五年级寒假奥数资料.docx
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五年级寒假奥数资料
寒假教材
五年级
基础提高教材
第1讲巧算
（一）………………………2
第2讲巧算
（二）………………………5
第3讲列方程解应用题……………………7
第4讲行程问题
（一）……………………10
第5讲行程问题
（二）…………………………12
第6讲行程问题（三）…………………………15
第7讲多边形的面积………………………18
第8讲植树问题
（一）……………………22
第9讲植树问题
（二）……………………24
第1讲巧算
（一）
德国大教育家高斯（1777-1855）读小学的时候，有一天，老师出了这样一道题：
1+2+3+…+99+100的和是多少？
老师刚把这道题说完，小高斯已迅速、准确地说出了答案5050，这令班上的同学吃惊不已。
原来高斯是用一种巧妙的方法算出这道题的。
后来人们称这种计算方法为“高斯原理”。
同学们一定想提高自己的计算能力，使自己计算时算得又快又巧。
这一讲，我们学习整数的巧算，也就是根据数的点，数的排列规律，巧妙地运用运算定律或性质，使计算简便。
例题与方法
例1．计算（1+3+3+…+1999）-（2+4+6+…+1998）
例2．计算99999×77778+33333×66666
例3．计算654321×123456-654322×123455
例4．计算1234562-1234552
例5．9=3×3，16=4×4，这里“9”和“16”都叫做“完全平方数”。
在前300个自然数中，“完全平方数”的和是多少？
练习与思考
1．计算1+2+3+…+199+200
2．计算100+99-98+97-96+…3-2+1
3．计算1961+1971+1981+1991+2001
4．计算1990-1985+1980-1975+…+20-15+10-5
5．计算999+99+9+9999+99999
6．计算33333×66666
7．计算9999×2222+3333×3334
8．计算1989×1999-1988×2000
9．计算1999+999×999
10．已知数列1，4，7，10，…
（1）这列数的第21项是多少？
（2）118是这列数中的第几个数？
11．在前200个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？
12．计算2974×3026
13．计算202-192+182-172+…+22-12
14．计算1997×19981998-1998×19971997
第2讲巧算
（二）
上一讲我们学习了整数的巧算，这一讲我们学习小数的巧算。
例1．计算578.47-4.62-78.47-3.38
例2．计算0.9999×1.3-0.1111×2.7
例3．计算3.6×31.4+43.9×6.4
例4．7.37×12.5×0.15×16
例5．计算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.99
例6．计算（44332-443.32）÷（88664-886.64）
练习与思考
用简便方法计算下面各题。
1．15.4-2.17-3.83+4.6
2.25.6-（0.23+5.6）-51.7
3.146.95-48.3-6.95-51.7
4.12.5×0.64×2.5
5.36.3×4.5+6.37×45
6.1+0.2+0.3+0.4+0.5+8.9+8.8+8.7+8.6+8.5
7.0.876+0.765+0.654+0.543+0.432
8.36×2.54+1.8×49.2
9.5.76×1.1+57.7×0.89
10.（22944-22.944）÷（45888-45.888）
11.16.15÷1.8+1.85÷1.8
12.（4.8+3.6+2.4+1.2）÷1.8
第3讲列方程解应用题
有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。
此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。
利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。
例1商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5元，布鞋每双5.9元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。
问：
胶鞋有多少双？
分析：
此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。
设胶鞋有x双，则布鞋有（46-x）双。
胶鞋销售收入为7.5x元，布鞋销售收入为5.9（46-x）元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。
解：
设有胶鞋x双，则有布鞋（46-x）双。
7.5x-5.9（46-x）=10
7.5x-271.4+5.9x=10
13.4x=281.4
x=21
答：
胶鞋有21双。
答：
袋中共有74个球。
在例1中，求胶鞋有多少双，我们设胶鞋有x双；在例2中，求袋中共有多少个球，我们设红球有x个，求出红球个数后，再求共有多少个球。
像例1那样，直接设题目所求的未知数为x，即求什么设什么，这种方法叫直接设元法；像例2那样，为解题方便，不直接设题目所求的未知数，而间接设题目中另外一个未知数为x，这种方法叫间接设元法。
具体采用哪种方法，要看哪种方法简便。
在小学阶段，大多数题目可以使用直接设元法。
例3某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2倍，计划修建住宅若干座。
若每座住宅使用红砖80米3，灰砖30米3，那么，红砖缺40米3，灰砖剩40米3。
问：
计划修建住宅多少座？
分析与解一：
用直接设元法。
设计划修建住宅x座，则红砖有（80x-40）米3，灰砖有（30x+40）米3。
根据红砖量是灰砖量的2倍，列出方程
80x-40=（30x+40）×2，
80x-40=60x+80，
20x=120，
x=6（座）。
分析与解二：
用间接设元法。
设有灰砖x米3，则红砖有2x米3。
根据修建住宅的座数，列出方程。
（x-40）×80=（2x+40）×30，
80x-3200=60x+1200，
20x=4400，
x=220（米3）。
由灰砖有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。
同理，也可设有红砖x米3。
留给同学们做练习。
例4教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。
问：
最初有多少个女生？
分析与解：
设最初有x个女生，则男生最初有（x-10）×2个。
根据走了10个女生、9个男生后，女生是男生人数的5倍，可列方程
x-10=[（x-10）×2-9]×5
x-10=（2x-29）×5
x-10=10x-145
9x=135
x=15
例5一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球。
问：
共有多少人参加测验？
分析与解：
设有x人参加测验。
由上表看出，至少投进3个球的有（x-7-5-4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。
投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）
=5+8+6×（x-16）
=6x-83
也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数，
3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1
=3×（x-8）+24+36+10
=3x+46
由此可得方程
6x-83=3x+46
3x=129
x=43
例6甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克。
如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元。
求每人可免费携带的行李重量。
分析与解：
设每人可免费携带x千克行李。
一方面，三人可免费携带3x千克行李，三人携带150千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克应付4÷（150-3x）元；另一方面，一人携带150千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克应付8÷（150-x）元。
根据超重行李每千克应付的钱数，可列方程
4÷（150-3x）=8÷（150-x）
4×（150-x）=8×（150-3x）
600-4x=1200-24x
20x=600
x=30
练习
1.大、小两个水池都未注满水。
若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。
已知大池容积是小池的1.5倍，问：
两池中共有多少吨水？
2.一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。
在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍。
问：
男孩、女孩各有多少人？
3.教室里有若干学生，走了10个女生后，男生人数是女生的1.5倍，又走了10个女生后，男生人数是女生的4倍。
问：
教室里原有多少个学生？
第4讲行程问题
（一）
讨论有关物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题叫做行程应用题。
行程问题的主要数量关系是：
路程=速度×时间
如果用字母s表示路程，t表示时间，v表示速度，那么，上面的数量关系可用字母公式样表示为：
s=vt。
行程问题内容丰富多彩、千变万化。
主要有一个物体的运动和两个或几物体的运动两大类。
两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。
这一讲我们学习一个物体运动的问题的一些简单的相遇问题。
例题与方法
例1．小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分。
如果他往返都坐车，全部行程需30分。
如果他往返都步行，需多少分？
例2．甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。
汽车行驶了一半路程，在中途停留30分。
如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原来的时速加快多少？
例3．一列火车于下午1时30分从甲站开出，每小时行60千米。
1小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，当天下午6时两车相员。
甲、乙两站相距多少千米？
例4．苏步青教授是我国著名的数学家。
一次出国访问，他在电车上碰到了一位外国数学家，这位外国数学家出了一道题目让苏步青做，题目是：
甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。
甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。
甲带着一只狗，狗每小时行10千米。
这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。
这只狗一共走了多少千米？
苏步青略加思索，就把正确答案告诉了这位外国数学家。
小朋友们，你能解答这道题吗？
例5．甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两辆汽车在距中点32千米处相遇。
东、西两地相距多少千米？
练习与思考
1．小王、小李从相距50千米的两地相向而行，小王下午2时出发步行，每小时行4.5千米。
小李下午3时半骑自行车出发，、经过2.5小时两人相遇。
小李骑自行车每小时行多少千米？
2．A、B两地相距60千米。
两辆汽车同时从A地出发前往B地。
甲车比乙车早30分到达B地。
当甲车到达B地时，乙车离B地还有10千米。
甲国君从A地到B地共行了几小时？
3．一辆公共汽车和一辆面包车同时从相距255千米的两地相向而行，公共汽车每小时行33千米，面包车每小时行35千米。
行了几小时后两车相距51千米？
再行几小时两车又相距51千米？
4．甲、乙两人同时从A、B两地相对而行，甲骑车每小时行16千米，乙骑摩托车每小时行65千米。
甲离出发点62.4千米处与乙相遇。
A、B两地相距多少千米？
5．小张的小王同时分别从甲、乙两村出发，相向而行。
步行1小时15分后，小张走了两村间路程的一半还多0.75千米，此时恰好与小王相遇。
小王的速度是每小时3.7千米，小张每小时行多少千米？
6．A、B两地相距20千米，甲、乙两人同时从A地出发去B地。
甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米。
甲在途中停了一段时间修车。
乙到达B地时，甲比乙落后2千米。
甲修车用了多少时间？
第5讲行程问题
（二）
本讲主要讲“相遇问题”。
相遇问题一般是指两个物体从两地出发，相向而行，共同行一段路程，直至相遇，这类应用题的基本数量关系是：
总路程=速度和×相遇时间
这里的“速度和”是指两个物体在单位时间内共同行的路程。
例题与方法
例1．甲、乙两辆汽车同时从东村、西村之间公路的中点向相反方向行驶，6小时后，甲车到达东村，乙车离西村还有42千米。
已知甲车的速度是乙车的2倍。
东、西两村之间的公路长多少千米？
例2．一支1800米长的队伍以每分90米的速度行进，队伍前端的联系员用9分的时间跑到队伍末尾传达命令。
联络员每分跑多少米？
例3．甲、乙两车相距516千米，两车同时从两地出发丰向而行，乙车行驶6小时后停下修理车子，这时两车相距72千米。
甲车保持原速继续前进，经过2小时与乙车相遇。
求乙车的速度。
例4．甲、乙两列车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇。
相遇后两列车继续前进，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地55千米处。
求A、B两会间的路程。
练习与思考
1．甲、乙两人分别从东、西两地同时相向而行。
2小时后两人相距96千米，5小时后两人相距36千米。
东、西两地相距多少千米？
2．甲、乙两人骑车从同一地点向相反方向出发，甲车每小时行13千米，乙车每小时行12千米。
如果甲先行2小时，那么，乙行几小时后两人相距99千米？
3．甲、乙两地相距59千米，汽车行完全程要0.7小时，步行要14小时。
一个人从甲地出发，步行1.5小时后改乘汽车，他到达乙地共要几小时？
4．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行。
甲车每小时行82千米，乙车每小时行72千米，两车在离中点30千米处相遇。
A|B两地相距多少千米？
5．甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行40千米，经过3小时已驶过中点25千米，这时乙车与甲车还相距7千米。
求乙车的速度。
6．甲、乙两车同时同地同向行进，甲车每小时行30千米，乙车每小时行的路程是甲车的1.5倍。
当乙车行到90千米的地方时立即按原路返回，又行了几小时和甲车相遇？
7．两辆汽车从同一地点向相反方向开出，第一辆汽车每小时行48千米，第二辆汽车每小进行52千米。
如果第一辆车先行1.2小时，那么，两辆汽车同时行驶几小时后，它们之间的距离为557.6千米？
8．一架运输机和一架客机同时从某地起飞相背飞行，2.5小时后两机相距3650千米。
已知客机比运输机每小时多飞行100千米，运输机每小时飞行多少千米？
9．A、B两地相距6千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发在两面三刀地间往返行走（到达另一地后就马上返回），在出发40分后两人么一次相遇。
乙到达A地后马上返回，在离A地2千米的地方两面三刀人第二次相遇。
求甲、乙两人的速度。
10．客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米。
两车相遇后又以原速继续前进，客车到达乙地后立即返回，货车到达甲地后也立即返回，两车在距中点108千米处再以、次相遇。
甲、乙两地相距多少千米？
第6讲行程问题（三）
本讲的内容是“追及问题”。
追及问题一般是知两个物体同时运动，经过一定时间，后者追上前者的问题。
追及问题的基本数量关系是：
速度差×追及时间=追及路程
例1中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车由同一个车库出发。
已知道中巴车先开出，30分钟后小轿车顺着中巴车的路线出发，小轿车经过多少时间能追上中巴车？
例2甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米。
途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地。
两地间的路程是多少千米？
例3兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分走90米，妹妹每分走60米。
哥哥到校门口时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行到离学校180米处与妹妹向隅，他们呢家离学校有多远？
例4小华、小丽个小霞三人都要从甲地到乙地，早上6时小华和小丽两人一起从甲地出发一，小华每小时走5千米，小丽每小时走4千米。
小霞上午8时才从甲地出发。
傍晚6时，小华和小霞同到到达乙地。
小霞是在什么时间追上小丽的？
练习与思考
1．哥哥放学回家，以每小时6千米的速度步行，18分后，弟弟也从同一所学校放学回家，弟弟骑自行车以每小时15千米的速度追上哥哥。
经过几分弟弟可以追上哥哥？
2．两辆卡车为王村送化肥，第一辆以每小时30千米的速度由仓库开往王村，第二辆晚开12分，以每小时40千米的速度由仓库开往王村，结果两车同时到达。
仓库到王村的路程有多少千米？
3．好马每天走240里，劣马每分走150里，劣马先走12天，好马几天可以追上劣马？
（我国古代算题）
4．小玲每分行100米，小平每分行80米，两人同时同地背向行了5分后，小玲调转方向去追赶小平。
小玲追上小平时一共行了多少米？
5．一架飞机从甲地飞往乙地，原计划每分飞行9千米，现在按每分12千米的速度飞行，结果比原计划提前半小时到百叶窗。
甲、乙两地相距多少千米？
6．一辆摩托车追前面的汽车，汽车每小时行28千米，摩托车每小时行40千米，摩托车开出4小时后追上汽车。
汽车比摩托车早出发几小时？
（得数保留一位小数）
7．一支队伍长450米，以每秒1。
5米的速度行进。
一个战士因画需从排尾赶到排头，并立即返回排尾。
如果他的速度是每秒3米，那么，这位战士往返共需多少时间？
8．李华以每小时4千米的速度从学校出发步持到20.4千米以外的冬令营报到，半小时后，营地的老师闻讯前往迎接，老师每小时比李华多走1.2千米。
又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到，结果三人同时在途中相遇。
张明骑车每小时行多少千米？
9．甲、乙两人各骑一辆自行车由同一地点出发，到相隔45千米的某地办事。
乙比甲早出发20分，而甲比乙早到45分，甲到达时乙在甲的后面10千米处。
甲每小时行多少千米？
（得数保留整数）
10．玲玲从家到县城上学，她以每分50米的速度走了2分后，发现按个人速度走下去要迟到8分，于是她加快了速度，每分多走10米，结果到学校时，离上课还有5分。
玲玲家到学校的路程是多少米？
第7讲多边形的面积
我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下：
正方形面积=边长×边长=a2，
长方形面积=长×宽=ab，
平行四边形面积=底×高=ah，
圆面积=半径×半径×π=πr2，
扇形面积=半径×半径×π×圆心角的度数÷360°
在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。
在本讲和后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。
例1小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：
组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。
用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。
又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出
大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），
小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。
两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。
102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。
例2如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。
分析与证明：
这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。
我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。
在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。
两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。
例3如左下图所示，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米2，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。
求a+b的长。
分析与解：
a，b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。
连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为a厘米和b厘米（见右上图）。
大三角形的面积与a，b的关系就显露出来了。
根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为 20×a÷2和20×b÷2。
因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有
20×a÷2+20×b÷2=140，
10×（a+b）=140，
a+b=14（厘米）。
在例2、例3中，通过添加辅助线，使图形间的关系更清晰，从而使问题得解。
下面再看一例。
例4如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米2，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。
求三角形DEF的面积。
分析与解：
想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。
连结FB（见右上图）。
因为CA=AF，所以三角形ABC与三角ABF等底等高，面积相等。
因为AB=BD，所以三角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。
由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20（厘米2）。
同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米2。
所以三角形DEF的面积等于20×3+10=70（厘米2）。
例5一个正方形，将它的一边截去15厘米，另一边截去10厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725厘米2，求剩下的长方形的面积。
分析与解：
根据已知条件画出下页左上图，其中甲、乙、丙为截去的部分。
由左上图知，丙是长15厘米、宽10厘米的矩形，面积为15×10=150（厘米2）。
因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长，所以可将两者拼成右上图的矩形。
右上图矩形的宽等于10+15=25（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于
（甲+丙）+（乙+丙）
=甲+乙+丙）+丙
=1725+150
=1875（厘米2）。
所以原正方形的的边长等于1875÷25=75（厘米）。
剩下的长方形的面积等于75×75-1725=3900（厘米2）。
例6有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方
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