运筹学练习题付答案.docx
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运筹学练习题付答案
练习题（博弈论部分）：
1、化简下面的矩阵对策问题:
1423
5142
6324
3436
4052
2、列出卞列矩阵对策的线性规划表达式
_3
-1
-3
A=
-3
3
-1
-4
-3
3
3、用线性方程组解“齐王赛马”的纳什均衡。
「3
1
1
1
-1
1
3
1
1
1
A二
1
-1
3
1
1
-1
1
1
3
1
1
1
1
-1
3
1
1
-1
1
1
解：
已知齐王的赢得矩阵为
1
-1
1
1
1
3
40
4、已知对策4=00
06
0
8的最优解为：
X*=（-,—,-）,7*=,对策值齿=
'131313131313
0
134343
131313
卜•矩阵对策的最优解和对策值
322020
4'=202044
203820
「353「
5、设矩阵对策的支付矩阵为：
4=4-32,求其策略和策略的值。
323
6、求解下列矩阵对策的解：
123_
4=312
231
练习题（多属性决策部分）：
1、拟在6所学校中扩建一所，经过调研和分析，得到目标属性值如下表（费用和学生就读距离越小越好）
方案序号
1
25
3
4
5
6
费用（万元）
60
50
44
36
44
30
就读距离（KM）
1
0.8
1.2
2.0
1.5
2.4
试用加权和法分析应扩建那所学校？
讨论权重的选择对决策的影响！
2、拟选择一款洗衣机，其性能参数（在洗5Kg衣物的消耗）如卞表，设各目标的重要性相同，采用折中法选择合适的洗衣机
序号
价格（元）
耗时（分）
耗电（度）
用水（升）
1
1018
74
0.8
342
2
850
80
0.75
330
3
892
72
0.8
405
4
1128
63
0.8
354
5
1094
53
0.9
420
6
1190
50
0.9
405
3、六方案四目标决策问题的决策矩阵如卞表，各目标的属性值越大越好，W={0.3,0.2,0.4,0.iy
请用ELECTRE法求解，折中法，加权法求解
序号
）*1
儿
儿
儿
1
20
0.3
1.3x106
3
2
13
0.5
4xl06
3
3
15
0.1
2.2xl06
5
4
30
0.7
lxlO6
2
5
5
0.9
4xl06
7
6
40
0.0
lxlO6
1
运筹学练习题付答案
排队论练习：
例1：
在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。
求：
（1）顾客来理发不必等待的概率；
（2）理发馆内顾客平均数：
（3）顾客在理发馆内平均逗留时间；（4）如呆顾客在店内平均逗留时间超过1.25小时，则店主将考虑增加设备及人员。
问平均到达率提高多少时店主才能做这样考虑呢？
例2：
某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作10小时，来访人员和接待时间都是随机的。
若来访人员按普阿松流到达，其到达速率；1=7人/小时，接待时间服从负指数分布，其服务速率“二7.5人/小时。
现在问：
（1）来访者需要在接待室逗留多久？
等待多长时间？
（2）排队等待接待的人数。
（3）若希望来放者逗留时间减少一半，则接待人数应提高到多少？
例3：
某电话亭有一部电话，打来电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达时间的平均时间为10分
钟，通话时间服从指数分布，平均数为3分钟。
求：
（1）顾客到达电话亭要等待的概率：
（2）等待打电话的平均顾客数：
（3）当一个顾客至少要等3分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合理的？
（4）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？
例4：
单人理发馆有6把椅子接待人们排队等待理发。
当6把椅子都坐满时，后来到的顾客不进店就离开。
顾客平均到达率为3人/小时，理发需时平均15分钟。
求系统各运行指标。
例5：
某一个美容店系私人开办并自理业务，由于店内面积有限，只能安置3个座位供顾客等候，一旦满座则后来者不再进店等候。
已知顾客到达间隔与美容时间均为指数分布，平均到达间隔80min,平均美容时河为50mino试求任一顾客期望等候时间及该店潜在顾客的损失率。
例6：
病人以平均每小时8人的速率来到只有一名医生的诊所，候诊室有9把座椅供病人等候，对每名病
人诊断时间平均6mino计算：
（1）开诊时间内候诊室满员占的时间比例；
（2）求下述情况的概率
a.有一个病人；
b.有2个病人在候诊室外排队。
例7：
某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间15分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。
求：
（1）修理工空闲的概率；
（2）五台机器都出故障的概率；（3）出故障的平均台数；
（4）等待修理的平均台数；（5）平均停工时间；（6）平均等待修理时间；
（7）评价这些结果。
例8：
—个机修工人负责3台机器的维修工作，设每台机器在维修之后平均可运行5天，而平均修理一台机器的时间为2天，试求稳态K的各运行指标。
例9：
一个工人负贵照管6太自动机床，当机床需要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停车，等待工人照管。
设每台机床平均每小时停车一次，每次需要工人照管的平均时间为0.lh。
试分析该系统的运行情况。
例10：
某售票厅有三个窗II,顾客的到达服从普阿松过程，平均到达率每分钟二0.9人，服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率每分钟二0.4人。
现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗II购票，求系统的运行指标。
例11：
某商店收款台有3名收款员，顾客到达为每小时504人，每名收款员服务率为每小时240人，设顾客到达为泊松输入，收款服务时间服从负指数分布，求解。
例12：
某银行有3个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，出纳员与顾客的交易时间服从平均数为0.5分钟的负指数分布，试求：
（1）银行内空闲时间的概率；
（2）银行内顾客数为n时的稳态概率；
（3）平均队列长；（4）银行内的顾客平均数；（5）在银行内的平均逗留时间；
（6）等待服务的平均时间。
［考研真题］
运筹学练习题付答案
例1:
为开办一个小型理发店，目前只招聘了一个服务员，需要决定等待理发的顾客的位子应设立多少。
假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时间服从指数分布，平均3分钟一个人，如呆要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占理发的人数的7%时，应该安放几个供顾客等待的位子？
例2：
工件按泊松流到达服务台，平均间隔时间为10分钟，假设对每一工件的服务所需时间服从负指数分布，平均服务时间8分钟。
求：
1.工件在系统内等待服务的平均数和工件在系统内平均逗留时间：
2.若要求在90%的把握使工件在系统内的逗留时间不超过30分钟，则工件的平均服务时间最多是多
少？
3.若每一工件的服务分两段，每段所需时间都服从负指数分布，平均都为4分钟，在这种情况下，工
件在系统内的平均数是多少？
例3：
某机关接待室，接待人员每天工作10小时。
来访人员的到来服从泊松分布，每天平均有90人到来,接待时间服从指数分布，平均速度为10人/小时。
试求排队等待接待的平均人数；等待接待的多于2人的概率，如果使等待接待的人平均为两人，接待速度应提高多少？
例4：
经观察，某海关入关检查的顾客平均每小时到达10人，顾客到达服从泊松分布，关II检查服务时间服从负指数分布，平均时间是5分钟，试求：
1.顾客来海边不用等待的概率：
2.海关内顾客的平均数；
3.顾客在海关内平均逗留时间：
4.当顾客逗留时间超过1.2小时时，则应考虑增加海关窗II及人数，问平均到达率提高多少时，管理者才作这样的打算。
存储论练习
例1:
某企业为了满足生产需要，定期向外单位订购一种零件。
这种平均口需求为100个，每个零件一天的存储费是0.02元，订购一次的费用为100元。
假定不允许缺货，求最佳订货量，订货间隔期和单位时间总费用
（假定订货后红火单位能立即到货）。
例2：
某物质的销售速度是2吨/天，订货费用10元/天，存储费0.2元/吨.天，若以306天为一个计划期（年）。
试分析不允许缺货的最佳销售存储模型。
例3：
某装配车间每月需要零件400件，该零件由厂内生产，每月生产800件，每批生产装配费用为100元，每月单位零件的存储费为0.5元，试求最小费用和经济批量
例4：
某企业每月需要某种部件2000个，每个成本150元，每年每个部件的存储费为成本的16%,每次订货费用为100元
1）在不允许缺货的情况下，求该部件的经济订货批量和最小费用；
2）在运行缺货的情况下，每月每个部件的缺货损失费5元，求最佳订货批量、最人存储量、最人缺货量和最小费用
例5：
某印刷厂每周需要32筒卷纸，订货费为25元/次，存储费为1元/筒周。
供应商的批发价格见卞，在不允许缺货且及时供应，求最佳订货量
'12元:
1<0<9筒
10元:
10<2<49筒
9.5元:
509元:
100筒<0
例6：
一自动化工厂的组装车间从本厂的装配车间订购各种零件，估计下一年度的某种零件的需求量为2
0000单位，车间年存储费用为其存储量价值的20%,该零件每单位价值20元，所有订货均可及时送货。
一次订货的费用是100元，车间每年工作250天
求：
经济订货批量，每年订货多少次，如果从订货到交货的时间为10个工作口，产出是一致连续的，并设安全存量为50单位，求订货点
例7：
某公司每年需某种零件10000个，假定定期订购且订购后供货单位能及时供应，每次订购费用为25元，每个零件每年的存储费为0.125元，
求：
不允许缺货，求最优订购批量以及年订货次数，允许缺货，问单位缺货损失费用为多少时，一年只需订购3次
例8：
有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书专用书架，基于以往的销售记录和今后市场的预测，估计今年一年的需求量为4900个，犹豫占有资金的利息以及存储库房和其他人力物力的原因，存储一个书架一年要花费1000元，这种书架每年的生产能力为9800个，而组织一次生产要花费设备调试等准备费用500元，该公司为了把成本降到最低，应如何组织生产，求出最优生产批量，相应的周期，最少的每年总费用以及每年的生产次数。
假设允许缺货，其总费用最少的经济批量和最优缺货量为多少？
一年
运筹学练习题付答案
最少总费用是多少？
（假设每个书架缺货一年的缺货费用为2000元）
例9：
某电话制造公司购买人量半导体管用于制造电子开关系统，不允许缺货，需求速率为R=250000只,每次订货准备费用为100元，年度单位库存费用是单位购进价格的24%,即：
Cv=0.24/C供应者的价格如卞表所示，试确定最优订货批量。
订货量
0400020000Q>40000
单位价格（元）
12
11
10
9
非线性规划练习：
思考题：
1.判断函数的凸凹性
（1）/（.¥）=（4-x）3,x<4
（2）f（X）=xf+2xlx2+3x^
（3）/（X）=xLx2
2.分别用斐波那契法和黄金分割法求卞述函数的极小值，初始的搜索区间为xe[l,15],要求
|/（兀）-/（仏）|<0.5。
f（X）=x4-15x3+72x2-135x
3.试计算出卞述函数的梯度和海赛矩阵
（1）f（X）=x;+x;+x;
（2）/（X）=111（X；+xLx2+x;）
4.用梯度法（最速下降法）求函数/（X）=+4x2-2彳-“兀-卅的极大点，初始点X⑵=（l,l）r。
5.用牛顿法求解max/XX）==—,初始点=（4,0）\分别用最佳步长和固定步长2=1.0进行计算。
6.写出下述非线性规划问题的K7条件
（l）rmillf（X）=
（>）niiif（X）=（;q_3尸+（x2一3）2
7.二次规划max/（X）=4人-xf+Sx2-
'x{+x2<2
x^x2>0
（1）用K?
条件求解：
（2）写出等价的线性规划问题并求解。
博弈论部分参考答案解:
1.
2
4,由于第一行总是小于第四行，舍去第一行，由于第二行总是不小于第五行，舍去
6
2
351
第五行得4=263
234
2
4在余下的对策中，第二列总是人于第一列，舍去第二列，第五列总是人
6
■
3
■
1
■
3
1
于第三列，舍去第五列得到：
4=
2
3
—
2
4
2
4
2、
对于这个矩阵对策，则对于剧中人1来说，在剧中人II采用最优策略儿,儿,儿以后，其收益要人于v（因为双方都理智），即：
maxv
3）\-）\-3y3>v一3）、+3儿一儿n-一4开-3y2+3儿>v
对于局中人【I来说，在局中人采用最优策略心无,兀以后，局中人I【的损失不超过『即:
minw3兀-3x2-4x3一X、+3x2-3x5-3x1-x2+3x5+X.+x3=1=>R¥；+VX*+VX*=1=>V=—；r,则原式变为:
"-xk+x2+x5niniy；+y；+y；maxx；+x；+x；
答闕求解线性规划呎
_3x：
_x；+3x；<1
3y；-y；-3y；ni
<一3y；+3y；-y；n1
-4v*一3y；+3y；>13、首先尝试用线性方程组来解（注意条件）
由于4无鞍点，对齐王和田忌来说不存在最优纯策略。
设其最优混合策略为
x*7=（x：
x；,…x；）,y*7=（y：
y；…y：
）且Qy；>o
解方程组
3久]+x2+x3一x4+x5+x6=V
X]+3x2-x3+x4+x5+x6=Vx{+x2+3x3+x4+x5-x6=V
-+x2+x3+x4+3x5+x6=Vxx-x2+x5+x4+x5+3x6=Vx{+x2+x5+x4+x5+x6=1
2）1+儿+儿+儿-）‘5+片=V
儿+3儿+儿+儿+儿_儿=V
儿一儿+3儿+儿+儿+儿=V
<一儿+儿+儿+3儿+y5+y6=v
儿+儿+儿-儿+3儿+儿=V
儿+儿一儿+儿+儿+3儿=v
）\+儿+儿+儿+儿+儿=1
解之得：
<=1,（/=1,2,-6）；/=1,（/=1,2,-6）,V=lo
由于X；>0,X>0所得的解为最优解（当其中有0或小于0的解时，方法不可用，解不正确）
「322020'
4、4=202044
203820
根据相应定理：
如果有矩阵对策」/・则$=&匕，7\$）=丁（0）：
G2={s^s2;aA}-
如果有矩阵对策Id®宀'仗，其中，人=（勺）,人=（勺+厶）则匕+LJ（Gl）=T（G.）G={$沁;_:
_
根据上述定理可得:
「322020_
1200_
_400_
A'=
202044
=>
0024
=>
008
203820
0180
060
所以最优解为：
X*,对策值V*=—*3+20=—+20
1313131313131313
5、略
6、根据对偶问题的松弛互补定理（如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式，如果约束条件取严格等式，则其对应的对偶变量一定为零）
在保证没有零解的情况卞，可以采用线性方程组来解：
采用线性方程组的方法，得到线性方程组：
口+2x2+3x3=v
3x2+x2+2x3=v
2X]+3x2+x3=v
x1+x2+x3=1
解上式，得到：
X*J丄丄，耳川=2,同理可求Y'=[-丄丄!
川=2
1333J[333J
多属性决策部分
1、解：
由于各自的量纲不同，所以无法直接比较，首先消除量纲的影响：
分别以60为分子和以2.4为分子进行计算得到下表：
方案序号
1
2
3
4
5
6
费用（万元）
1
1.2
1.4
1.6
1.4
2
就读距离（KM）
2.4
3
2
1.2
1.6
1
所以其权值分别为:
方案序号
1
2
3
4
5
6
权值
3.4
4.2
3.4
2.8
3.0
3
所以采用方案2
2、首先确定
序号
价格（元）
耗时（分）
耗电（度）
用水（升）
1
1018
74
0.8
342
2
850
80
0.75
330
3
892
72
0.8
405
4
1128
63
0.8
354
5
1094
53
0.9
420
6
1190
50
0.9
405
首先规范化各个参数:
序号
价格（元）
耗时（分）
耗电（度）
用水（升）
1
1.168959
1.081081
1.125
1.22807
2
1.4
1
1.2
1.272727
3
1.334081
1.111111
1.125
1.037037
4
1.054965
1.269841
1.125
1.186441
5
1.087751
1.509434
1
1
6
1
1.6
1
1.037037
计算理想解和反理想解
A+=（1.334,1.509,1.125,1.273）
=（1,1,1,1）
各个选择距离理想解和反理想解的距离是：
d：
=0.5746970]=0.6,d；=0.551845,J；=0.491044,d；=0.4691290；=0.505519
d；=0.320565,d；=0.523813,=0.375436,J；=0.3552750；=0.516936,d；=0.601142
所以,叫=0.358069,w2=0.466103,=0.404879,w4=0.419789,w5=0.47575&叫=0.456797
选择最人值为：
0.475758,所以选择第五个方案。
3、
排队论部分
1、解：
依题意知题设排队系统属M/M/1/oo/oc/FCFS模型
⑴乙=1_°=1-扌=0.25
（2）'=〃_兄=3⑶IV=-L-=5=1小时二60分钟
“一2A
⑷由叱=丄一〉1・25（小时）及//=4（人/小时），//-2
^2>3.2（人/小时），平均到达率至少提高3.2—3二0.2（人/小时）。
2、解：
依题意，用于M/M/1/oo/ao/FCFS排队模型
已知2=7,〃=7・5,系统运行指标如下:
⑴—士=召=2（h—分钟）
2
7
W--
厂“（“3
=7.5（7.5-7）=1867（小时）皿2（分钟）
⑵Lq~//（//-2）-7.5（7.5-7）-13"人）
⑶若要求IV=1小时，即逗留时间比原来减少一半，则:
由VV.=—!
■〒得—Ur=1,“=8每小时若能平均接待8人，可使来访者平均逗留的时间比原来减少//-X〃_7
一半。
3、解：
由题意知，模型为M/M/1,客源、容量不限的排队系统，且：
A=0.1（人/分），//=i=0.33（人/分），•于是p=-=0.33“
（1）顾客到达必须等待的概率为：
P（/?
>l）=l-P（/?
<1）=1-/^=1-（1-/?
）=0.3
（2）等待用电话的平均顾客数:
咕尸上=0.13心-2）1-P
（3）到达速度即为平均到达率，由题意知：
W=P=’=3
'“（1-Q）“（“-刃
从而，A=—（人/分）。
6
（4）打一次电话的时间即为顾客逗留的时间T：
P（T>10）=（“-A）e~ut~A）xdx=0.03（分）。
4、解：
N二7为系统最人的顾客数，朮二3,"二60/15二4
某顾客一到达就能理发，这种情形相当于理发馆内没有顾客，所求概率为:
（1）理发馆中平均顾客数期望值：
（1-P）1-严
（2）理发馆中排队等待服务的平均顾客数期望值：
£=加_^£2（1_化）=厶_（1_乙）=2.11_（1_0.2778）=1.39
（3）顾客在理发馆内逗留的期望值：
L
W.=——=0.73（小时）二43.8（分钟）
“（T）
（4）顾客在理发馆内排队等待时间的期塑值：
叱=叱_丄=0.73—丄=0.48（小时）
'”4
（5）在可能到来的顾客中有百分之几不等待就离开，这就是求系统中有7个顾客的概率:
故服务强度为：
◎占字禺“.4145
则:
£（/=£-（1-^）=1.1396-（1-0.4145）^0.5541人
&=“（1—人）=—（1-0.4145）=0.01171人
Lr05541
故任一顾客期望等待时间为：
也=二=mm~47mm
740.01171
该店潜在顾客的损失率即系统满员的概率为：
P4=pPQ=（0.625/X0.4145a0.06=6%6、解：
（1）这个系统包含候诊室与诊断室，所以当候诊室刚好满员时,
8n=H9=10»p=—=0.8
10
7（10）=（1—0.8）x0.82=0.021
即占开诊时间的2.1%
（2）a.系统已扩展到n二1+9+1+11
P（1l）=（l-0.8）x0.811=0.0172
b.乘上0・8得到新的概率为：
0.8X0.0172=0.0138
7、解：
m二5,几=丄“=丄上=0.8
1512//
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