用一元二次方程解决实际问题强化训练.docx
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用一元二次方程解决实际问题强化训练
用一元二次方程解决实际问题（强化训练）
1．（2008•义乌市）义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆．己知2005年底全市汽车拥有量为72983辆．请解答如下问题：
（1）2005年底至2007年底我市汽车拥有量的年平均增长率？
（结果精确到0.1%）
（2）为保护城市环境，要求我市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？
（假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位）
2．（2008•新疆）如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．
3．（2008•厦门）某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：
p=100﹣2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？
每天要售出这种商品多少件？
4．（2008•潍坊）一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本．据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y，写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元；
（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和．
5．（2008•十堰）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．
（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？
6．（2008•庆阳）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
7．（2008•宁波）2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥﹣﹣杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与
（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：
一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
8．（2008•南通）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入800万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1800万元．
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
9．（2008•南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：
1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
10．（2013•衢州）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
11．（2008•旅顺口区）红星超市07年十月份的营业额为4万元，第四季度的总营业额是13.24万元，求十一、十二月份平均每月增长的百分率．
12．（2008•贵阳）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
13．（2008•大连）如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．
14．（2008•临夏州）如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．
15．（2007•咸宁）某单位于“三•八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游．下面是邻队与旅行社导游收费标准的一段对话：
邻队：
组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？
导游：
如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
邻队：
超过25人怎样优惠呢？
导游：
如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．
该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？
16．（2007•太原）市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调一些药品的价格．某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒．假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率．
17．（2007•青海）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
18．（2007•南京）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．
19．（2007•南充）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．
20．（2007•眉山）黄金周长假推动了旅游经济的发展．下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图．
（1）根据图中提供的信息，请你写出两条结论；
（2）根据图中数据，求2002年至2004年的“十•一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率．（精确到0.1）
21．（2007•龙岩）“便民”水泥代销点销售某种水泥，每吨进价为250元．如果每吨销售价定为290元时，平均每天可售出16吨．
（1）若代销点采取降低促销的方式，试建立每吨的销售利润y（元）与每吨降低x（元）之间的函数关系式．
（2）若每吨售价每降低5元，则平均每天能多售出4吨．问：
每吨水泥的实际售价定为多少元时，每天的销售利润平均可达720元．
22．（2007•临汾）某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），求彩纸的宽度．
23．（2007•淮安）在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：
窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．
24．（2007•呼伦贝尔）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
25．（2007•白银）市人民政府为了解决群众看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品，经过连续两次降价后，由每盒200元调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
26．（2007•安徽）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取
≈1.41）
27．（2006•重庆）机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？
用油的重复利用率是多少？
28．（2006•中山）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
29．（2006•湛江）近年来，我市开展以“四通五改六进村”为载体，以生态文明为主要特色的新农村建设活动取得了明显成效．下面是市委领导和市民的一段对话，请你根据对话内容，替市领导回答市民提出的问题．（结果精确到0.1%）．
用一元二次方程解决实际问题
参考答案与试题解析
解答题
121．（2008•义乌市）义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆．己知2005年底全市汽车拥有量为72983辆．请解答如下问题：
（1）2005年底至2007年底我市汽车拥有量的年平均增长率？
（结果精确到0.1%）
（2）为保护城市环境，要求我市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？
（假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位）
考点：
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
专题：
增长率问题．
分析：
（1）本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．结合到本题中a就是05年的汽车拥有量，b就是07年的汽车拥有量．进而可通过方程求出x的值．
（2）可依据“2009年底汽车拥有量不超过158000辆”来列不等式求解，即07年的汽车拥有量×（1﹣4%）+新增的汽车数量=08年的汽车拥有量，然后仿照上面的等量关系用08年的汽车拥有量表示出09年的汽车拥有量，然后根据题中给出的关键语来列出不等式，即可求出每年新增的汽车数量的最大值．
解答：
解：
（1）设年平均增长率为x，根据题意得
72983（1+x）2=114508
解得x1≈0.2526，x2≈﹣2.2526（不合题意，舍去）
答：
所求的年平均增长率约为25.3%．
（2）设每年新增汽车数量为y辆，根据题意得
[114508（1﹣4%）+y]（1﹣4%）+y≤158000
解得y≤26770.12
答：
每年新增汽车最多不超过26770辆．
点评：
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程或不等式，再求解．
122．（2008•新疆）如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．
考点：
一元二次方程的应用；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
本题可分别用未知数表示出两人的路程，再根据勾股定理列出方程求出未知数的值．
解答：
解：
设经过x秒时两人相距85m，
根据题意得（4x）2+（50+3x）2=852，
去括号得25x2+300x=4725，
即25x2+300x﹣4725=0，
化简得x2+12x﹣189=0，
∴（x﹣9）（x+21）=0，
解得x1=9，x2=﹣21（不符合实际情况，舍去），
当x=9时，4x=36，50+3x=77．
∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处．
故当两人相距85米时，甲在O点以东36米处，乙在O点以北77米处．
点评：
本题综合考查了方向角，一元二次方程的应用和勾股定理等知识点．要注意的是方向角问题中，南北和西东是垂直的．
123．（2008•厦门）某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：
p=100﹣2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？
每天要售出这种商品多少件？
考点：
一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题：
销售问题．
分析：
本题的等量关系是每件商品的利润×每天的销售量=每天的总利润．依据这个等量关系可求出商品的售价，然后代入p与x的关系式中求出p的值．
解答：
解：
设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件．
根据题意得：
（x﹣30）（100﹣2x）=200，
整理得：
x2﹣80x+1600=0，
∴（x﹣40）2=0，
∴x1=x2=40
∴p=100﹣2x=20；
故，每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件．
点评：
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
124．（2008•潍坊）一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本．据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y，写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元；
（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和．
考点：
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专题：
销售问题；压轴题．
分析：
（1）因为使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90，所以y=xw=x（10x+90）；要求前几个月的利润和=700万元，可令y=700，利用方程即可解决问题；
（2）因为原来每月利润为120万元，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等，所以有y=120x，解之即可求出答案；
（3）因为使用回收净化设备后第一、二年的利润=12×（10×12+90），求出它们的和即可．
解答：
解：
（1）y=xw=x（10x+90）=10x2+90x，
10x2+90x=700，
解得：
x1=5或x2=﹣14（不合题意，舍去），
答：
前5个月的利润和等于700万元；
（2）10x2+90x=120x，
解得：
x1=3，x2=0（不合题意，舍去），
答：
当x为3时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）第一年全年的利润是：
12（10×12+90）=2520（万元），
前11个月的总利润是：
11（10×11+90）=2200（万元），
∴第12月的利润是2520﹣2200=320（万元），
第二年的利润总和是12×320=3840（万元），
2520+3840=6360（万元）．
答：
使用回收净化设备后两年的利润总和是6360万元．
点评：
本题需正确理解题意，找出数量关系，列出函数关系式进一步求解．
125．（2008•十堰）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．
（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？
考点：
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专题：
几何图形问题．
分析：
（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为
（80﹣x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．
（2）假使矩形面积为810，则x无实数根，所以不能围成矩形场地．
解答：
解：
（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为
（80﹣x）米（1分）．
（说明：
AD的表达式不写不扣分）．
依题意，得x•
（80﹣x）=750（2分）．
即，x2﹣80x+1500=0，
解此方程，得x1=30，x2=50（3分）．
∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去（4分）．
当x=30时，
（80﹣x）=
×（80﹣30）=25，
所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2（5分）．
（2）不能．
因为由x•
（80﹣x）=810得x2﹣80x+1620=0（6分）．
又∵b2﹣4ac=（﹣80）2﹣4×1×1620=﹣80＜0，
∴上述方程没有实数根（7分）．
因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2（8分）．
说明：
如果未知数的设法不同，或用二次函数的知识解答，只要过程及结果正确，请参照给分．
点评：
此题不仅是一道实际问题，而且结合了矩形的性质，解答此题要注意以下问题：
（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；
（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．
126．（2008•庆阳）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
考点：
一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题；压轴题．
分析：
本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米，根据刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案．
解答：
解：
设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米．
依题意，有x（x+2）×1=15．整理，得x2+2x﹣15=0，
解得x1=﹣5（舍去），x2=3，
所以这种运动箱底部长为5米，宽为3米．
由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为
（5+2）×（3+2）=35
所以做一个这样的运动箱要花35×20=700（元）．
点评：
题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积．
127．（2008•宁波）2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥﹣﹣杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与
（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：
一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
考点：
一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
专题：
行程问题；经济问题；压轴题．
分析：
（1）设路程，根据速度不变列方程求解；
（2）结合
（1）中的结果，列算式运输费用=运输成本+时间成本求解；
（3）设这批货物有y车．根据总费用=运到宁波港的费用+再运到B地的费用列方程求解．
解答：
解：
（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x千米，
由题意得
，
解得x=180．
∴A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．
（2）1.8×180+28×2=380（元），
∴该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元．
（3）设这批货物有y车，
由题意得y[800﹣20×（y﹣1）]+380y=8320，
整理得y2﹣60y+416=0，
解得y1=8，y2=52（不合题意，舍去），
∴这批货物有8车．
点评：
此题要正确理解题意．题目所给信息较多，要从冗长的题目中找到所需条件，特别是第三问中，总费用包括运到宁波港的费用和从宁波港运到B地的费用之和．
128．（2008•南通）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入800万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1800万元．
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
考点：
一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题：
增长率问题；工程问题．
分析：
（1）本题可设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，因为2008年投入800万元，2010年投资1800万元，所以可列方程800（1+x）2=1800，解之即可求出答案；
（2）因为2008年投资800万元，2009年投资800（1+x）万元，2010年投资1800万元，求出三者
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