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必修一数学家教讲义

人教版高中数学必修一

————各章节知识点与重难点

第一章集合与函数概念

1.1集合

1.1.1集合的含义与表示

【知识要点】

1、集合的含义

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2、集合的中元素的三个特性

（1）元素的确定性；

（2）元素的互异性；（3）元素的无序性

2、“属于”的概念

我们通常用大写的拉丁字母A,B,C,……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,……表示元素

如：

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，如果a不属于集合A记作a

A

3、常用数集及其记法

非负整数集（即自然数集）记作：

N；正整数集记作：

N*或N+；整数集记作：

Z；有理数集记作：

Q；实数集记作：

R

4、集合的表示法

（1）列举法：

把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（2）描述法：

用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。

①语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：

例：

不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}

（3）图示法（Venn图）

【重点】集合的基本概念和表示方法

【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合

1.1.2集合间的基本关系

【知识要点】

1、“包含”关系——子集

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A

B

2、“相等”关系

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：

A=B

3、真子集

如果A

B,且A

B那就说集合A是集合B的真子集，记作A

B（或B

A）

4、空集

不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

【重点】子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系

【难点】弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

1.1.3集合的基本运算

【知识要点】

1、交集的定义

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

记作：

A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质

A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集与补集

（1）全集

如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。

通常用U来表示。

（2）补集

设U是一个集合，A是U的一个子集（即A

U），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。

记作：

CUA，即CSA={x|x

U且x

A}

（3）性质

CU（CUA）=A，（CUA）∩A=Φ，（CUA）∪A=U；

（CUA）∩（CUB）=CU（A∪B），（CUA）∪（CUB）=CU（A∩B）.

【重点】集合的交集、并集、补集的概念

【难点】集合的交集、并集、补集的概念与应用

1.2函数及其表示

1.2.1函数的概念

【知识要点】

1、函数的概念

设A、B是非空的数集，集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x），x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

而y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

【注意】函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．（很容易疏忽）

【如何求定义域】

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零;

（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.

2、构成函数的三要素（缺一不可）

定义域、对应关系和值域

3、如何判断两个函数是否相同？

（1）定义域一致；

（2）表达式相同（两点必须同时具备）

4、常用的函数表示法

解析法：

（必须注明函数的定义域）、图象法、列表法

5、分段函数、复合函数y=f（u）u=g（x）

6、函数图象画法

A、描点法

B、图象变换法

常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换

（Ⅰ）对称变换

①将y=f（x）在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f（x）∣的图象如：

书上P21例5

②y=f（x）和y=f（-x）的图象关于y轴对称。

如

（Ⅱ）平移变换

由f（x）得到f（x

a）左加右减；

由f（x）得到f（x）

a上加下减

7、映射

定义：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A

B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f：

A

B”

1.3函数的基本性质

1.3.1函数单调性与最大（小）值

【知识要点】

1、函数的单调性定义

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

区间D称为y=f（x）的单调增区间；

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

【注意】函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

3、函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法

①任取x1，x2∈D，且x1

②作差f（x1）－f（x2）；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

⑤下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）复合函数的单调性：

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律如下：

同增异减

5、函数的最大（小）值定义

6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

利用图象求函数的最大（小）值

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数在x=b处有最大值f（b）；

函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数在x=b处有最小值f（b）；

【习题传递】

一、选择题：

1．在区间（0，＋∞）上不是增函数的函数是（）

A．y=2x＋1B．y=3x2＋1

C．y=

D．y=2x2＋x＋1

2．函数f（x）=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间（－∞，－2）上是减函数，则f

（1）等于（）

A．－7B．1

C．17D．25

3．函数f（x）在区间（－2，3）上是增函数，则y=f（x＋5）的递增区间是（）

A．（3，8）B．（－7，－2）

C．（－2，3）D．（0，5）

4．函数f（x）=

在区间（－2，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A．（0，

）B．（

，＋∞）

C．（－2，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

5．已知函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]内（）

A．至少有一实根B．至多有一实根

C．没有实根D．必有唯一的实根

6．已知函数f（x）=8＋2x－x2，如果g（x）=f（2－x2），那么函数g（x）（）

A．在区间（－1，0）上是减函数B．在区间（0，1）上是减函数

C．在区间（－2，0）上是增函数D．在区间（0，2）上是增函数

7．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么不等式|f（x＋1）|＜1的解集的补集是（）

A．（－1，2）B．（1，4）

C．（－∞，－1）∪[4，＋∞）D．（－∞，－1）∪[2，＋∞）

8．已知定义域为R的函数f（x）在区间（－∞，5）上单调递减，对任意实数t，都有f（5＋t）＝f（5－t），那么下列式子一定成立的是（）

A．f（－1）＜f（9）＜f（13）B．f（13）＜f（9）＜f（－1）

C．f（9）＜f（－1）＜f（13）D．f（13）＜f（－1）＜f（9）

9．函数

的递增区间依次是（）A．

B．

C．

D

10．已知函数

在区间

上是减函数，则实数

的取值范围是（）

A．a≤3B．a≥－3C．a≤5D．a≥3

11．定义在R上的函数y=f（x）在（－∞，2）上是增函数，且y=f（x＋2）图象的对称轴是x=0，则（）

A．f（－1）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（－1）=f（－3）D．f

（2）＜f（3）

12．函数f（x）=－x3＋1在R上是否具有单调性？

如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？

试证明你的结论．

19．试讨论函数f（x）=

在区间［－1，1］上的单调性．

21．已知f（x）是定义在（－2，2）上的减函数，并且f（m－1）－f（1－2m）＞0，求实数m的取值范围．

22．已知函数f（x）=

，x∈［1，＋∞］

（1）当a=

时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞

，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

1.3.2函数的奇偶性

【知识要点】

1、偶函数定义（关于y轴对称）

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

2、奇函数定义（关于原点对称

.）

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称（这一步很重要）

②确定f（－x）与f（x）的关系；

③作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

【重点】函数的奇偶性的定义

【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式

【习题传递】

一、填空题

1．已知函数f（x）＝1＋

是奇函数，则m的值为________．

2．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－3，则f（－2）＝________.

3．已知函数f（x）＝a－

，若f（x）为奇函数，则a＝________.

4．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋x＋1，求f（x）的解析式．

5．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上满足f（2－x）＝f（2＋x），f（7－x）＝f（7＋x），且在闭区间

[0,7]上只有f

（1）＝f（3）＝0.

（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；

（2）试求方程f（x）＝0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．

第二章基本初等函数

2.1指数函数

2.1.1指数与指数幂的运算

【知识要点】

1、根式的概念：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作

=0.

【注意】

（1）

（2）当n是奇数时，

，当n是偶数时，

2、分数指数幂

（1）正数的正分数指数幂的意义，规定：

（2）正数的正分数指数幂的意义：

（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3、实数指数幂的运算性质

（1）

（2）

（3）

【注意】

在化简过程中，偶数不能轻易约分；如

【重点】分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质

【难点】根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．

2.1.2指数函数及其性质

【知识要点】

1、指数函数的概念

一般地，函数

叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

2、指数函数的图象和性质

0

a>1

图象

性质

定义域R,值域（0，+∞）

（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1

（2）在R上是减函数

（2）在R上是增函数

（3）当x>0时,0

当x<0时,y>1

（3）当x>0时,y>1;

当x<0时,0

图象特征

函数性质

共性

向x轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

函数图象都在x轴上方

函数的值域为R+

图象关于原点和y轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

过定点（0，1）

0

自左向右看，图象逐渐下降

减函数

在第一象限内的图象纵坐标都小于1

当x>0时,0

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

当x<0时,y>1

图象上升趋势是越来越缓

函数值开始减小极快，

到了某一值后减小速度较慢；

a>1

自左向右看，图象逐渐上升

增函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

当x>0时,y>1;

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

当x<0时,0

图象上升趋势是越来越陡

函数值开始增长较慢，

到了某一值后增长速度极快；

【重点】指数函数的的概念和性质．

【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

2.2对数函数

2.2.1对数与对数运算

【知识要点】

1、对数的概念

一般地，如果

，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：

（a—底数，N—真数，

—对数式）

【注意】

（1）注意底数的限制，a>0且a≠1；

（2）真数N>0；

（3）注意对数的书写格式．

2、两个重要对数

（1）常用对数：

以10为底的对数,

；

（2）自然对数：

以无理数e为底的对数的对数,

．

3、对数式与指数式的互化

对数式指数式

对数底数←a→幂底数

对数←x→指数

真数←N→幂

【结论】

（1）负数和零没有对数

（2）logaa=1,loga1=0，特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0

（3）对数恒等式：

4、如果a>0，a1，M>0，N>0有

（1）

两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和

（1）

两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

（3）

一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

【说明】

（1）简易语言表达:

”积的对数=对数的和”……

（2）有时可逆向运用公式

（3）真数的取值必须是（0,＋∞）

（4）特别注意：

5、换底公式

利用换底公式推导下面的结论

①

②

③

【重点】对数的概念，对数式与指数式的相互转化

【难点】对数概念的理解，换底公式的应用

2.2.2对数函数及其性质

【知识要点】

1、对数函数的概念

函数

（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

【注意】

（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：

，

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

（2）对数函数对底数的限制：

a>0，且a≠1

2、对数函数的图像与性质

对数函数

（a>0，且a≠1）

0＜a＜1

a＞1

图像

性质

定义域：

（0，＋∞）值域：

R

过点（1,0）,即当x＝1时,y＝0

在（0,+∞）上是减函数

在（0,+∞）上是增函数

当x>1时，y<0

当x=1时，y=0

当00

当x>1时，y>0

当x=1时，y=0

当0

【重要结论】

在logab中，当a,b同在（0,1）或（1,+∞）内时，有logab>0;

当a,b不同在（0,1）内，或不同在（1,+∞）内时,有logab<0.

【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）.

（其中，底指底数，真指真数，大于0指logab的值）3、如图，底数a对函数

的影响.

规律：

底大枝头低,头低尾巴翘

4考点

Ⅰ、logab,当a,b在1的同侧时,logab>0；当a,b在1的异侧时,logab<0

Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。

掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用

（1）的知识不能解决的插进1（=logaa）进行传递.

Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性.

Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa，用y=1去截图象得到对应的底数。

Ⅴ、y=ax（a>0且a≠1）与y=logax（a>0且a≠1）互为反函数，图象关于y=x对称。

5比较两个幂的形式的数大小的方法

（1）对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.

（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.

（3）对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.

6比较大小的方法

（1）利用函数单调性（同底数）；

（2）利用中间值（如:

0,1.）；（3）变形后比较；（4）作差比较

【重点】掌握对数函数的图象与性质

【难点】对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用

2.3幂函数

【知识要点】

1、幂函数定义

一般地，形如

的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

2、幂函数性质归纳

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；

（3）α<0时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

【重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质

【难点】画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律

第三章函数的应用

【知识要点】

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：

对于函数y=f（x）,使f（x）=0的实数x叫做函数的零点。

（实质上是函数y=f（x）与x轴交点的横坐标）

2、函数零点的意义：

方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点

3、零点定理：

函数y=f（x）在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f（a）f（b）<0,那么函数y=f（x）在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f（c）=0,此时c也是方程f（x）=0的根。

4、函数零点的求法：

求函数y=f（x）的零点：

（1）（代数法）求方程f（x）=0的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

5、二次函数的零点：

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．

1）△＞0，方程f（x）=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

2）△＝0，方程f（x）=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

3）△＜0，方程f（x）=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

二、二分法

1、概念：

对于在区间[a,b]上连续不断且f（a）f（b）<0的函数y=f（x）,通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

2、用二分法求方程近似解的步骤:

⑴确定区间[a,b],验证f（a）f（b）<0，给定精确度ε；

⑵求区间（a,b）的中点c;

⑶计算f（c）,

①若f（c）=0,则c就是函数的零点；

②若f（a）f（c）<0,则令b=c（此时零点x0∈（a,c））

③若f（c）f（b）<0,则令a=c（此时零点x0∈（c,b））

（4）判断是否达到精确度ε：

即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a（或b）;否则重复⑵~⑷

三、函数的应用：

（1）评价模型：

给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。

（2）几个增长函数模型：

一次函数：

y=ax+b（a>0）

指数函数：

y=ax（a>1）指数型函数：

y=kax（k>0,a>1）

幂函数：

y=xn（n∊N*）对数函数：

y=logax（a>1）

二次函数：

y=ax2+bx+c（a>0）

增长快慢：

V（ax）>V（xn）>V（logax）

解不等式

（1）log2x<2x

（2）log2x

（3）分段函数的应用：

注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。

（4）二次函数模型：

y=ax2+bx+c（a≠0）先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。

（5）数学建模：

（6）一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布

两个根都在（m,n）内

两个有且仅有一个在（m,n）内

x1∈（m,n）x2∈（p,q）

f（m）f（n）<0

两个根都小于K

两个根都大于K

一个根小于K，一个根大于K

f（k）<0

【习题传递】

1、函数y＝x2－2x－3的零点是（　　）

A、1，－3B、3，－1C、1,2D、不存在

2、已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是（　　）

3、f（x）＝x3－3x－3有零点的区间是（　　）

A、（－1,0）B、（0,1）C、（1,2）D、（2,3）

4、某产品的利润

（万元）与产量

（台）之间的函数关系式为

，则利润

取最大值时，产量

等于（　　）

A、10B、20C、30D、40

6、函数

的零点个数为（　　）

A、0B、1C、2D、3

7、已知函数

在区间

上是单调函数，且

，则方程

在区间

内（　　）

A、至少有一实根B、至多有一实根

C、没有实根D、必有唯一实根

8、函数

的图象与函数

的图象的交点个数为（　　）

A、3B、2C、1D、0

9、某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（