高中数学苏教版选修23教案 21 随机变量及其概率分布.docx
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高中数学苏教版选修23教案21随机变量及其概率分布
2.1随机变量及其概率分布教案
教学目标
（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；
（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；
（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观．
教学重点，难点
（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；
（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．
教学过程
一．问题情境
在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数
是0，1，…，10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数
是1，2，3，4，5，6中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果
是0和1中的某个数；……
上述现象有哪些共同特点？
二．学生活动
上述现象中的
，
，
，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．
例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数
：
，表示成活0棵；
，表示成活1棵；……
三．建构数学
1．随机变量：
一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母
，
，
（或小写希腊字母，，
）等表示，而用小写拉丁字母，
，（加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．
如：
上面新生婴儿的性别
是一个随机变量，
，表示新生婴儿是男婴；
，表示新生婴儿是女婴．
例1．
（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用
表示掷得正面的次数，则随机变量
的可能取值有哪些？
（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为
，则随机变量
的可能取值有哪些？
解
（1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量
的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量
的取值构成集合{0，1}．
（2）根据条件可知，随机变量
的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}．
说明：
（1）引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．
（2）在例1
（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为
，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为
．
（3）在例1
（2）中，也可用
，
，
，
分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件．另一方面，在例1
（2）中，可以用
这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．
这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例1
（1）中
的概率可以表示为
，其中
常简记为
．同理，
．这一结果可用表2-1-1来描述．
0
1
例1
（2）中随机变量
所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述．
1
2
3
4
上面的两个表格分别给出了随机变量
，
表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．
2．随机变量的概率分布：
一般地，假定随机变量
有个不同的取值，它们分别是
，
，…，
，且
，
，①则称①为随机变量
的概率分布列，简称为
的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．
…
…
我们将表2-1-3称为随机变量
的概率分布表．它和①都叫做随机变量
的概率分布．
3．随机变量分布列的性质：
（1）
；
（2）
．
四．数学运用
1．例题：
例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用
表示“取到的白球个数”，即
求随机变量
的概率分布．
解由题意知
，
，故随机变量
的概率分布列为
，
，概率分布表如下．
0
1
说明：
1．本题中，随机变量
只取两个可能值0和1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为
~0-1分布或
~两点分布．此处“~”表示“服从”．
2．求随机变量
的分布列的步骤：
（1）确定
的可能取值
；
（2）求出相应的概率
；（3）列成表格的形式。
例3若随机变量
的分布列为：
试求出常数．
解：
由随机变量分布列的性质可知：
，解得
。
变式：
设随机变量的分布列为
，求实数的值。
（
）
例4 某班有学生45人，其中
型血的有10人，
型血的有12人，
型血的有8人，
型血的有15人，现抽1人，其血型为随机变量
，求
的分布列。
解：
设
、
、
、
四种血型分别编号为1，2，3，4，则
的可能取值为1，2，3，4。
则
，
，
，
。
故其分布表为
1
2
3
4
2．练习：
课本第48页练习第1，2题
五．回顾小结：
1．随机变量的概念及0-1分布，随机变量性质的应用；
2．求随机变量
的分布列的步骤．
六．课外作业：
课本第52页习题2．2第1，3题
七．板书设计
课题：
一、定义、公式
二、注意……
三、小结
三、例题：
例1
例2
例3
例4
四、课堂练习：
1、
2、
八．教后感第2课时随机变量及其概率分布
（2）
教学目标
（1）正确理解随机变量及其概率分布列的意义；
（2）掌握某些较复杂的概率分布列．
教学重点，难点求解随机变量的概率分布
教学过程
一．问题情境
1．复习回顾：
（1）随机变量及其概率分布的概念；
（2）求概率分布的一般步骤．
2．练习：
（1）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为
；
②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数
；
③从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和
．
解：
①
可取3，4，5．
＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．
②
可取0，1，2，3，
＝表示取出支白粉笔，
支红粉笔，其中
0，1，2，3．
③
可取3，4，5，6，7．
＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；
＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；
＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；
＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；
＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片．
（2）袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记
．求
的分布列．
解：
显然
服从两点分布，
，则
．所以
的分布列是:
0
1
二．数学运用
1．例题：
例1同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．求两颗骰子中出现的最大点数
的概率分布，并求
大于2小于5的概率
．
解依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，5），（6，6）．因而
的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表．
的值
出现的点
情况数
1
（1，1）
1
2
（2，2），（2，1），（1，2）
3
3
（3，3），（3，2），（3，1），（2，3），（1，3）
5
4
（4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（3，4），（2，4），（1，4）
7
5
（5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），（4，5），（3，5），
（2，5），（1，5）
9
6
（6，6），（6，5），（6，4），（6，3），（6，2），（6，1），（5，6），
（4，6），（3，6），（2，6），（1，6）
11
由古典概型可知
的概率分布如表2-1-6所示．
1
2
3
4
5
6
从而
．
思考：
在例3中，求两颗骰子出现最小点数
的概率分布．
分析类似与例1，通过列表可知：
，
，
，
，
，
．
例2从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以
表示赢得的钱数，随机变量
可以取哪些值呢？
求
的分布列．
解析：
从箱中取出两个球的情形有以下六种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量
＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量
＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量
＝1；当取到2黄时，
＝0；
当取到1黑1黄时，
＝2；当取到2黑时，
＝4．
则
的可能取值为－2，－1，0，1，2，4．
；
；
；
；
，
．
从而得到
的分布列如下：
－2
－1
0
1
2
4
例3袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率．
解：
（1）设袋中原有个白球，由题意知：
，所以
，解得
（舍去
），即袋中原有3个白球．
（2）由题意，的可能取值为1，2，3，4，5．
；
；
；
，
．
所以，取球次数的分布列为：
1
2
3
4
5
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为
，则
（
，或
，或
）．因为事件
、
、
两两互斥，
所以
．
2．练习：
课本第48页练习第3题
五．回顾小结：
1．随机变量及其分布列的意义；
2．随机变量概率分布的求解．
六．课外作业：
课本第52页习题2．2第2，5题
七．板书设计
课题：
一、定义、公式
二、注意点……
五、小结
三、例题：
例1
例2
例3
四、课堂练习：
1、
八．教后感
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