老师第2讲相似三角形培优讲义2.docx
《老师第2讲相似三角形培优讲义2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《老师第2讲相似三角形培优讲义2.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
老师第2讲相似三角形培优讲义2
第2讲相似三角形培优讲义
学习重点：
相似三角形综合应用
学习难点：
应用相似三角形性质判定综合证明几何题的方法
学习过程
典型例题
例1.已知：
如图，在△ABC中，∠BAC＝900，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，求证：
∠B＝∠CFD
证明：
∵在Rt△AEC中，AF⊥EC，
∴AC²=CF•CE．【没学射影定理的话也可以根据△ACF∽△ECA得到AC/CE=CF/AC来证】
∵在Rt△ABC中，AD⊥BC，
∴AC²=CD•CB．
∴CF•CE=CD•CB．
∴CF/CB=CD/CE．
∵∠DCF=∠ECB，
∴△DCF∽△ECB．
∴∠B=∠CFD．
例2.已知：
如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：
BE·BA＋CD·CA＝BC2
证明：
∵∠BDC=∠FGB,∠CBD＝∠CBD，∴△BGF∽△BDC
∴BG/BD=BF/BC
∴BF.BD=BG.BC
（1）
∵∠BDC=∠CEA,即∠BEF=∠BDA,∠ABD＝∠ABD，
∴△BEF∽△BDA
∴BF/BA=BE/BD
∴BE.BA=BF.BD
（2）
同理可证，△CFG∽△BCE
∴CF/BC=CG/CE
∴CG.BC=CE.CF.（3）
同理可证△CEA∽△CDF,
∴CE/CD=CA/CF,
∴CE.CF=CD.CA（4）
由
（1）
（2）得:
BE.BA=BG.BC（5）
∵BG=BC-CG
∴BE.BA=BC²-CG.BC（6）
由（3）（5）两式得：
BE.BA=BC²-CE.CF
由（4）（6）两式得：
BE.BA=BC²-CD.CA
∴BE.BA+CD.CA=BC²
例3、如图，在平面直角坐标系中，点
，点
分别在
轴，
轴的正半轴上，且满足
．
（1）求点
，点
的坐标．
（2）若点
从
点出发，以每秒1个单位的速度沿射线
运动，连结
．设
的面积为
，点
的运动时间为
秒，求
与
的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在
（2）的条件下，是否存在点
，使以点
为顶点的三角形与
相似？
若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由
解：
（1）∵∴OB2-3=0，OA-1=0．
∴OB=，OA=1．
点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，∴A（1，0），B（0， ）．
（2）由
（1），得AC=4，=12+（）2=2，=（）2+（3）2=2，
∴AB2+BC2=22+（2 ）2=16=AC2．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．
设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=，
∴S=S△ABC-S△APC=×4×-×4×=2-t（0≤t＜23）．
（3）P（-3,0）,（-1,）,（1,）,（3,）
例4、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥BO交BC边于点E．
（1）求证：
△ABF∽△COE；
（2）当O为AC边中点，
时，如图2，求
的值；
（3）当O为AC边中点，
时，请直接写出
的值．
解：
（1）∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°
∵∠BAC=90°∴∠BAF=∠C．∵OE⊥OB，∠BOA+∠COE=90°，∴∠BOA+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠COE∴△ABF∽△COE．
（2）作OG⊥AC，交AD的延长线于G，
∵AC=2AB，O是AC边的中点，∴AB=OC=OA．由
（1）有△ABF∽△COE,∴△ABF≌△COE.
∴BF=OE，∠BAD+∠DAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，∴∠DAC=∠ABD．
又∠BAC=∠AOG=90°，AB=OA，△ABC≌△OAG.∴OG=AC=2AB，
∵OG⊥OA，∴△ABC≌△OAG.∴OC=AC=2AB，
∵OG⊥OA∴AB∥OG
∴△ABF∽△GOF，
∴
（3）．
例5、如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是DC中点，点F在BC边上，且CF=1，在△AEF中作正方形A1B1C1D1，使边A1B1在AF上，其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上．
（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：
2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；
（2）求AF的长及正方形A1B1C1D1的边长；
（3）在
（2）的条件下，取出△AEF，将△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠，求小正方形A1B1C1D1未被两个折叠三角覆盖的四边形面积．
解：
（1）Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA1D1、
Rt△ED1C1、Rt△C1B1F．（写出其中三个即可）
（2）AF==5
过E作EM⊥AF，垂足为M，交D1C1于N，则
∵AD=4，DE=EC=2，CF=1，
∴EF=，AE==2，
∵EM×AF=AE×EF=2S△AEF，即5EM=×2，
∴EM=2，
∵四边形A1B1C1D1是正方形
∴D1C1∥AF
∴△D1C1E∽△AFE
∴
设正方形A1B1C1D1的边长为x，则
解得x=
∴正方形A1B1C1D1的边长为．
（3）∵D1C1=，EN=2-=
∴S△D1EC1=××=
∴=，C1B1=
∴B1F=
∴S△C1B1F1=××=
∵∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°
∴∠3=∠4
∴E1点在C1F1上
又∵=（）2=
∴S未被覆盖四边形=--=．
例6、如图，在边长为8厘米的正方形ABCD内，贴上一个边长为4厘米的正方形AEFG，正方形ABCD未被盖住的部分为多边形EBCDGF．动点P从点B出发，沿B?
C?
D方向以1厘米/秒速度运动，到点D停止，连接PA，PE．设点P运动x秒后，△APE与多边形EBCDGF重叠部分的面积为y厘米2．
（1）当x=5时，求y的值；
（2）当x=10时，求y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式；
（4）在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．
解：
设AP与EF（或GF）交于点Q．
（1）在正方形ABCD和正方形AEFG中，E为AB中点，
∴EQ∥BP，即EQ为△ABP的中位线．
当x=5时，PB=5，∴QE=PB=，
∵BE=4，
∴y=EQ•EB=×4=5．
（2）当x=10时，如图2，PD=6，GQ=3，QF=FG-GQ=1，AE=4．
∴S梯形AQFE=×4=10．
S△PAE=AE•BC=×4×8=16，
∴y=S△PAE-S梯形AQFE=16-10=6．
（3）当0≤x≤8时，y=x；
当8≤x≤12时，y=-x+16；
当12≤x≤16时，y=4．
（4）图象如下：
分析：
（1）由于图1中的重叠部分为△PQE，
∴y=S△PQE=12EQ•EB．
（2）图2中的重叠部分y=S△PAE-S梯形QFEA．
（3）由题意知y与x之间的函数关系式写为0≤x≤8，8≤x≤12，12≤x≤16三段分别求解．
（4）根据题意直接作图即可．
点评：
此题是一个动点问题，考查正方形的性质，中位线的性质及图形面积的求法．作为压轴题，综合了初中阶段的重点知识，能够培养同学们综合运用知识的能力．
目标训练
一、选择题：
1、如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60°,且点A坐标为（-2,0）,点B在x轴上方,设AB=a,那么点B的横坐标为（D）
A、2-
B、2+
C、-2-
D、-2+
分析：
本题本题可先根据三角函数求出AC和BC的值，由此即可得出B点的坐标．
解：
∵∠BAC=60°，∠BCA=90°，AB=a，
则AC=AB×cos60°=a，BC=AB×sin60°=a，
∴点B的横坐标为a-2，纵坐标为a．
故选D．
2、如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：
求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；
解：
设正方形的ABCD的边长为a，
则BF=BC=，AN=NM=MC=a，
∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，
∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．
3、如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：
FC=（ ）
A．
1：
4
B．
1：
3
C．
2：
3
D．
1：
2
分析：
首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：
AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：
FC的值．
解：
在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：
EB=1：
3，∴DF：
AB=1：
3，
∵DC=AB，∴DF：
DC=1：
3，∴DF：
FC=1：
2．
故选D．
4、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）.B
A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D.有无数个
解：
当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为
，故x的值可以为5或
.两种情况。
5、如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：
①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断④正确．
解：
①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=BC，PN=BC，
∴PM=PN，正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴ ，正确；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；
④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN=PB=PC，正确．故选D
6、如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：
①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
分析：
根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；
如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；
先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；
先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定④正确．
解：
①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．
在△AED与△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．
∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，
∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，
∴∠BAE与∠CAD不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；
③∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD与△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，
由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，③正确；
④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，
∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，
∵BF=DC，EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，④正确．
所以正确的结论有①③④．
故选C．
二、填空题：
1、如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ∠ACD=∠ABC（答案不唯一） ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
分析：
相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：
三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
③两角法：
有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
解答：
解：
由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：
∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可为：
∠ACD=∠ABC．
2、将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
分析：
由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：
，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．
解答：
解：
∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC，
∵在RtACD中，∠D=30°，
∴CD==AC，
∴==．
故答案为：
．
3、如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为 16 ．
分析:
根据题意可判定△AEF∽△ABC，利用面积比等于相似比平方可得出△ABC的面积，继而根据S四边形EBCF=S△ABC﹣S△AEF，即可得出答案．
解：
∵，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=（）2=（）2=，
∴S△ABC=18，
则S四边形EBCF=S△ABC﹣S△AEF=18﹣2=16．
故答案为：
16．
4、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 7 ．
分析：
先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
则=，即=，
解得：
CE=2，
故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．故答案为：
7
三、解答题：
1.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。
如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
分析：
（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，建立等量关系，
，即
时，三角形QAP为等腰三角形；
（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积—三角形QDC的面积—三角形PBC的面积
=
=36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。
（3）显然有两种情况：
△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，
由相似关系得
或
，解之得
或
解：
（1）由题意得t秒时，AP=2tcm，DQ=tcm，
∴AQ=（6-t）cm，
当AP=AQ时，
即2t=6-t，
即t=2，
△QAP为等腰三角形。
（2）∵∠QAP=∠B=90°
∴当时，即
即t=3，△PAQ∽△ABC
或者，当，即
即t=1.2，△QAP∽△ABC
答：
t=3或1.2时，以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似。
2、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：
△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
分析：
（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
解答：
（1）证明：
∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：
∵▱ABCD，∴CD=AB=8．
由
（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE===6．
3、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N。
（1）当AD=CD时，求证：
DE∥AC；
（2）探究：
AD为何值时，△BME与△CNE相似？
（3）探究：
AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等。
解：
（1）∵
∴
∴
又∵DE是∠BDC的平分线
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE
∴DE∥AC。
（2）（i）当时，得
∴BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC，BE=EC
又∠ACB=90°
∴DE∥AC
∴
即
∴AD=5。
（2）当时，得
∴EN∥BD
又∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高
由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC
∴CD=
∴
综上，当AD=5或时，△BME与△CNE相似。
（3）由角平分线性质易得
∵
∴
即
∴EM是BD的垂直平分线
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE
∴∠DBE=∠CDE
又∵∠DCE=∠BCD
∴
∴
∴
即
∵
∴
由①得
∴
∴
4、如图,已知，在△ABC中,BA=BC=20㎝，AC=30㎝,点P从A点出发,沿AB以4㎝/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发,沿CA以3㎝/s的速度向A点运动,设运动时间为x，
（1）当x为何值时,PQ∥BC；
（2）当时,求的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由.（9分）
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质.
（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，
得出比例关系，再根据P、Q的速度，用x表示AP,AQ,然后根据得出的关系式求出x的值
（2）根据相似三角形的性质求解
解：
（1）AP=4x，AQ=AC-CQ=30-3x，
∵PQ∥BC，
∴，
∴，
∴，
即当s时，PQ∥BC。
（2），
∴，
∴，
∴，
又，
∴。
（3）能；
∵∠A=∠C，
∴当时，△APQ与△CQB相似，
①当，
∴；
②当，
即x2+5x-50=0，解得x1=5，x2=-10（舍去），
∴AP=4x=20，
∴当cm或20cm时，△APQ与△CQB相似。
5、如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3㎝，BC=7㎝，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.
（1）求证：
△ABP∽△PCE；
（2）求等腰梯形的腰AB的长；（3）在底边BC上是否存在一点P,使得DE∶EC=5∶3?
如果存在,求出BP的长,如果不存在,请说明理由.
【答案】
（1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；
（2）AB=4cm；（3）BP=1cm或6cm
分析：
（1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；
（2）可过作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值；
（3）在
（2）中求得了AB的长，即可求出DE：
EC=5：
3时，DE、CE的值．设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据
（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长．若方程无解，则说明不存在符合条件的P点．
解：
（1）由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE∴∠EPC=∠BAP∵∠B=∠C∴△ABP∽△PCE；
（2）作AF⊥BC于F，由已知易求得BF=，
在Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2cm，
∴AB=4（cm）；
（3）存在这样的点P
理由：
由DE：
EC=5：
3DE+EC=4，得EC=，
∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∠B=∠APE，
∴∠EPC=∠BAP，
又∠B=∠C
升级会员 