陈建功 二十世纪的数学教育.docx
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陈建功二十世纪的数学教育
二十世纪的数学教育 [文：
陈建功 来源：
人民教育出版社]
编者按：
我们即将跨入二十一世纪，在未来的新世纪中我国的数学教育必将会呈现新的面貌。
然而新面貌不会自然产生，它需要我们理性的思考和积极的实践。
数学教育改革中，历史的经验值得注意，有识之士的意见是宝贵的。
陈建功先生（1893—1971）是我国现代数学家和数学教育家，中国科学院院士（原学部委员）。
他的《二十世纪的数学教育》一文，发表于1952年2月的《中国数学杂志》（1953年后该杂志改名为《数学通报》）第一卷第二期，当时正是新中国成立初期百废待兴的年代。
在这篇文章中，作者怀着“切望我国的数学教育有更新的革新”的殷切心情，“以中等学校的数学为核心”，对二十世纪数学教育的原则，以及数学教学内容的改革等重要问题，提出颇有见地的意见
在世纪之交，重读陈先生的《二十世纪的数学教育》一文，对于迎接二十一世纪的数学教育十分有益。
此地所说数学教育，以中等学校的数学为核心；关于高等学校方面的数学，和小学校的算术教育，不预备在此地有所详述。
本文说数学教育，以二十世纪的数学教育为主，读了下文，自然明白。
“他山之石，可以攻玉”，把外国的数学教育，罗罗嗦嗦说了许多的话。
笔者切望着我国的数学教育有更一进步的革新。
支配数学教育的目标、材料和方法，有三大原则：
实用性原则数学在日常生活中已见其有其实用价值的；如土地改革运动中的分田量地问题，关于买卖、租税、保险、奖券的计算；酒瓶的容量，箱子的体积，都是数学的应用。
不但如是，数学也是物质支配和社会组织之一武器，对于自然科学、产业技术、社会科学的理解、研究和进展，都是需要数学的。
假如数学没有实用，它就不应该列入于教科之中。
论理的原则然而仅仅乎实用原则，不足以支配整个的数学教育。
数学具有特殊的方法和观念，组成有系统的体系。
数学并不是公式的堆垒，其所用之方法，也具有教育上的价值。
断片的推理，不但见诸任何学科，也可从日常有条理的谈话得之。
但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科。
数学具有这样的教育价值，称之为论理的价值，是为说理的原则。
假如把数学当做图形集成或公式采编看待，忽视其方法和构造，那未，对于自然支配、社会组织，不但不成为一种武器，有时且成为有害的东西──例如将数学机械的乱用，导出不合理的结果。
忽视数学教育论理性的原则，无异于数学教育的自杀。
心理的原则然则上述两原则足够决定数学教育的本质么？
当然还不够条件。
教材的内容，对于学生宜富于兴趣；枯燥无味的东西，决不能充作教材；于是乎有心理的原则。
成人所喜之推理或实用问题，未必为未成年的青年所满足。
法国数学家H·普安格勒（Poincare）曾经说道：
“有某教师在课室中，令学生们笔记‘圆周者，平面上于一定点等距离之点之轨迹也，’忠实的学生，记下来了；顽皮的学生，不但无兴趣去记，甚至写些别的不相干的东西。
事实上，不论那一种学生，都尚未了解圆周为何物。
后来，教师用粉笔作圆于黑板上，全班学生方才明白‘圆周原来是一个圆圈’。
”科学家A·哀思坦（Einstein）也说道：
“学生仅管对于数学以外的事物，具有才能，对于数学可以朦昧无知。
此种实情，其责任恐不能完全归之于学生，甚至可以完全可以归罪于教师。
”吾人应该站在学生的立场；顺应学生的心理发展去教育学生，才能满足他们的真实感。
某些教材,虽然具有高度的实用性价值或高度的论理性价值,假使学生不发生任何真实感,就心理的原则而言,这些教材,简值是没有教育的价值。
三原则之统一上述三原则应该综合统一而不应该对立。
然则统一之关键何在?
是必须先就学生生活的环境中,使其易于接触易于理解且有实用价值的事物出发,以向论理的途径进行。
所以心理性和实用性应该是论理性的向导,选择教材不应该先将实用性和论理性分别采取,然后合拢;这样勉强凑成的教材，是支离破裂的。
把数学的观念和方法运用于实际应用问题时，理论上的疑问,自然油然而生;岂可以预先制成生硬的数学理论,强求适合于实用!
数学和其他的学科,并没有什么大不相同的地方,因为他常常伴着生产力、技术发展开来的。
对于古代数学的发生,恩格斯（Engels）曾经说过:
“季节的知识老早对于农业种族或游牧民族，已经绝对需要。
天文学没有数学的帮助，是无从发展起来的。
所以在这‘古代'，已经有了数学。
农业发达到某阶段，因灌溉法之改进、都市之发达、航海的需要，力学跟着发生，力学没有数学的帮助，无由长足进展。
”此不独在数学的诞生期为然，无论在什么时代，数学常常伴着自然科学技术、社会科学发展而发展。
数学教育家能（Nunn）说的：
“数学的真理具有两面。
其一面的数学真理，向时（间）空（间）的实在世界进展而与之接触。
还有一面的数学真理，在数学的内部，相互对应，保持联系。
数学史就是把这两面真理的不断的发展，叙述其经过情形。
这两面的发展，并非互相独立，此未曾离彼，彼变未曾离此。
今后的数学恐也是这样，两面不曾分道扬镳，各自存在。
所以数学教育，应该使学生认清数学的发展，具有上述两重意义。
数学是物质的征服和社会的组织之一武器，同时是一有秩序的论理体系。
”
统一了上述三原则，以调和的精神，选择教材，决定教法，实践的过程，称之为数学教育。
二十世纪以前的数学教育
数学教育并不是一种幻想，乃是实践。
数学教育是在经济的、社会的、政治的制约下的一种文化形式，自然具有历史性。
就欧洲而言，其在奴隶社会制的古代希腊，支配阶级鄙视实践的计算术，和直觉的实践几何；重视他们所谓“和行动没有关系的真科学”──就是数论──和“抽象的”几何学，岂不是太偏重于论理性！
在中世纪封建社会，教育为个人所支配，数学教育成为宗教的奴隶。
事实上，此时数学教育，偏重于低级的实用性──与生产和科学脱离的宗教上的实用性。
文艺复兴而后，工商业加速度的进展；生产力之发展，促成自然科学的发达，因此发生机械论的唯物论。
所以十七、十八世纪的数学教育，自然强调实用性。
经过法兰西大革命，巴黎成为欧洲文化的中心，因时代的要求，“一般陶冶”的话头，逐渐流行；中等教育不能专为牧师（神学）和律师（法学）的预备教育，重视所谓“一般陶冶”。
其特色是将数学和近世语添入教科之中。
数学占了普遍教育的一科，是从十八世纪开始的，所以严格的说：
数学教育萌芽于十八世纪。
但是，数学教授的内容，大部分是“理论数学”；应用方面的数学，意识的为所排斥。
究其实际，他的内容也是限于希腊时代至十七世纪间的数学；这个状态一直延长到十九世纪之末。
十九世纪的数学，虽然非常进展，然而它并没有促成数学教育的改进，因此，十九世纪的数学教育，和近代的科学（十九世纪的科学），社会的生活，几乎没有关系。
相反地，因入学考试的准则和其他种种考试的准则，数学难题的教授，和脱离实际的理论，成了数学教材的核心。
事实上，当时所采用的几何学课本，就是尤克立特<1>几何原本最初数章；代数学和三角法，是将专门的材料，压缩而成的，太古太多，脱离实际需要。
当时的物理化学等自然科学等教材，已能推陈出新；然而保守的数学，不改旧态。
到了十九世纪之末，近代科学的急速发达和各国产业的进展，经济的、社会的、思想的，给人们的生活状态以重大的变动。
无产阶级的解放运动，从而开始了中等教育的内容，不能不有所更变。
数学教育改造的先声保守的英国，她的几何学教本，一直沿用尤克立特的几何原本。
教师们视“原本”如“圣书”，不硕苟且改变其一字一句；不但学生觉得干燥无味，教师也觉得痛苦非常；改良之声渐起，到了1870，组织了“几何学教授改良协会”
（2），制定几何学要目。
其结果，不过是一种微温的刷新；这也无怪其然，因为他们（协会会员）主张要不失原本精神和体裁，制定原本最初六卷的要目。
他们最大的难题是“如何改造原本第五卷的比例论”──比例论是原本中最壮丽的部分。
尼克宋的“改良尤克立特”（3）一书，在中国颇有流传，就是依“协会”的精神写成的几何学。
此协会到了1897年，改名为“英国数学协会”，以TheMathematicalGazette做他的机关杂志，登载关于教学教育的种种事情。
数学教育彼利运动数学教育改革的首创者，应该说是英国的J.彼利（J.Perry1850—1920）。
彼利幼时做过学徒（1864—68），锻冶工场的工人（1868—70），苦学的当中，曾经旁听汤姆生的讲义（4）。
彼利体验了劳动者的生活，努力于劳动者智识之增进；后来做了伦敦国际理学院力学及数学的教授，于1901年在英国科学协会，作启蒙的改造讲演。
彼利主张的精神，是在数学的实践性，不光是说些教授的技巧。
他对于数学的见解，并不是将抽象的数学理论，如何应用于自然现象或社会现象的说明；相反地，从自然现象或社会现象，由实践发见数学的法则，这是彼利所说的数学。
上述彼利1901的讲演，在数学教育史中，是划时代的。
其讲演纲要及其检讨，可以看彼利所著的书：
DiscussionontheTeachingofMathematics（Macmillan&co.1902）.
彼利的意见，仍对于向来的难题“如何教授几何学？
”集中，其要点如下：
（一）完全脱离尤克立特原本的形态，
（二）极度重视实验几何，
（三）强调几何的实用部分，
（四）注重立体几何，
（五）重视实用的种种测定，
（六）多用格子纸。
这次讲演的结果，自古认为经典的“原本”就因此废除。
这时新型的教科书有
GodfreyandSiddons,ShorterGaomestry（1912）,
GodfreyandSiddons,ElementaryAlgebra（1912）。
彼利在总结小组讨论会的报告，指出了下列几点全体一致的意见：
（一）几何学的实验和实测应该是证明的前提，然而也可以稍稍利用演绎法
完成其说明。
（二）可采用的实验法，应由教师自己决定，随机应变，
（三）小学在算术初步，就应该使用，
（四）式子的数字计算，应该熟练；因此可使学生明了种种记号的意义。
（五）指数法则一经教懂，应该马上授以对数和对数表的用法，
（六）教材的顺序和教法应由教师灵活运用，不可呆板。
法国的学制改革彼利的改革运动，影响及于国际数学教育。
但是，法国
在彼利运动以前，代数与几何，已经有融合教授的倾向，所以受彼利运动的刺激，不太利害。
不但如是，法国十九世纪出版的几何书，如
A．M．Legendre的ElementsdeGeome'tric（其第十二版在1923发行），其内容已经和“原本”大不相同，又如鲁雪（5）和康勃露色（6）合著的初等几何学（7），一直到现在，还不失为一部很好的书。
但是，法国数学教育，并非毫无问题；对于考试制度的预备教育，大有使中等教育专门化的倾向。
彼利讲演的第二年──1902──法国政府将中等教育制度全部革新。
数学教育因此大加改良，将日常生活有关系的部分增多，又将高深的部分平易化，重视直视的几何和函数的概念。
巴黎大学的数学教授E.波赖尔（8），依照这个趣旨，编了一套出色的教科书；算术、代数、几何、三角，都在1903年出版。
波赖尔报告法国中学生用了波赖尔的教科书，兴味大增，成绩极优。
这一套教科书有德文和日文的译本。
德国的新主义数学运动法国1902的学制改革和英国1901彼利时期的讲演，自然冲动了德国学界。
德国的硕学──几何学大家──克来茵（9）不以大学教员不与闻中等教育为然，曾于1904年在自然科学会议席上，作一次讲演表题“对于中学数学和中学物理的注意”。
克来茵又作成文科中学的教授要目，于1904至1905在苟丁根大学作长期的讲演，说明他的课程方案。
这是德国新主义数学的原动力。
德国中学教师，1905年在梅兰（Meran）举行数学物理教授协会，作成教材要目大纲──梅兰要目。
这个梅兰要目，就是以克来茵的方案做骨子的，较诸说克来茵原案，虽然稍为温和，然而比较过去的情形，已经出色，现在将其要点，写在下面：
（一）顺应学生心意自然的发达，排列教材，选取教材；
（二）融合数学诸分科，并且要使和其他科学有密切连系；
（三）不过于重视数学的“形式陶冶”，“应该置重心于应用方面”，养成“用
数学的方法去观察自然现象和社会现象”的能力；
（四）要达到这个目的，必须以“函数观念”和“直观几何”做数学教授的骨子。
依拟这个要目，就有人完成[新主义数学]的教科书：
BehrendsenundGotting,LebuchderMathematiknachModerrenGrundsatzen（Teubner,1908）.
这部书（10）将平面几何学、代数学、三角法、立体几何学、微分和积分、解析几何学、近世几何学，融为一体，呵成一气，以供九年制中学之用。
德国儿童，满九岁入中学，中学的种类有四，五；他的数学时数，大约每周自4时到6时。
普鲁士政府指定五个中学实施梅兰要目，结果非常良好。
美国慕尔（11）的改造论欧洲的数学教育改造运动，对于美国，没有受到强烈的刺激，其原因之一是：
美国学校，老早不用尤克立特的原本，法国的几何教科书，着实通行。
还有一个原因是：
美国的考试制度，比较英国要宽松些，压迫不太历害，对于“考试”制度的斗争也不会激烈。
但是，支加哥大学教授慕尔，对于彼利的主张，不但拥护，并且指出美国的数学教育，大有缺点。
1902年慕尔在美国数学年会，发表他的会长讲演，题目是[数学之基础]，他的后半段是关于数学教育的；他说：
（一）代数、几何、物理，可否不使他们一一孤立，编成“有机的统一”呢？
统一而后，才能使数学物理和日常生活有密切的关系；
（二）三角法、解析几何、微分积分三分科，就其起源说，又就其发展的经路说，都是和具体的现象有密切关系；所以应该把这三科的基本事项组织起来，使他们有密切关系，不应该让他们各自分立门户的；
（三）关于数学物理的教学，都应该采用实验室的方法。
慕尔教授的讲演，对于美国数学教育，有极大的影响；依照
（一）的精神著成的书
Breslich,First—yearMathematics
Breslich,Second—yearMathematics（1906）
Breslich,Third—yearMathematics,
商务印书馆老早有了译本，又
RuggandClark,Fundamentalsofhigh—SchoolMathematics
一书，系1924出版的，也是依照慕尔融合主义写成的。
依
（二）写成的书，也相当多，例如
YoungandMorgan,ElementaryMathematicalAnalysis（Macmillan,1917）。
总结改造运动然则彼利，克来茵，慕尔的数学教育改造运动的基本精神究在何处呢？
基本精神是在教材教法的近代化、心理化；实行数学各科的有机统一；理论和实践的统一。
结局在求数学教育基本三原则的彻底统一。
详见下列诸著作：
J．Perry,TeachingofMathematics;
Klein,VortrageüberdenmathematicschenUnterricht andenhoherenSchulen;
E.H,Moere,OnthefoundationofMathematics,National Councilof
TeachersofMathematics,the 4thyearbook.
彼利的改造论，并非狭义的卑俗的实用主义；此事已述于上文。
慕尔也说：
“数学教育的根本问题是如何融合理论（基本）数学和应用数学，但是不幸得很，在初等数学范围内，还保留着理论和应用的划界分疆”。
改造论者主张自然科学和工程科学中所必需的“高等数学”，应该把他平易化，这似乎有点轻视数学的“形式主义”；然而这是似是而非的见解，因为数学的内容和形式，决不可以分解为二的。
为什么呢？
假如形式可以脱离内容而存在，这就是意味着数学是为形式而形式了。
克来茵说得好；“现在吾人所宜努力的事，并不是追求两极端──形式主义和实利主义──取其一端而舍其他端，乃是融合两者成为一体”。
我们仅仅乎教授这些现实的生活上所要求的数学知识，这不能算尽了数学工作者的职，我们必须生动的指导学生，使学生们能够利用数学知识于现实问题。
要使理论和实践，保持生动的关系，必须从现实自身，由实践学习得数学知识。
彼利说：
“教儿童推理一件事体以前，必先使他实行这件事体，儿童从测量、计算、实验，所得的结果，才能养成他的推动力。
并且因此儿童沾沾自喜他的生动的创造”。
这是彼利实用数学的本质。
彼利著有“初等实用数学”一书：
Elementary Practical Mathematics（1913）,
新宫恒次郎于1929年译成日文，小仑金之助做了一篇序文，序文的未尾说道：
“美国的数学教科书，号称心理的、社会的、实用的、教授法的、最进步的，但是资本主义的和事务式的美国主义的反映，到处找得出。
诸君若要一本具有无产阶级实践性的强有力的数学书，我就推荐这本书。
这本书可能在某些意义上是未成品，但是它期待着有光辉的未来”。
彼利强调“从前的数学教材的排列，‘学者’或许认为是论理的；但是对于儿童，这些东西，完全是非论理的；儿童所能接受的论理，必须通过实验、实测、图解……。
”
分科主义和融合主义从“线”方程，“平方”方程，“立方”方程，和a的平方，a的立方这些用语来看，古时代数和几何未曾分离。
事实上，尤克立特原本十三卷中，有三卷是算术；牛顿全集中的数学和物理融会贯通。
后来许多学者，觉着数学诸分科，各有各的特殊方法，把各科纯论理的展开，颇有兴趣，方司岛说（12）把近世几何学从解析向何学分解出来，是其一例。
数学不光是在学术上分了科，在数学教授上算术、代数学、几何学、三角法、解析几何学，各自陷于孤立的局面。
然而在科学的研究当中，用数学做武器的时候，往往需要各科全般的知识，假如预先有了有机的统一，那就方便多了。
综合的数学，不但可以避免重复，学习既省时间；并且可以使学生明白生动的数学体系。
代数学中不用几何，几何学中不用代数、三角，如是独立门户，究有何益！
然则统一各分科而成综合的数学，应该用什么东西做原则呢？
改造论者，大都用函数的概念做统一的原则。
克来茵说：
“在几何学形式的函数概念（31），是数学教育的魂魄。
”又说：
“以函数概念做中心，将它周围的一切数学教材，有计划的集中，就得着综合的数学。
”现在把克莱茵自己作成的中学课程表的一部分，写在下面，下列三项，是德国儿童十三岁到十四岁（一年间）所应该学习的教材：
（一）直角坐标和简单函数的曲线表示──用格子纸；须注意此种曲线的全程，上坡下坡，围绕的面积等事；
（二）用函数概念做骨子，教授下列诸事项。
──幂及根，一次及二次方程，圆锥曲线的初步，关于圆的计算，三角形的边角关系；
（三）多学实际之例，熟练空间的知识和数学计算。
下列三项，是中学最后一年的教材：
（一）解析的及综合的处理圆锥曲线，并且把他应用到天文学初步；
（二）中学数学全部教材的复习，用曲线或计算解决更难的实际问题；（三）精细回顾数学全系统，并时时加以历史的说明。
国际数学教科调查会数学教育，经彼利、克来茵、慕尔的指导和进步的数学教师的努力，改造运动已成为国际问题。
第四次举国际数学大会（14）于1908年在罗马举行的时候，决定设置国际数学教科调查会，克来茵等三人做常务理事，利用法国的
L‘Enseignementmathematique
做机关杂志。
1912年，国际数学会在英国剑桥大学举行第五次大会，有二十七国的代表，提出各地数学教育状况报告书一百五十种，大部分已印刷发行，成为数学教育史上莫大的文献。
第五次会的会长是克来茵，克来茵的德国报告书
AbhandlungenüberdenmathematischenUntersichtinDentschland,
在150报告书中，最为详细。
调查会的工作因战争而中止。
150份的报告书，不易卒读，叙述他的大纲的，有在150报告书中，最为详细。
调查会的工作因战争而中止。
150份的报告书，不易卒读，叙述他的大纲的，有
Brown,Curriculainmathematics.Acomparisonofcoursesinthe countries,etc.
Archilald,Trainingofteachersofmathematicsforthesecondary schoolsofconntries,etc.
各国数学教育的进展，因国情不同，色彩也不一致；然而改造的基调，可以说是各国完全相同。
自然，改造的实际方案，不能如指导者彼利、克来茵、慕尔所示，一一顺利进行。
这是因为数学教育，以过去的“遗产”做基本；要脱离传统，成新鲜的组织，困难重重。
比方说要把代数和几何融合，也不是容易的事。
第一次大战后的数学教育数学教育，和其他学科的教育一样，是受社会状势的限制的。
因大战而起的经济的、社会的、政治的的激动，直接或间接，对于数学教育，有莫大的影响。
关于第一次大战后，各国数学教育的一般状况的参考资料，有国际数学教科调查会的报告，报告书有英文法文两种：
英文的是
Significantchangesandtrendsintheteachingofmathematicsthrough theworldsince1910（数学教员会1929的年会），法文的载在1929-1933的杂志：
EnseignementMathematique.
大战中以及战后的数学教育，是混乱得很的。
有些国家的教育，停滞不进；有些国家反而后退，“古气”蒸腾；有些国家，因经济的顺调进展，数学教育也得着顺利进行。
先说后退的
意大利意国在战前，也伴着国际改造运动，有进步的倾向。
其后，国家因社会的，经济的不安，酿成法西斯政治。
到了1923年，中等教育的目的和学制，有重大的变更。
规定中等教育“以养成态度为目的”，作为中学教科的全部，法西斯脱所谓在文学的、哲学的、历史的立场──“国粹的”立场（15）──宣告统一了。
这样一来，中等教育不必讲究实用，也不必准备做高等的研究了。
教育的方针既然如是；自然科学和数学的学习和教授时数必然的削减了，详见下表。
初级中学（Ginnasio）
年龄
学年
数学时数
理科时数
11-
一
1
0
12-
二
2
0
13-
三
2
0
14-
四
2
0
15-
五
2
0
高级中学（Liceo）
年龄
学年
数学物理时数（合计）
化学+专物时数（合计）
16-
一
4
3
17-
二
4
2
18-
三
5
3
初级中学入学考试数学科目：
一算术，几何；
高级中学入学考试数学科目：
一代数，几何。
高级中学的毕业考试；数学科目是代数学、几何和三角法。
此外还有高级理科中学，其毕业考试，添加直角坐标和函数与图表，大战前的教材，也有直观的、实验的、实用的部分；1923的学制将这些东西，完全废弃，而变成形式的、抽象的、纯论理的东西了。
意大利的教育部，并不公布中学校的课程要目，全部（中学毕业考试等）都是国家考试；“因国家考试的要目，有严格的规定，从页中学课程跟着考试要目也有一定的内容了。
用极少的时间数，来定数学课程，只有两条路可以走：
第一法：
把数学程度降低。
第二法：
仅言纲领，把他变成骨瘦如柴的东西。
意大利事实上实行了第二法。
但是，以极少的时间简洁的通过数学的全程，不可能和彼利、克来茵的改造论相容。
为什么？
用实验实测来发现新的事实，不但需要时间、并且与”古典的精神“（16）不能一致。
此时几何学家旁
升级会员 