叶片前缘参数的计算方法.docx
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叶片前缘参数的计算方法
题目：
叶片前缘参数的计算方法
【摘要】航空发动机叶片及其截面线可以分为叶盆、叶背、前缘和后缘四个部分，其中前缘的形状对整个叶片的气动性能具有非常重要的作用。
传统的方法是将前缘设计成一段圆弧但是近年来越来越多的实验和数值研究显示，采用非圆弧形前缘，例如椭圆弧形前缘可以明显改善叶片的气动性能。
针对问题1，我们建立了2个模型。
模型
：
分析航天发动机叶片前缘参数，针对问题1中的数据分离，我们可建立模型，先设出椭圆的一般方程，再求解该方程的未知参数，从而可以分离出前缘数据。
模型Ⅱ：
为了求出椭圆弧的中心坐标
、长短半轴a、b，倾角，可以建立一个模型，设出椭圆的标准方程，从而求得叶片重要的前缘参数。
叶片前缘参数的计算方法
1.问题重述
航空发动机叶片及其截面线的形状如图1所示，它可以分为叶盆、叶背、前缘和后缘四个部分，其中前缘的形状对整个叶片的气动性能具有非常重要的作用。
传统的方法是将前缘设计成一段圆弧，则这段圆弧的圆心坐标
和半径（也称前缘半径）r就是重要的前缘参数。
但是近年来越来越多的实验和数值研究显示，采用非圆弧形前缘，例如椭圆弧形前缘可以明显改善叶片的气动性能。
如果是椭圆弧形的前缘，则椭圆弧的中心坐标
、长短半轴a、b，倾角
（椭圆长轴方向与y轴的夹角）就是重要的前缘参数。
图1航空发动机叶片及其截面线
图2.测量得到的截面线前缘附近的离散数据
在某型航空发动机的仿制过程中，如图2所示测量了截面线前缘附近的一组离散数据。
它们的坐标值记录在附件qianyuan_data.txt中,文件中的每一行代表一个数据点的坐标（第一个值为横坐标x，第二个值为纵坐标y）。
由于在测量时前缘数据与相邻的叶盆叶背数据无法直接分离，故其中混有相邻的叶盆叶背数据，请建立数学模型，解决以下问题：
1）根据所给数据，通过计算分离出前缘数据，并判断出前缘的形状是一段圆弧还是一段椭圆弧，计算出相应的前缘参数。
将整个由离散数据出发，经过分离前缘数据、判断前缘类型、计算前缘参数的过程用一个算法描述。
2）评价你所给出模型的精确度和稳定性（指如果给数据添加均值较小的随机扰动，是否还能得到较高的计算结果），给出计算实例。
3）能否对1）中计算前缘参数的方法进行改进提高计算精度，给出具体的方法并比较改进前后的计算结果。
2.模型的假设与符号说明
2.1.模型的假设：
实际测量所得到的前缘附近数据是离散的，在这里设各点的连线是一段
光滑曲线。
2.2.符号说明：
圆心坐标
半径r
A.B.C.D.E.F.分别为椭圆方程的系数；
（
）（i,j=1,2,3………）为测量得到的前缘数据的坐标；
（
）为叶片前缘椭圆弧的中心坐标；
a,b为叶片前缘椭圆弧的长短半轴；
β叶片前缘椭圆长轴方向与y轴方向的夹角。
3.模型的分析
从混有相邻的叶盆和叶背数据中，分离出前缘数据，必须找到只有前缘数据才满足的条件，如方程，将数据逐一代人，条件成立的数据，即为前缘数据，实现前缘数据的筛选。
因为叶片前缘是一段圆弧或椭圆弧，叶片前缘的数据都应满足圆或椭圆的方程，而叶盆叶背的数据则不满足此方程。
就能做出判断数据是否属于叶片前缘。
求出叶片前缘数据所满足的方程是问题的关键。
假设叶片前缘是一段椭圆弧，求出椭圆一般方程需知道圆弧上的5个点的坐标。
要求出椭圆的参数（
）,a,b,β值，须知道椭圆的标准方程，通过建立模型求解。
4.对问题一中模型的建立与计算
4.1模型一的建立：
由于圆是椭圆的特殊情况，所以可以直接设叶片前缘类型为椭圆弧，根据椭圆的一般方程建立模型：
Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0
1如果A=B则前缘类型为圆；
2如果A≠B则前缘类型为椭圆。
4.2.模型一的计算：
第一步：
分析截面线前缘附近数据点，可得到相对准确的6个点在椭圆弧上，分别是：
（-18.9572,-0.241143）,（-18.9982,-0.0403025）,（-19.1117,0.699986）,
（-19.0947,0.886326）,（-18.7235,2.00039）,（-18.6762,2.09696）
代入这6个点坐标，可得一个五元一次线性方程组：
由于线性方程组中常数项全为0，故此方程组为齐次线性方程组，而系数行
的列式为：
由此行列式可由MATLAB软件编程可求得。
由于所求行列式F
0，故次方程组只有零解。
第二步：
为了能求出精确且合理的系数，可设方程组的解F=-K（其中K∈R）.则可得非齐次线性方程：
Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey=K。
则在上述分析所得到的五组数据中任意找5点，即
（-19.1117,0.699986）,（-19.0947,0.886326）,（-18.7235,2.00039）,
（-18.6762,2.09696）,（-18.5912,2.19285）
代入方程：
Ax2+By2+Cxy+Dx+E=K，得到非齐次线性方程组：
由此推出行列式为：
；
常数项行列式：
则GX=H.
该方程的解可由附录1中的程序在MALAB软件上运行求得：
则椭圆的系数为A=-0.0030*k,B=-0.00070442*k,C=-0.00000044023，D=-0.1102，E=0.00061973；
把所求得系数代入方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey=K则可得:
（0.003x2+-0.00070442y2+-0.00000044023xy+-0.1102x+0.00061973y）k=k.
第三步：
由此得k为非0，则:
0.003x2+-0.00070442y2+-0.00000044023xy+-0.1102x+0.00061973y=1.
1要分离出前缘数据，可把数据代入此方程，看是否满足条件:
0.003x2+-0.00070442y2+-0.00000044xy+-0.1102x+0.00061973y-1
0.08
②由附录2中的Ｃ程序可判断分离出的前缘数据如下：
（-11.5725,-8.90186）,（-12.6076,-8.26876）,（-12.8985,-8.08197）,
（-13.257,-7.79105）,（-15.0655,-6.25705）,（-15.7753,-5.50894）,（-15.8267,-5.45908）,（-15.8516,-5.4325）,（-16.0351,-5.21541）,（-16.1321,-5.10414）,（-16.1491,-5.082）,（-16.279,-4.90552）,（-16.7902,-4.22412）,（-17.5836,-3.025）,（-17.6692,-2.89498）,（-17.7415,-2.7646）,（-18.2115,-1.91654）,（-18.8601,-0.48739）,（-18.9239,-0.346534）,（-18.9572,-0.241143）,（-18.9982,-0.0403025）,
（-19.1117,0.699986）,（-19.0947,0.886326）,（-18.7235,2.00039）,
（-18.6762,2.09696）,（-18.5912,2.19285）,（-18.1736,2.65479）,（-17.9496,2.79082）,（-17.6239,2.98724）,（-17.0294,3.14561）,
（-16.8289,3.1809）,（-16.5749,3.15474）,（-16.005,3.11765）,
（-15.6571,3.00622）,（-15.2361,2.8083）,（-14.7976,2.52742）,
（-14.1023,2.09416）,（-13.8554,1.96404）,
4．3模型二的建立。
求椭圆的参数是，必须得知道椭圆的标准方程，因此可以建立模型二，进行求解。
根据模型一求得的椭圆一般方程：
0.003x2+-0.00070442y2+-0.00000044023xy+-0.1102x+0.00061973y=1
可求得具体的参数（
）,a,b,β值。
5.模型的检验
5.1模型的精确度分析与讨论
对建立的模型求解是，我们只是通过分析数据，找了相对比较准确的5组离散数据，带入方程组求得系数A,B,C,D,E,F的解，但由于所测得数为离散的，在选点时必定会有误差，而且在MATLANB软件上所求得数据虽为最精确值，但由于其数字太长，我们只能取其近似值，这必然会带来一定的误差，影响实验的数据。
在分离前缘数据时，我们是通过条件：
0.003x2+-0.00070442y2+-0.00000044xy+-0.1102x+0.00061973y-1
0.08
判断满足条件的前缘数据，而此时的精确度只到0.08，但如果增大其精确度，满足条件的数据自然会减少，缩小精确度，得到的数据太不精确，所以只有取适当的精确度求解。
5.2模型稳定性的分析与讨论
为了判断模型所得结果的稳定性，我们可给数据添加均值较小的随机扰动，方法同模型一中的计算完全一样，通过计算我们可得出较高的计算结果。
6.模型的进一步分析与讨论
为了提高前缘参数的精确度，我们可通过求均值的方法得更准确的值，或通过用最小二乘解求模型的方程。
同理分析得到6组数据，在这6组数据中任选5组代入方程组，有6种选法，这6种方法可求的6组不同的A,B,C,D,E.通过计算求得其平均值。
附录1：
>>symsk;A=sym（[18.9572*18.95720.241143*0.24114318.9572*（-0.241143）-18.9572-0.241143;18.9982*18.99820.0403025*0.040302518.9982*（-0.040325）-18.9982-0.0403025;19.1117*19.11170.699986*0.69998619.1117*0.699986-19.11170.699986;19.0947*19.09470.886326*0.88632619.0947*0.886326-19.09470.886326;18.7352*18.73522.00039*2.0003918.7352*2.00039-18.73522.00039]）;
>>b=sym（[k;k;k;k;k]）;S1=A\b
S1=
-12457884934994569704339837682389977655797184876973448274173163550589704994816/4612920850217073999545194847482873293009648108934715974226874439622622529411555*k
4893338813900759464044798158947450594910180125564877514414357503617550778368/23064604251085369997725974237414366465048240544673579871134372198113112647057775*k
-9058868471264516166183907064206905717477367760707889551402809253220304551936/23064604251085369997725974237414366465048240544673579871134372198113112647057775*k
-95896617543709461997373961233197247092905580623315169380235174939190729113600/922584170043414799909038969496574658601929621786943194845374887924524505882311*k
166237597510481325726073882207679105295748348585960772515045266181014572498944/23064604251085369997725974237414366465048240544673579871134372198113112647057775*k
>>
A=-3778757783856903549813267269670708909980122050845674141445981894439059062784/1246901979384165204478790426424578415715634048871183618898565875274408901382079
A=-0.0030
>>
B=-878336522276960353681668402845807090680165106432104152002379575444690173952/1246901979384165204478790426424578415715634048871183618898565875274408901382079
B=-7.0442e-004
>>
C=-548927144593865254706058540533394401441932229521806274722588633897893888/1246901979384165204478790426424578415715634048871183618898565875274408901382079
C=-4.4023e-007
>>
D=-137********5195794012784835013500721489179151363177007208220611217949982720000/1246901979384165204478790426424578415715634048871183618898565875274408901382079
D=-0.1102
>>
E=772736511852017301233374371016062651605511643432581891540135928922112000000/1246901979384165204478790426424578415715634048871183618898565875274408901382079
E=6.1973e-004
附录2：
#include
#include
main（）
{
doublea[58][2]={{-6.53163,-10.4501},{-7.32463,-10.3246},{-8.09575,-10.2018},
{-8.19995,-10.1822},{-9.63034,-9.75588},{-10.1825,-9.55725},
{-10.61,-9.35925},{-11.5725,-8.90186},{-12.6076,-8.26876},
{-12.8985,-8.08197},{-13.257,-7.79105},{-15.0655,-6.25705},
{-15.7753,-5.50894},{-15.8267,-5.45908},{-15.8516,-5.4325},
{-16.0351,-5.21541},{-16.1321,-5.10414},{-16.1491,-5.082},
{-16.279,-4.90552},{-16.7902,-4.22412},{-17.5836,-3.025},
{-17.6692,-2.89498},{-17.7415,-2.7646},{-18.2115,-1.91654}
{-18.8601,-0.48739},{-18.9239,-0.346534},{-18.9572,-0.241143}
{-18.9982,-0.0403025},{-19.1117,0.699986},{-19.0947,0.886326},
{-18.7235,2.00039},{-18.6762,2.09696},{-18.5912,2.19285},
{-18.1736,2.65479},{-17.9496,2.79082},{-17.6239,2.98724},
{-17.0294,3.14561},{-16.8289,3.1809},{-16.5749,3.15474},
{-16.005,3.11765},{-15.6571,3.00622},{-15.2361,2.8083},{-14.7976,2.52742},{-14.1023,2.09416},{-13.8554,1.96404},{-13.3816,1.74286},{-11.7274,0.883965},{-11.3153,0.737037},{-9.67702,0.282667},{-9.65347,0.275782},{-9.63495,0.272118},
{-9.09549,0.165523},{-8.05064,0.0817958},{-7.58706,0.0411919},{-7.26465,0.0377957},{-6.22285,0.0596912},{-5.39057,0.159466},{-4.98982,0.230775}}；
inti，c=0；
for（i=0；i<58；i++）
if（fabs（a[i][0]*a[i][0]*（-0.003）+a[i][1]*a[i][1]*0.000000704442+a[i][0]*a[i][1]*（-0.00044023）+a[i][0]*（-0.1102）+a[i][1]*（-0.00061973）-1）<=0.01）
{
c++；
printf（"满足的数据：
a1=%lf,a2=%lf\n",a[i][0],a[i][1]）；
}
printf（"总共有个%d数据",c）；
}
附件qianyuan_data.txt
-6.53163-10.4501
-7.32463-10.3246
-8.09575-10.2018
-8.19995-10.1822
-9.63034-9.75588
-10.1825-9.55725
-10.61-9.35925
-11.5725-8.90186
-12.6076-8.26876
-12.8985-8.08197
-13.257-7.79105
-15.0655-6.25705
-15.7753-5.50894
-15.8267-5.45908
-15.8516-5.4325
-16.0351-5.21541
-16.1321-5.10414
-16.1491-5.082
-16.279-4.90552
-16.7902-4.22412
-17.5836-3.025
-17.6692-2.89498
-17.7415-2.7646
-18.2115-1.91654
-18.8601-0.48739
-18.9239-0.346534
-18.9572-0.241143
-18.9982-0.0403025
-19.11170.699986
-19.09470.886326
-18.72352.00039
-18.67622.09696
-18.59122.19285
-18.17362.65479
-17.94962.79082
-17.62392.98724
-17.02943.14561
-16.82893.1809
-16.57493.15474
-16.0053.11765
-15.65713.00622
-15.23612.8083
-14.79762.52742
-14.10232.09416
-13.85541.96404
-13.38161.74286
-11.72740.883965
-11.31530.737037
-9.677020.282667
-9.653470.275782
-9.634950.272118
-9.095490.165523
-8.050640.0817958
-7.587060.0411919
-7.264650.0377957
-6.222850.0596912
-4.989820.230775
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