c
0
t
1
在0点的现值
累积到b点
在b点的累积值
*
为了将一个连续支付的现金流累积到支付期间以后的某一时点c，有两种方法：
方法一：
计算在时刻b的终值，再累积到时刻c。
方法二：
改变积分上限得到在时刻c的终值：
*
例：
一个连续支付的现金流，其支付比率为，支付期间从时刻1到时刻6，并有固定利息力，试计算此现金流在时刻9的终值。
解：
现金流在时刻9的终值为：
*
另一种解法：
首先计算此现金流在时刻6的终值：
从时刻6到时刻9的累积因子为：
因此，该现金流在时刻9的终值为：
*
年金小结
*
年金
等额年金
永续年金的现值
现值
累积值
每年支付1次
每年支付m次
连续支付
*
年金
递增年金
递增永续年金的现值
现值
累积值
每年支付1次，每年递增1次
每年支付m次，每年递增1次
连续支付，
每年递增1次
连续支付，
连续递增
*
年金
递减年金
现值
累积值
每年支付1次，
每年递减1次
每年支付m次，
每年递减1次
连续支付，
每年递减1次
连续支付，
连续递减
*
考虑题：
比拟下述公式，指出它们之间的关系
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