函数模型及其应用教案.docx

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函数模型及其应用教案

适用学科

L.—..——一一—.

高中数学

11

适用年级:

高一

11

适用区域

通用

课时时长（分钟）丨2课时

1

知识点

1.几类不同增长的函数模型的特点

2.用已知函数模型解决实际问题

3.建立函数模型解决实际问题

教学目标

1

1•禾U用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幕函数增长差异；结合实例体会直线上i

升、指数爆炸、对数增长等不冋函数类型增长的含义；

2•了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等）|

的实例。

1

教学重点

了解函数模型的广泛应用。

1

教学难点

了解函数模型的广泛应用。

1

【教学建议】

本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程

中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华•本课内容是课本必修1中第三章

的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。

通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及

其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题，函数

模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知

识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成

【知识导图】

教学过程

」、导入

【教学建议】

^态。

导入的方法很多，仅举两种方法：

1情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；

2温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学

生建立知识网络。

提供一个教学设计供讲师参考:

环节

教学内容设计

师生双边互动

r材料：

澳大利亚兔子数“爆炸”

师：

指出：

一般而言，在理想条件「

在教科书第三章的章头图中，有一大群

（食物或养料充足，空间条件充裕，

喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳

气候适宜，没有敌害等）下，种群

大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲

yr宀口■+甘口Hh的丄苗k-P站眩厶“1”

在一疋时期内的增长大致付合J

创

带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧

型曲线；在有限环境（空间有限，

草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断

食物有限，有捕食者存在等）中，

设

增加，不到100年，兔子们占领了整个澳

种群增长到一定程度后不增长，曲

大利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变

线呈“S”型•可用指数函数描述一

情

得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75

个种群的前期增长，用对数函数描

亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降

述后期增长的

境

低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.

组

织探究

例1•假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：

每天回报40兀；

方案二：

第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：

第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

探究：

1）在本例中涉及哪些数量关系？

如何用函数描述这些数量关系？

2）分析解答（略）

3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？

师：

创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强.

生：

阅读题目，理解题意，思考探究问题.

师：

引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述.

生：

观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流.

师：

引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等.

环节

教学内容设计

师生双边互动

组

织探究

4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？

5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？

师：

引导学生利用函数图象分析三种方案的不冋变化趋势.

生：

对三种方案的不冋变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据.

师：

引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.

生：

通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流.

例2.某公司为了实现1000万兀利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：

在销售利润达到10万元时，按销

师：

引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个

售利润进行奖励，且奖金y（单位：

万兀）随销售利润x（单位：

万兀）的增加而增

函数的增长情况.

加但奖金不超过5万兀，同时奖金不超过

生：

进一步体会三种基本函数模型

利润的25%现有三个奖励模型：

在实际中的广泛应用，体会它们的

y=0.25xy=log7x+1

丄苗/半曰增长差异.

y=1.002x.

师：

引导学生分析问题使学生得出：

要对每一个奖励模型的奖金总额是

问：

其中哪个模型能符合公司的要

否超出5万元，以及奖励比例是否

求？

超过25%进行分析，才能做出正确选择.

探究：

1）本例涉及了哪几类函数模型？

本例的实质是什么？

2）你能根据问题中的数据，判定所给

的奖励模型是否符合公司要求吗？

环节

呈现教学材料

师生互动设计

生：

分析数据特点与作用判疋每一

个奖励模型是否符合要求.

组

师：

引导学生利用解析式，结合图

织

3）通过对三个函数模型增长差异的

象，对三个模型的增长情况进行分

比较，写出例2的解答.

析比较，写出完整的解答过程.

探

生：

进一步认识三个函数模型的增

究

长差异，对问题作出具体解答.

探究与发现

幕函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：

你能否仿照前面例题使用的方法，探

索研究幕函数y=xn（n>0）、指数函数

y=ax（a>1）、对数函数

y=logax（a=1）在区间（0,畑）上的增

长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告.

师：

引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析.

生：

仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告.

师：

对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示.

巩固与反思

尝试练习：

1）教材P116练习1、2；

2）教材P119练习.

小结与反思：

通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美.

生：

通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用.

师：

培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美.

二、知识讲解

（考点对实解决题进行抽象题的解题过程际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、

被动关系，并用X、y分别表示问题中的变量；

（2）建立函数模型：

将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；

（3）求解函数模型：

根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解

这些步骤用框图表示：

间的关系，数据的单位等等；

（2）建立函数模型的能力：

关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，

建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函

数的定义域；

（3）求解函数模型的能力：

主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

类型一、用函精图象刻画变化过程

例题1

（1）设甲、乙两地的距离为a（a>0），小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙

地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所

经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为（）

（2）物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种

绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运

输量）逐步提高的是（）

答案与解析

解析

（1）y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A,C;又因为

小王在乙地休息10分钟，故排除B,故选D.

（2）由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.

【总结与反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

（1）构建函数模型法：

当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

（2）验证法：

当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，

结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况

的答案.

例题2I

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价

与上市时间的关系用图2—10中

（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中

（2）的抛物线表示.

图2—10

（1）写出图中

（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）;

写出图中

（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）;

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：

市场售价和种植成本的单位：

元/102,kg,时间单位：

天）

答案与解析

解：

（1）由图

（1）可得市场售价与时间的函数关系为

由图

（2）可得种植成本与时间的函数关系为

f（t）=严-兰200，

、2t—300,200ct兰300;

（t-150）2+100,0WW00.

200

（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）-g（t）,

—-t^-^175,^^<200,

即h（t）“20022

Lt27t-1025,20^J<300.

.20022

得区间［0,200］上的最大值100;

12

当200vt<300时，配方整理得h（t）=—（t—350）2+100，所以，当t=300时，h

200

（t）取得区间（200,300］上的最大值87.5.

综上，由100>87.5可知，h（t）在区间］0,300］上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.

类型二已知函数模型的实际问题

候鸟例题年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞

行速度v（单位：

m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v=a•blog3Q（其中a、b是实数）.据

10

统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速

度为1m/s.

（1）求出a、b的值；

⑵若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

答案与解析

（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有

abg30=0,

10

90

即a+b=0;当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a■blog3=1,整理得a+2b

10

=1.

3+b=0,a=—1,

解方程组彳得*

3+2b=1,b=1.

Q一、Q

⑵由

（1）知，v=—1+log3yo・所以要使飞行速度不低于2m/s,则有v>2,即一1+log3和》2,

Q即log3^>3,解得Q>270.

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位.

【总结与反思】求解所给函数模型解决实际问题的关注点

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

⑶利用该模型求解实际问题.

类型三构造函数模型的实际问题

2

=4.1x—0.1x，在B地的销售利润（单位：

万元）为y2=2x,其中x为销售量（单位：

辆），

若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）

A.10.5万元B.11万元

C.43万元D.43.025万元

答案与解析

解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16—x）辆，所以

2

2221221可得利润y=4.1x—0.1x+2（16—x）=—0.1x+2.1x+32=—0.1（x—-^）+0.1X—+32.

因为x€[0,16]，且x€N,所以当x=10或11时，总利润取得最大值43万元.

例题2

（1）世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（参考数据

lg2:

0.3010,100.0075:

1.017）（）

A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%

（2）某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停（每次

上涨10%）,又经历了n次跌停（每次下跌10%）,则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）

A.略有盈利

B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损

D.无法判断盈亏情况

答案与解析

答案⑴C

（2）B

40

解析

（1）设每年人口平均增长率为x，则（1+X）=2，两边取以10为底的对数，则40lg（1

+x）=lg2，所以lg（1+x）~0.0075，所以100'0075=1+X,得1+x~1.017，所以

x~1.7%.C

⑵设该股民购进这支股票的价格为a元，贝U经历n次涨停后的价格为a（1+10%）n=ax1.1n

元，经历n次跌停后的价格为ax1.1nx（1—10%）n=ax1.1nx0.9n=ax（1.1x0.9）n=

0.99n•a

例题3

某帀出租车收费标准如下：

起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）;

超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6

元，则此次出租车行驶了km.

答案与解析

答案9

解析设出租车行驶xkm时，付费y元，

9,0

则y=8+丄丨；〕x—v+1,3

v_8+2.15x5+2、号Jx—8+1,x>8,

由y=22.6，解得x=9.

【总结与反思】构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺

数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.

四、课堂运用

1.已基础方形ABCD勺边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的

路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f（x）的图象是（）

2.某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量（kg）与其运费（元）由如图的一次函数图象确

定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.

3.

0.3mg/mL,在停止喝酒后，血液中

一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规

定：

驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，此人至少经过小时才

能开车.（精确到1小时）

4.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元•为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）

A.10B•11C•13D•21

答案与解析

1.【答案】D

【解析】

依题意知当0WxW4时，f（x）=2x；当4

2.【答案】19

【解析】

由图象可求得一次函数的解析式为y=30x—570，令30x—570=0,解得x=19.

3.【答案】

（1）5

【解析】设经过x小时才能开车.

x

由题意得0.3（1—25%）<0.09,

0.75x<0.3,x>log0.750.3〜4.19.二x最小为5.

4.【答案】A

【解析】

设该企业需要更新设备的年数为x,

设备年平均费用为y,

则x年后的设备维护费用为2+4+…+2x=x（x+1）,

所以x年的平均费用为

100+0.5x+xx+J.y=x

100

=x+v+1.5,

A.

巩固

1.已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另

投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为

"400—6x,0

（1）写出年利润W万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？

并求出最大利润.

答案与解析

2

（2）W取得最大值6104万元.

—6x+384x—40,0

1答案

（1）W=40000

——16x+7360,x>40.

解析

（1）当0

2

=—6x+384X—40,[2分]

当x>40时，WxR（x）—（16x+40）

40000=——16x+7360.

x

2

—6x+384x—40,0

所以W40000

J—x—16x+7360,x>40.

2

⑵①当0

所以Wax=W（32）=6104;[6分]

②当x>40时，Wl=—40000—16x+7360,

即x=50€（40,+^）时，取等号

所以W取最大值为5760.［10分］

综合①②知，

当x=32时，W取得最大值6104万元.

拔高］

1.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：

用1个单

1

位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残

2

留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农

药量之比为函数f（x）.

（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；

（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；

1

（3）设f（x）=-，现有a（a>0）单位量的水，可以清洗一次，也

1+x2

可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？

说

明理由

2.有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。

现

r

假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。

用g（t）二卫•[g（0）_0）,

rr

表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），g（0）表

示湖水污染初始质量分数。

（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；

（2）分析g（0）：

：

：

卫时，湖水的污染程度如何。

r

答案与解析

1答案

解析

（1）f（0）=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样.

1

（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：

f（0）=1,f

（1）=2，在]0,+s）

上f（x）单调递减，且0vf（x）w1.

1

（3）

设仅清洗一次，残留的农药量为f1=1a，清洗两次后，残留的农药量为f2=

16

一22

（4a）

22

116_a（a-8）

1a2（4a2）2（1a2）（4a2）2'

于是，当a>2L2时，f1>f2;当a=2、2时，f1=f2;当0vav22时，f1vf2.

因此，当a>22时，清洗两次后残留的农药量较少；

当a=22时，两种清洗方法具有相同的效果；

当Ovav22时，一次清洗残留的农药量较少.

2答案

PJti

解析

（1）设0乞b讥2，因为g（t）为常数，g（tj=g（t2），即[g（0）][ev一ev]=0.

则g（0H-；

r

r

rr

rrvt2J1

（2）设0:

:

:

t1:

:

:

t2,

p—11—12pe—e

g（tj—g（t2）=[g（0）][ev-ev]=[g（0）-上]e「e

rr-tat2

ev

因为g（0）-卫：

：

:

0,

r

0t1:

:

:

t2,g（t1）■g（t2）。

污染越来越严重。

1.认五分、课堂小合理选择数学模型是解决应用问题的基础.

2•实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.

3•解函数应用题的五个步骤：

①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思.

六、课后作业

基础

1.

300个细菌，以后的细菌数

细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长.若实验开始时有

如下表所示:

x（h）

0

1

2

3

细菌数

300

600

P1200

2400

200

实验开始前2h的细

B.100

据此表可推测