321 复数代数形式的加减运算及其几何意义62.docx
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321复数代数形式的加减运算及其几何意义62
※高二文科班数学课堂学习单62※12-24
班级姓名小组
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
一，学习目标:
1、掌握复数加减的运算方法2、掌握复数加减运算的几何意义
二，自学导航：
p56-p57
问题一：
计算：
（1）（1＋2i）＋（－2＋i）＋（－2－i）＋（1－2i）；
（2）（i2＋i）＋|i|＋（1＋i）．（3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i（a，b∈R）．
小结：
对复数进行加减运算时，要先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行
问题二，平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.
（1）求
表示的复数；
（2）求
表示的复数；（3）求B点对应的复数．
小结：
（1）根据复数的几何意义可知：
复数的加减运算可以转化为向量的坐标运算．
（2）复数的加减运算用向量进行时，它们同时满足平行四边形法则和三角形法则．
（3）复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．
问题三已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
小结:
（1）|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，
（2）|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
4，我生成的问题：
三，我的收获：
本节课的知识结构、学到的方法、易错点
四，课堂检测：
1．复数（1－i）－（2＋i）＋3i等于（ ）
A．－1＋i B．1－iC．iD．－i
2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z（ ）
A．在实轴上B．在虚轴上C．在第一象限D．在第二象限
4．在复平面内，O是原点，
对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么BC―→对应的复数为________．
5．复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量
，O为坐标原点，则|
|＝_____.
6．计算
（2）（－3＋2i）－（4－5i）；（3）（10－9i）＋（－8＋7i）－（3＋3i）；
（4）（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－（4－5i）＋…＋（2011－2012i）－（2012－2013i）．
五，作业
1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为（ ）
A．－4＋20i B．－2＋10iC．－8＋20iD．－2＋20i
2．z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则
对应的复数为（ ）
A．－8＋6iB．8－6iC．8＋6iD．－2－2i
3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
4．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋（1－i）在复平面内的对应点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．设纯虚数z满足|z－1－i|＝3，则z＝________.
6．设f（z）＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f（z1－z2）＝________.
7．已知复数z＝x＋yi（x，y∈R），且|z－2|＝
，则
的最大值为________．
8．已知|z|＝2，|z＋2|＝2，则z＝________.
9．已知z1＝（3x＋y）＋（y－4x）i，z2＝（4y－2x）－（5x＋3y）i（x，y∈R），若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
10．在平行四边形ABCD中，已知
对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
※高二文科班数学课堂学习单62※
班级姓名小组
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
.
一，学习目标:
2、2、
二，自学导航：
p-p
问题一：
计算：
（1）（1＋2i）＋（－2＋i）＋（－2－i）＋（1－2i）；
（2）（i2＋i）＋|i|＋（1＋i）．（3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i（a，b∈R）．
[自主解答]
（1）原式＝（－1＋3i）＋（－2－i）＋（1－2i）
＝（－3＋2i）＋（1－2i）＝－2.
（2）原式＝（－1＋i）＋
＋（1＋i）
＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.
（3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i
＝（a－2a）＋[b－（－3b）－3]i
＝－a＋（4b－3）i.
小结：
对复数进行加减运算时，要先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行
问题二，平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.
（1）求
表示的复数；
（2）求
表示的复数；
（3）求B点对应的复数．
[自主解答]
（1）∵
，
∴
表示的复数为－（3＋2i），即－3－2i.
（2）∵
，
即B点对应的复数为1＋6i.
小结：
（1）根据复数的几何意义可知：
复数的加减运算可以转化为向量的坐标运算．
（2）复数的加减运算用向量进行时，它们同时满足平行四边形法则和三角形法则．
（3）复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．
问题三已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
[自主解答]
由于|z＋3－4i|＝|z－（－3＋4i）|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C（－3,4）为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.
小结:
（1）|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
（2）|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
4，我生成的问题：
三，我的收获：
本节课的知识结构、学到的方法、易错点
四，课堂检测：
1．复数（1－i）－（2＋i）＋3i等于（ ）
A．－1＋i B．1－iC．iD．－i
解析：
（1－i）－（2＋i）＋3i
＝（1－2）＋（－1－1＋3）i＝－1＋i.
答案：
A
2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
∵z＝z2－z1＝1＋5i－（3＋i）
＝（1－3）＋（5－1）i＝－2＋4i.
答案：
B
3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z（ ）
A．在实轴上B．在虚轴上
C．在第一象限D．在第二象限
解析：
设z＝x＋yi（x，y∈R），
由|z－1|＝|z＋1|得（x－1）2＋y2＝（x＋1）2＋y2，
化简得：
x＝0.
答案：
B
4．在复平面内，O是原点，
对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么BC―→对应的复数为________．
解析：
∵
，
∴
对应的复数为
－[－2＋i－（3＋2i）＋（1＋5i）]
＝－[（－2－3＋1）＋（1－2＋5）i]
＝－（－4＋4i）＝4－4i.
答案：
4－4i
5．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量
，其中O为坐标原点，则|
|＝________.
答案：
2
6．计算
（1）（13－5i）＋（－3＋4i）；
（2）（－3＋2i）－（4－5i）；
（3）（10－9i）＋（－8＋7i）－（3＋3i）；
（4）（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－（4－5i）＋…＋（2011－2012i）－（2012－2013i）．
解：
（1）（13－5i）＋（－3＋4i）＝（13－3）＋（－5＋4）i＝10－i；
（2）（－3＋2i）－（4－5i）＝（－3－4）＋（2＋5）i＝－7＋7i；
（3）（10－9i）＋（－8＋7i）－（3＋3i）＝（10－8－3）＋（－9＋7－3）i＝－1－5i；
（4）原式＝（1－2＋3－4＋…＋2011－2012）＋（－2＋3－4＋5－…－2012＋2013）i＝－1006＋1006i.
五，作业
一、选择题
1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为（ ）
A．－4＋20i B．－2＋10iC．－8＋20iD．－2＋20i
解析：
z＝3＋4i－（5－6i）＝（3－5）＋（4＋6）i＝－2＋10i.
答案：
B
2．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则
对应的复数为（ ）
A．－8＋6iB．8－6i
C．8＋6iD．－2－2i
解析：
∵
，
∴
对应的复数为：
z1－z2＝3－4i－（－5＋2i）
＝（3＋5）＋（－4－2）i
＝8－6i.
答案：
B
3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
解析：
根据复数加（减）法的几何意义，知以
为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
答案：
B
4．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋（1－i）在复平面内的对应点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
∵z＝3－4i，
∴z－|z|＋（1－i）＝3－4i－
＋1－i
＝（3－5＋1）＋（－4－1）i＝－1－5i.
答案：
C
二、填空题
5．设纯虚数z满足|z－1－i|＝3，则z＝________.
解析：
∵z为纯虚数，∴设z＝bi（b∈R且b≠0）．
由|z－1－i|＝3得|－1＋（b－1）i|＝3.
∴1＋（b－1）2＝9.∴b－1＝±2
.
∴b＝1±2
.
答案：
（1±2
）i
6．设f（z）＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f（z1－z2）＝________.
解析：
∵f（z）＝z－2i，
∴f（z1－z2）＝z1－z2－2i
＝（3＋4i）－（－2－i）－2i
＝（3＋2）＋（4＋1）i－2i＝5＋3i.
答案：
5＋3i
7．已知复数z＝x＋yi（x，y∈R），且|z－2|＝
，则
的最大值为________．
解析：
|z－2|＝
＝
，
∴（x－2）2＋y2＝3.
由图可知（
）max＝
.
答案：
8．已知|z|＝2，|z＋2|＝2，则z＝________.
解析：
设z＝a＋bi（a，b∈R），
则
解得
∴z＝－1±
i.
答案：
－1±
i
三、解答题
9．已知z1＝（3x＋y）＋（y－4x）i，z2＝（4y－2x）－（5x＋3y）i（x，y∈R），若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解：
z1－z2＝（3x＋y）＋（y－4x）i－[（4y－2x）－（5x＋3y）i]
＝[（3x＋y）－（4y－2x）]＋[（y－4x）＋（5x＋3y）]i
＝（5x－3y）＋（x＋4y）i.
又∵z1－z2＝13－2i，
∴（5x－3y）＋（x＋4y）i＝13－2i.
∴
解得
∴z1＝（3×2－1）＋（－1－4×2）i＝5－9i.
z2＝[4×（－1）－2×2]－[5×2＋3×（－1）]i
＝－8－7i.
10．在平行四边形ABCD中，已知
对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
1．计算：
（1）（1＋2i）＋（3－4i）－（5＋6i）；
1．计算：
（1）（1＋2i）＋（3－4i）－（5＋6i）；
（2）5i－[（3＋4i）－（－1＋3i）]；
解：
（1）（1＋2i）＋（3－4i）－（5＋6i）
＝（4－2i）－（5＋6i）＝－1－8i.
（2）5i－[（3＋4i）－（－1＋3i）]
＝5i－（4＋i）＝－4＋4i.
2．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，向量
对应的复数为1＋2i，向量
对应的复数为3－i，求点C对应的复数．
∴C点对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
3．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．两条直线C．圆D．椭圆
解析：
∵|z－i|＝|3＋4i|＝5，
∴复数z在复平面上对应点的轨迹是以（0,1）为圆心，5为半径的圆．
答案：
C
【解题高手】【多解题】
设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝
，求|z1－z2|.
[解] 法一：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，（a＋c）2＋（b＋d）2＝2，
又由（a＋c）2＋（b＋d）2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，
可得2ac＋2bd＝0.|z1－z2|2＝（a－c）2＋（b－d）2
＝a2＋c2＋b2＋d2－（2ac＋2bd）＝2.∴|z1－z2|＝
.
法二：
作出z1、z2对应的向量
.
∵|z1|＝|z2|＝1，又
不共线（若
共线，则|z1＋z2|＝2或0，与|z1＋z2|＝
矛盾）．
∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．又|z1＋z2|＝
，
∴∠Z1OZ2＝90°，即OZ1ZZ2为正方形，
故|z1－z2|＝
.
1．复数加法与减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，
则z1＋z2＝a＋c＋（b＋d）i，
z1－z2＝a－c＋（b－d）i.
2．复数加法运算的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．
3．复数加减法的几何意义
如图：
设复数z1，z2对应向量分别为
四边形OZ1ZZ2为平行四边形，
则与z1＋z2对应的向量是
，与z1－z2对应的向量是
.
1．在实数范围内a－b>0⇔a>b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2>0⇒z1>z2恒成立呢？
提示：
若z1，z2∈R，则z1－z2>0⇒z1>z2成立．否则z1－z2>0⇒/z1>z2.
如z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1>0，但不能说1＋i大于i.
2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？
提示：
表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．
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