小学数学问答手册七简易方程.docx

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小学数学问答手册七简易方程

七、简易方程

219．什么叫做代数式和代数式的值？

　　用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数字和表示数的字母连接起来所得的式子，叫做代数式。

特殊的，单独的一个数字或字母也可以叫做代

　　用数代替代数式里的变数字母．计算所得的结果，叫做这个代数式的值。

　　的值是289。

220．什么叫做等式？

等式有哪些性质？

　　表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式。

两个数或两个代数式之间用等号“=”连接起来。

例如：

27＋23=50，a+b=b+a，4x+6=86。

　　等式的性质有以下几条：

（1）等式两边可以调换位置。

也就是说，如果a=b，那么b=a。

（2）等式两边都加上（或减去）同一个数，所得的等式仍然成立。

即如果a=b，那么a±m=b±m。

　　（3）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所

　　得的等式仍然成立。

即如果a=b，那么am=bm，a÷n=b÷n（n≠0）。

221．什么叫做方程和方程的解？

　　含有未知数的等式，叫做方程。

例如：

3x＋4=10，7x=2.8，ax2＋bx＋c=0（其中a、b、c为已知数，x是未知数）等都是方程。

方程是提出一个问题：

当未知数取什么数时，等式成立。

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

例如：

x=2是方程3x+4=10的解。

x=1.7是方程4x=6.8的解。

222．什么叫做单项式和多项式？

　　不含加、减运算的整式，叫做单项式。

特殊的，单独一个数或一个字母

多项式。

例如：

4x+7，3x2+5，6x2+7x+2等都是多项式。

223．什么叫做同类项及合并同类项？

　　在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。

例如：

5x2＋3x+4x2＋6中，5x2与4x2是同类项。

　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

例如：

5x2＋3x+4x2＋6=9x2+3x+6是合并同类项。

224．方程的基本性质有哪些？

　　方程的基本性质有以下两点：

（1）方程的两边都加上（或减去）同一个数或者同一个整式，所得的方程和原方程有共同的解（叫同解方程）。

（2）方程的两边都乘以（或除以）不等于零的同一个数，所得的方程和原方程是同解方程。

　　方程的基本性质是解方程的依据。

解方程实际上就是把一个较复杂的方程，根据方程的基本性质化成简单的同解方程的过程。

最后得到的x=a也是原方程的同解方程。

所以a就是原方程的解。

在小学里，限于学生的知识基础，解方程不是从方程的基本性质出发，而是根据学生已有的加减之间、乘除之间的逆运算关系来求解的。

经过适当的练习，再用“移加变减”与“移减变加”等通俗语言概括出移项的规律，为进一步学习数打下一点基础。

225．什么叫做有理数？

　　整数和分数统称有理数。

其中整数含有正整数、零及负整数；分数含有

　　数，且n≠0）。

正整数、正分数叫做正有理数；负整数、负分数叫做负有理数；正有理数与零叫做非负有理数；零与负有理数叫做非正有理数。

226．什么叫做相反数？

　　任一正数a总有一个确定的负数-a与它相对应，像这样只有符号不同的两个数，叫做相反数。

　　例如：

-5与5是相反数，5与-5也是相反数。

零的相反数是零。

　　相反数a与-a在数轴上的对应点分别在原点的两侧，并且与原点的距离相等，但方向相反。

　　因此，负数的相反数是正数，正数的相反数是负数，零的相反数还是零。

227．有理数大小的比较法则有哪些？

（1）正数都大于零；

（2）负数都小于零；

　　（3）正数大于一切负数；

　　（4）两个负数比较，绝对值大的反而小。

228．有理数的混合运算法则是怎样规定的？

　　在代数运算中，加法与减法是一级运算，乘法与除法是二级运算，乘方与开方是三级运算。

如果有理数的同级运算在一起，那么按照从左到右的顺序进行计算；如果是不同级运算在一起，那么先算较高级的运算，再算较低级的运算。

即先算乘方或开方，再算乘法或除法，后算加法或减法。

有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号。

229．去括号与添括号的法则指的是什么？

　　去括号的法则是：

括号前面是“+”号，去括号时，括号里的各项都不变；括号前面是“-”号，去括号时，括号里的各项都变号。

例如；

　　5a+（4b-3a）-（2b+a）=5a+4b-3a-2b-a=a+2b。

　　添括号的法则是：

添括号时，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。

例如：

　　4a-3b-2c=4a-（3b+2c）；

　　7a+2b-5c=7a+（2b-5c）。

230．什么叫做绝对值？

　　数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

例如：

+5和-5的绝对值都是5，通常用|5|表示。

又如，一个数是a，它的绝对值表示如下：

（1）当a＞0时，|a|=a；

（2）当a＝0时，|a|=0；

　　（3）当a＜0时，|a|=-a。

231．什么叫做完全平方数及完全立方数？

　　如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，则这个正数叫做完全平方

　　都是完全平方数。

　　如果一个数等于另一个数的立方，则这个数叫做另一个数的完全立方数。

例如：

27是3的完全立方数，64是4的完全立方数。

232．在科学技术上常用科学记数法，你知道怎样记数吗？

　　把一个正数写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n比这个正数的整数位数少1。

这种记数方法，习惯上叫做科学记数法。

例如：

　　这种记数方法便于记大数，易于比较大小，常用在科学技术上。

233．列方程解应用题要做好哪几步工作？

　　用字母代替应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列出的方程，从而得到应用题的答案，这个过程叫做列方程解应用题。

解题时要做好以下几步工作：

（1）分析题意。

认真读题，反复审题，弄清楚应用题中哪些是已知条件，哪些是未知条件，已知条件与未知条件之间有什么等量关系；

（2）设未知数。

用字母代替应用题中的未知数；

　　（3）列方程，解方程。

根据所设的未知数x和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。

根据算术四则运算中加法与减法、乘法与除法之间的逆运算关系求出未知数x的值；

　　（4）检验，答题。

解方程后，应进行检查验算；针对应用题的所问作出答案。

234．列方程解应用题应进行哪些基础训练？

　　列方程解应用题，应进行如下一些训练：

（1）列代数式的训练。

正确、迅速地列出代数式是列方程的基础，可以用以下几种形式进行训练：

　　①用数学语言叙述代数式。

例如：

　　3x+5（一个数的3倍与5的和）；

　　7×8-4x（7的8倍减去一个数的4倍）。

　　②用代数式表示数量关系。

例如：

　　a的6倍（6a）；

　　90减去x的5倍（90-5x）。

　　③根据题意叙述代数式的意义。

例如：

“学校买来6个小足球，每个a元，又买来8个排球，每个b元。

”要求学生叙述以下各式的意义。

　　6a（表示6个足球的价钱），

　　8b（表示8个排球的价钱），

　　6a+8b（表示两种球的总价），等等。

　　反过来，老师提出问题，要求学生列出代数式。

（2）找等量关系的训练。

找出题目中的等量关系是列方程的关键。

教学时，可以让学生找出日常生活事例中的一些等量关系，使学生逐步熟悉。

　　例如：

小侠到商店去买笔记本，总价钱是1.6元，小侠付出2元，找回0.4元。

把这件事情列出等式。

　　付出的2元-笔记本总价1.6元=找回的0.4元，

　　笔记本总价1.6元+找回的0.4元=付出的2元，

　　付出的2元-找回的0.4元=笔记本总价1.6元。

　　（3）列方程的训练。

把列代数式的训练和找等量关系的训练结合起来进行（只要求列出方程，不必解方程）。

　　例1：

计划修一条水渠260米，已经修了7天，每天能修x米，还剩50米没有修。

　　等量关系是：

计划米数-已经修的米数=剩下的米数；

　　方程是：

260-7x=50

　　例2：

农具厂两个车间计划生产720把镰刀。

第一车间每天生产镰刀38把，第二车间每天生产镰刀42把，x天完成了任务。

　　等量关系是：

第一车间生产数+第二车间生产数=全部任务；

　　或（第一车间工作效率+第二车间工作效率）×x=全部任务。

　　方程是：

38x+42x=720，

　　或（38+42）×x=720。

235．只用一步运算解答的简易方程有哪几种？

（1）求未知的加数：

解法是从和中减去已知的加数。

　　例1：

解方程x+38=90解：

90是两个数的和，38是已知加数。

所以

　　x+38=90

　　x=90-38

　　x=52

（2）求未知的被减数：

解法是把差加上已知的减数。

例2：

解方程x-62=27

　　解：

27是差，62是减数。

所以

　　x-62=27

　　x=27+62

　　x=89

　　（3）求未知的减数：

解法是从被减数中减去差。

例3：

解方程76-x=19

　　解：

76是被减数，19是差。

所以

　　76-x=19

　　x=76-19

　　x=57

　　（4）求未知的因数：

解法是把积除以已知的因数。

例4解方程5x=240

　　解：

240是积，5是已知的因数。

所以

　　5x=240

　　x=240÷5

　　x=48

　　（51）求未知的被除数。

解法是把商乘以除数。

例5：

解方程x÷18=34

　　解：

34是商，18是除数。

所以

　　x÷18=34

　　x=34×18

　　x=612

　　（6）求未知的除数。

解法是把被除数除以商。

例6：

解方程1247÷x=43

　　解：

1247是被除数，43是商。

所以

　　1247÷x=43

　　x=1247÷43

　　x=29

236．需要用两、三步运算解答的简易方程有哪几种？

（1）先把积看成一个数进行运算。

　　例1：

解方程3x+24=87

　　解：

3x+24=87（先把3x看成一个加数）

　　3x=87-24

　　3x=63

　　x=21

　　例2：

解方程100-5x=35

　　解：

100-5x=35（先把5x看成一个减数）

　　5x=100-35

　　5x=65

　　x=13

　　例3：

解方程7x÷14=9

　　解：

7x÷14=9（先把7x看成是一个被除数）

　　7x=9×14

　　7x＝126

　　x=18

　　例4：

解方程16x-7×4=148解：

16x-7×4=148

　　16x-28=148（先把16x看成是一个被减数）

　　16x=148+28

　　16x=176

　　x=11

（2）合并同类项。

　　例5：

解方程7.5x+2.5x=64

　　解：

7.5x+2.5x=64（先计算7.5x+2.5x）

　　10x=64

　　x=6.4

　　例6：

解方程28x-13x=240

　　解：

28x-13x=240（先计算28x-13x）

　　15x=240

　　x=16

　　（3）去括号或者把括号里的数看成一个数。

　　例7：

解方程16（7+x）=192

　　解法一：

16（7+x）=192（去括号）

　　16×7+16x=192（把16x看成一个数）

　　16x=192-112

　　16x=80

　　x=5

　　解法二：

　　16（7+x）=192（把7+x看成一个因数）

　　7+x=192÷16

　　7+x=12

　　x=12-7

　　x=5

237．用方程解应用题时，怎样找等量关系？

　　在解应用题时，常常先找出应用题中数量间的相等关系，也就是通常所说的“等量关系”，然后列方程求解。

下面举例说明。

（1）只含有三个数量的简单应用题的等量关系和方程。

　　只含有三个数量的简单应用题，已知两个数量，求第三个数量。

这类应用题的等量关系比较明显，容易找出。

根据三个量间的等量关系，往往可以列出三个等式。

在这三个等式里，可选择一个等式作为解答该题的方程，习惯上把未知的数量放在等号的左边，用字母x表示。

　　例1：

黄豆和绿豆共重90千克，其中黄豆65千克，绿豆的重量是多个千克？

　　分析：

根据这道题里的三个量，可以列出下面三个等式：

　　①共重90千克-黄豆65千克=绿豆重量；

　　②绿豆重量+黄豆65千克=共重90千克；

　　③共重90千克-绿豆重量=黄豆65千克。

　　如果把未知量用x表示，并且把它放在等号的左边，可列出方程：

　　x+65=90或者90-x=65

　　由于题目中说的是“黄豆和绿豆共重90千克”，所以列出的方程以“x+65=90”为好。

　　例2：

小侠身高158厘米，比小勇高13厘米。

小勇的身高是多少厘米？

　　分析：

根据这道题里的三个量，可以列出下面三个等式：

　　①小侠身高158厘米-13厘米=小勇身高；

　　②小侠身高158厘米-小勇身高=13厘米；

　　③小勇身高+13厘米=小侠身高158厘米。

　　如果把未知量用x表示，按照题目里所说的“小侠的身高是158厘米，比小勇高13厘米”，可列出方程：

　　158-x=13或者x+13=158

　　例3：

一辆卡车每小时行驶45千米，几小时可以行驶270千米？

　　分析：

根据速度、时间与路程三个量之间常用的数量关系，可以写出下面三个等式：

　　①每小时45千米×小时数=路程270千米；

　　②路程270千米÷每小时45千米=小时数；

　　③路程270千米÷小时数=每小时45千米。

　　如果设x小时走完全程，根据题意可以列出方程：

　　45x=270或者270÷x=45

　　例4：

一个长方形的面积是2800平方厘米，它的长是70厘米，宽是多少厘米？

　　分析：

有关计算面积、体积的题目的等量关系，就是面积、体积的计算公式。

这道题是长方形面积，根据长方形的面积计算公式，可以写出下面三个等式：

　　①长×宽=长方形面积；

　　②长方形面积÷长=宽；

　　③长方形面积÷宽=长。

　　如果设长方形的宽为x厘米，根据题意可列出方程：

　　70x=2800

　　总之，在找等量关系和列方程时，主要是以应用题的数量关系为基础，根据四则运算的意义列成等式。

但是，方程解法与算术解法在解题思路上是不同的。

算术解法，为了求出未知数，需要把已知数集中起来加以分析，找出未知数与已知数之间的关系，利用已知数与运算符号组成算式，通过计算求出未知数。

而列方程解应用题呢，可以用字母表示未知数，例如x、y等，让未知数x和已知数处于同样地位，按照题目中三个数量的等量关系直接参加列式运算。

有些在算术中需要“逆解”的题目，用方程解法往往比较容易。

（2）含有三个以上数量的应用题的等量关系和方程。

　　遇到含有三个以上数量的应用题，要认真审查题意，弄清题目所说的是怎么一回事，才能分析出已知数量同未知数量间的关系，列出方程。

　　例1：

地球绕太阳一周要用365天，比水星绕太阳一周用的时间的4倍多13天。

水星绕太阳一周要用多少天？

　　分析：

由于列方程解应用题可以让未知数（x）和已知数处于同样地位，直接参加列式运算，我们可以把题目中叙述的条件适当变换一下说法。

这道题可以说成：

水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍再加13天就等于365天。

这样，可列出下面的方程：

　　4x＋13=365

　　这道题也可以说成：

365天减去水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍等于13天。

这样，可列出下面的方程：

　　365-4x=13

　　这道题还可以说成：

365天减去3天与水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍相等。

我们把未知数（x）写在等号左边，可列得方程：

　　4x=365-13

　　以上举出的三个不同形式的方程，都是解答这道应用题的方程，在解答这道题时，用哪一个都可以。

　　例2：

学校买来5个篮球和7个排球共用去355元，已知每个篮球的价钱是36元，求每个排球的价钱是多少元？

　　分析：

这道题，如果按照算术方法去解，是“逆解”的题目；如果利用方程方法去解，根据题目里的已知条件，就比较容易找出等量关系。

　　已知每个篮球的价钱是36元，如果设每个排球的价钱为x元，那么可列出方程：

　　7x+36×5=355

　　例3：

柳长堤小学五、六年级同学今年共植树150棵，六年级植的棵数是五年级的2倍。

两个年级各植了多少棵？

　　分析：

这道题是常见的一种典型应用题，通常叫“和倍问题”。

如果用算术方法解，是有规律的。

即：

　　两个数的和÷（倍数+1）=作为1倍的数

　　但是，用方程方法解，可以按照题目里叙述已知条件的顺序直接写出等量关系。

　　为了计算方便，我们常常把“可以作为1份（1倍）”的数设为x，在这道题里，设五年级植树棵数为x棵，那么六年级植树棵数为2x棵。

列出方程为：

　　x+2x=150

　　例4：

A、B两镇之间的公路长216千米，甲、乙两汽车同时从两镇相对开出，3小时后相遇。

甲汽车每小时行38千米，乙汽车每小时行多少千米？

　　分析：

甲、乙两辆汽车同时从两镇相对开出，3小时后相遇，这就说明了：

甲汽车3小时行的路程+乙汽车3小时行的路程=两镇之间的公路长。

设乙汽车每小时行x千米，可列出方程：

　　38×3+3x=216

　　这道题还可以按照下面的等量关系列出方程，即：

两镇之间的公路长-乙汽车3小时行的路程=甲汽车3小时行的路程。

可列出方程：

　　216-3x=38×3

　　甲、乙两汽车同时开出，相向而行，那么，每小时两辆汽车共走的路程是甲、乙两汽车速度之和。

这样，又可以写出一种等量关系，即：

甲、乙两汽车速度之和×时间=两镇之间的公路长。

可列出方程：

　　（38＋x）×3=216

238．你会用方程解法解应用题吗？

　　举出几例，试用方程解答。

　　例1：

四、五年级的学生种向日葵，五年级种的棵数是四年级种的棵数的3倍。

又知五年级比四年级多种了90棵。

两个年级各种了多少棵？

　　解：

设四年级种了x棵，那么五年级种了3x棵。

根据题意列出方程，得：

　　3x-x=90

　　2x=90

　　x=45（四年级种的棵数）

　　3x=3×45=135（五年级种的棵数）

　　答：

四年级种了45棵，五年级种了135棵。

　　例2：

李师傅计划加工150个零件，加工了8小时以后，还剩22个没有加工。

求李师傅每小时加工多少个零件？

　　解：

设每小时加工x个零件。

根据题意列出方程，得：

　　150-8x=22

　　8x=150-22

　　8x=128

　　x=16

　　答：

李师傅每小时加工16个零件。

　　这道题还可以列出其他形式的方程。

如：

8小时加工的零件数加上没有加工的22件，等于原计划加工的150个零件。

即8x+22=150。

或者，原计划加工的150个零件减去没有加工的22个，就是8小时加工的零件数。

即8x=152-22。

　　例3：

甲、乙、丙三个数的和是960，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍。

甲、乙、丙三个数各是多少？

　　解：

设丙数为x，那么乙数为3x，甲数为6x。

根据题意列出方程，得：

　　x+3x+6x=960

　　10x=960

　　x=96（丙数）

　　3x=3×96=288（乙数）

　　6x=6×96=576（甲数）

　　答：

甲数是575，乙数是288，丙数是96。

　　例4：

有一块梯形地，面积是79.2平方米，它的高是7.2米、上底是9.6米，下底是多少米？

　　解：

因为，梯形面积=（上底+下底）×高÷2，设下底为x米，根据梯形面积公式，列出方程，得：

　　（9.6+x）×7.2÷2=79.2

　　（9.6+x）×7.2=79.2×2

　　9.6+x=158.4÷7

　　x=22-9.6

　　x=12.4

　　答：

下底是12．4米。

　　例5：

学校计划修整操场，原计划每天修整96平方米，50天可以修完。

实际上每天比原计划多修24平方米，照这样计算，可以提前几天修完？

　　解：

设实际用x天修完，根据题意列出方程，得：

　　（96＋24）x=96×50

　　120x=4800

　　x=40

　　50-40=10（天）

　　答：

可以提前10天修完。

　　在解答这道题时，设x表示实际用的天数，而没有按照题目的“问题”设x表示提前的天数。

为什么没有设“x”表示提前的天数呢？

如果这样设x的话，那么“实际用的天数”就得用（50-x）来表示。

这样，所列方程将是如下形式：

　　（96＋24）×（50-x）=96×50

　　解这个方程，比解例题所列的方程麻烦得多。

　　因此，解题时要认真审查题意，弄清数量之间的关系，考虑好怎样设x，可以使所列的方程简便些。

通常把例5设x的方法叫做“间接设元”。

而例1到例4，是根据题目的“问题”设x的，也就是说，要求的是什么，就把所求的未知数设为“x”，通常把这种设x的方法叫做“直接设元”。