数学三角形.docx
《数学三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学三角形.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学三角形
考试高压下的中国数学教育：
现状与对策
（南京大学哲学系，郑毓信）
本文依据作者在“中国数学教育的传统及其现代发展”研讨会（北师大，2007，4）上的讲演修改而成。
作者特向促成这次讲演的张英伯教授、曹一呜教授表示诚挚的谢意。
本文从一个特殊角度提供了关于中国数学教育的一个分析。
对于“考试压力”的明确承认是全部论述的直接出发点，文章的主要目的则是探讨如何能这一前提下积极地作出新的发展。
一、现状
这是中国数学教育的一个基本事实，即考试、特别是各种升学考试构成了基础数学教育（中小学数学教育）所必须面对的一个最大压力。
上述情况的出现有其一定的社会—文化原因，包括所谓的“考试文化”，也即“学而优则士”的长期传统，以及在很多情况下考试是改变个人命运的唯一途径——甚至在今天，后一现象也不能说已经有了根本的改变。
我们并应清楚地认识改变上述情况的困难性。
因为，尽管“分数前人人平等”存在诸多的弊病或缺陷，但又毕竟体现了一定的公平性，从而就在很大程度上得到了社会的广泛认同，后者则就直接决定了这一制度在短期内不可能发生根本性的变化。
但是，作为中国数学教育的具体分析，我们在此显然又应明确提出这样一个问题：
尽管存在考试的严重压力，我们又是否可以因此而断言：
中国的数学教育就是应试教育？
笔者的观点是，在现实中我们的确可以看到这样的倾向，即如对于孤立知识点的片面强调、题海战术的盛行等；但从总体上说，这又不能不说是一种过于简单化的结论，这也就是指，中国的数学教育不应被简单地等同于应试教育。
对于后一论断例如由“教学大纲”等正式文件上的相关提法就可清楚地看出；另外，同样重要的是，作为一种传统，这并集中地体现于一线教师的观点和信念，后者即是指，对于究竟什么是一个好的数学教师人们通常也不会以学生考试成绩的好坏作为唯一的判断标准。
以下是一些更为具体的论据：
第一， 与机械记忆与单纯模仿相对立，中国的数学教学历来强调理解学习。
具体地说，中国数学教学中对于记忆和练习强调事实上是与对于深层次理解的追求直接相联系的。
例如，我们显然就应从这样的角度去理解中国数学教学的一些传统作法，如“温故而知新”、“熟能生巧”等。
这也就是指，我们在此所强调的并非“死记硬背”，而是“记忆”与“理解”之间的辩证关系：
理解有助于记忆，记忆可以加深理解；人们所追求的也并非仅仅是运演的正确性和速度，而是希望能通过反复的练习不断深化认识，从而达到真正的理解。
中国的数学教师并通过长期的实践在这一方面积累了丰富经验。
例如，我们在此即可特别提及所谓的“变式教学”（[1]），而后者的一个基本涵义就是通过具体背景（包括表述方法等）的变化帮助学生更好地掌握相应的数学知识（概念）的本质；另外，这事实上也可被看成“精讲多练”这一方法的精髓之所在，并对习题（练习）的设计提出了很高的要求，即应有一个不断发展和深化的过程，包括由简单到复杂、由单一到综合等。
第二， 中国的数学教学历来重视“夯实基础”，特别是对于数学基础知识和基本技能（“双基”）的突出强调，而这又并非完全是为了对付考试，而是体现了不同的教育思想。
例如，“没有规矩，不成方圆”这一成语就可被看成最为清楚地表明了中国数学教育（乃至一般教育）的规范性特征。
而又正如别格斯（J.Biggs）所指出的，在这一问题上我们并可看到东西方教育思想的重要区别：
“在西方，我们相信探索是第一位的，然后再发展相关的技能；但中国人认为技能的发展是第一位的，后者通常则又包括了反复练习，然后才能谈得上创造。
”（[2]）
显然，从上述的角度去分析，这也就不能不说是对于中国数学教育的一种误解，即是因为中国数学教学的某些作法在形式上与西方所熟悉的某些方法十分相似，如中国的“反复记忆”（repetitivememory）与西方的“机械记忆”（rotememory）、中国的“加强基本功训练”与西方的“机械练习”（drillandpractice）等，就将两者简单地等同起来。
毋宁说，与单纯着眼于各个具体的方面或做法相对照，我们应当更加重视中国数学教育的总体特征，并应密切联系整体性的文化脉络去把握它们的内涵和作用。
（[3]）
第三， 中国的数学教学并不唯一集中于具体的知识和技能，学生在学习中也并非处于完全被动的地位。
具体地说，中国的数学教师不仅十分注意教学的启发性，而且也对如何促使学生积极地参与教学活动给予了高度重视。
例如，就前者而言，我们即可特别提及“数学方法论”对于中国数学教学的重要影响，即是如何以思想方法的分析来带动具体数学知识内容的教学，这也就是说，数学教师应当通过自己的“理性重建”将数学课“讲活”、“讲懂”、“讲深”，也即使学生能够看到活生生的数学研究工作，而不是死的数学知识，能真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背，并使学生不仅能掌握具体的数学知识内容，而且也能领会内在的思想方法。
另外，也正是基于后一方面的考虑，中国的数学教学就特别讲究“设问”的艺术，即是认为教师在教学中的提问应集中于过程，并通过提问促进学生更为积极地去进行思考，而不应唯一地集中于结论的“对”与“错”。
”
最后，应当强调的是，尽管“中国的数学教育就是应试教育”这一推论并不成立，但以下却又应当被看成关于如何改进中国数学教学的一个基本立场，即是应当在考试压力不可能在短期内得到解除这一前提下积极地去作出新的发展，这也就是指，各个新的发展或者说改进措施必须与对付考试表现出一定的相容性。
以下就从这一角度提出一些可能的对策。
当然，从长远的角度看，我们又应清楚地认识这样一点：
考试（招生）制度的改革正是中国数学教育改革的瓶颈所在，这也就是指，如果未能在这一方面作出根本性的变革，那么，一切的改革措施就都很难获得成功。
例如，不管某些新的教学理念或教学方式有多好，如果这种理念的实施或教学方法的变革可能会对学生的考试成绩产生一定的影响，那么，这些理念或方法就很难得到真正的实施，在现实中更可能出现阳奉阴违、说一套做一套的现象。
（在笔者看来，我们事实上也可从这样的角度对新一轮数学课程改革作出必要的总结，包括如何正确地去看待教育的社会-文化相关性，以及由此而决定的改革的渐进性。
）
二、对策
以下关于如何改进中国数学教学的各项建议不仅可以被看成上述基本立场的具体反映，而且也集中地表明了努力寻求对立面的恰当平衡这样一种哲学思想，当然，后者并非是指面面俱到的“中庸之道”、相对主义，恰恰相反，如何能在考试压力不可能在短期内得到解除这一前提下积极作出新的发展即应被看成全部工作的重点。
另外，鉴于中国的长期教育传统、特别是教学的规范性质，以及大班教学的现实，我们又将把分析的重点集中于教学方法的改进。
（应当指明，对于教师指导作用的明确肯定也是与现代的学习理论、特别是社会建构主义的基本立场十分一致的。
详可见[4]）
（1） 中国数学教学传统的继承与发展。
显然，从最为一般的角度去分析，这即应被看成中国数学教学传统的一个重要方面，即是对于“应试教育”的自觉抵制与反对。
进而，又如上面所已提及的，我们事实上也就应当从这样的角度去理解以下一些工作的积极意义，即如对于“双基教学”和“变式理论”的深入研究等。
（[5][6]）
当然，又如作者在先前的另一篇文章（[7]）中所指出的，我们在此也应防止简单化与泛化，即如将中国数学教学传统简单地等同于“双基教学”或“变式理论”；另外，更为重要的是，我们又应积极地去对已有的传统作出新的必要发展。
例如，以下或许就可被看成“双基教学”进一步发展的一个重要方向：
基础知识的教学“不应求全，而应求联”，基本技能的教学“不应求全，而应求变”。
（[8]）另外，相对于所谓的“概念性变式”与“过程性变式”这一区分而言，笔者以为，“概念变式”与“问题变式”的区分也许更为恰当；进而，相对于所说的区分而言，我们显然又应更加强调它们的共同本质：
“变化中求不变”、“求变以突出其中的不变因素”。
（[9]）
（2） 由思维方法到情感、态度与价值观。
正如人们现已普遍认识到了的，除去数学知识与技能的学习以外，思维方法的训练以及情感、态度和价值观的培养也应被看成数学教育在更高层次上的目标（对此可统称为数学教育的“三维目标”），这也就是指，我们不仅应当高度重视学生对于具体数学知识与技能的掌握（可称为“短期目标”），而且也应十分关注数学教育的“长期目标”，也即数学思维方法的学习以及积极的情感、态度与价值观的培养。
应当强调的是，这事实上也正是传统的中国数学教学的一个明显不足之处：
“由于集中于具体的数学知识或技能的学习这样的短期目标，数学教育的长期目标，如学生能力、情感和态度的培养等，就很容易在教学中被忽视。
”（[3]）显然，这也就更为清楚地表明了抓紧后一方面工作的重要性。
具体地说，就如上面所已提及的，通过强调数学方法论对于数学教学的指导作用，我们已在努力帮助学生学会数学地思维这一方面已经取得了切实的进展；与此相对照，如何能够充分发挥数学的文化价值、也即通过数学学习帮助学生养成积极的情感、态度与价值观则应说还是一个较新的课题。
为了在后一方面取得切实的进步，笔者以为，我们首先就应更为深入地去认识究竟什么是数学的文化价值？
例如，就正是通过与语文教学的对照，笔者才较为深切地认识到了这样一点：
如果说语文是一种以情感带动知识学习的“情知教学”，那么数学教学则是完全不同的“以知贻情”，其涉及的情感也截然不同，即与理性精神、客观研究、数学美、深层次的智力快乐等密切地联系在一起；进而，数学学习同样也涉及到了人的本性：
人类固有的好奇心、上进心，从而我们也就应当从这样的角度去思考数学的文化价值，包括如何能够更好地去进行数学教学等等。
（[10]）
其次，就数学教学如何能够促进学生情感、态度和价值观的养成而言，笔者以为，我们又应明确反对取代、并列、简单组合等不恰当作法，而应切实立足于渗透，也即应当通过具体数学知识与技能的学习促使学生养成积极的情感、态度与价值观；再则，我们在此又应特别强调教师自身在这一方面的感染力量，这也就是指，“文如其人”：
没有“数学味”的教师不可能真正上出具有“数学味”的数学课。
最后，还应强调的是，就数学的文化价值而言，我们又不仅应当看到数学的积极作用（可称为数学的“善”），也应看到可能的消极方面（数学的“恶”）。
例如，著名数学家西瓦茨（J.Schwartz）就曾针对数学思维的一些主要特征（单一性、简单性、字面性[literal-mindedness]）具体指明了数学对于其它一些学科的消极影响。
（[11]）这些显然也应引起我们的高度重视。
（3） 开放的数学教学。
什么是“开放的数学教学”？
对于这一问题可以从多个不同的角度去进行分析。
例如，上面所提到的“三维目标”事实上就可被看成数学教学目标上的开放性；另外，对于教学方法改革上形式主义倾向的反对则就从一个方面清楚地表明了教学方法开放的重要性。
（[12]）与此相对照，以下的论述将主要集中于数学教学思想的开放性，也即在教学中应籽给学生留下更大的自由空间。
（[13][14]）
具体地说，正如上面所已提及的，规范性正是中国数学教学的一个重要特征。
也正因为此，在现实中就很容易出现如下的现象：
“由于教育的规范性质，因此，在中国的数学课堂上教师始终占据主导的地位，特别是，尽管也强调了教学的启发性以及学生的参与，但教师所希望的又总是课程能按照事先设计的方案顺利地得以进行，特别是，学生能按教师的思路去进行思考，并最终牢固地掌握相应的数学知识和技巧，包括教师所希望学生掌握的数学思维方法。
从而，总的来说，这在很大程度上就可说是‘大框架下的小自由’，也即往往未能给学生的主动创造（以及学生间的互动与交流）留下足够的‘自由空间’；进而，如果教师缺乏自觉性的话，则更可能出现教学处于教师的绝对支配之下、而学生的主动性和创造性则受到严重压制的局面，即如如果过分强调所谓的‘小步走’、‘循序渐进’就会是这样的情况。
”
我们在此并应清楚地看到出现上述现象的文化背景：
“由于中国历来是一个中央集权的国家，因此在教育系统中也就很容易出现以下的‘一层卡一层’的现象：
大纲（课程标准）‘卡’教材——教材的编写必须‘以纲为本’；教材‘卡’教师——教师的教学必须‘紧扣教材’；教师‘卡；学生：
学生必须牢固地掌握教师所授予的各项知识和技能。
这样，作为最终的结果，所有的有关人员，包括教师和学生，其创造性才能就都受到了严重压制。
”（[3]）
当然，就现实而言，我们也应注意防止相反的倾向，即如将“开放”错误地等同于“完全放开”，也即完全放弃了教师所应发挥的指导作用，或是将“创新”错误地理解成“标新立异”，从而就只是重视了多样化而忽视了必要的优化。
（[15]）
从而，在此最需要的就是如何能够切实立足于实际的教学活动积极地去进行研究，以真正实现“开放的数学教学”。
例如，就当前而言，以下就是一些十分重要的课题：
我们在教学中究竟应当如何去引导学生的主动探究？
我们又应如何有效地培养学生提出问题的能力？
希望广大同仁都能在这一方面作出积极的工作，包括现状分析与可能的对策。
最后，考虑到教学的有效性不仅可以被看成中国数学教学的又一重要特征（[3]），在现实中也已重新获得了人们的普遍重视，因此，从这样的角度去分析，这也可被看成改进数学教学的一个重要方面，即是应当很好地去处理在“教学的有效性”与“教学的开放性”之间所存在的辩证关系，特别是，就当前而言，我们不仅应当防止对于数学教育目标的简单化理解（“有效性”总是相对于一定的目标而言的），也即应当同时关注数学教育的短期目标与长期目标，更应在保证教学有效性的同时切实加强教学的开放性。
三、结语
在2004年末于广西南宁召开的数学教育高级研讨会上笔者曾表达了这样一个意见：
适当的聚焦正是数学教育现代发展的一个主要倾向，从而，就当前而言，我们就应重新回到“三论”上来，特别是，即应努力加强“数学教学论”的研究与建设，因为，相对于“数学课程论”和“数学学习论”而言，数学教学论的研究在过去十几年中应当说发展最为滞缓，而切实加强后一方面的工作又应被看成数学教育、特别是课程改革深入发展的迫切需要。
（[16]）
显然，从这样的角度去分析，本文事实上也可被看成后一方向上的一个具体努力；另外，笔者相信，通过数学教育界各位同仁的共同努力，这也将成为中国对于数学教育这一人类共同事业的一个重要贡献。
法国Jean-PierreDemally院士谈法国中小学数学教育
2008年6月6日21:
05 阅读次数:
1528
法国Jean-PierreDemally院士谈法国中小学数学教育
（在第四届世界华人数学家大会中学数学教育论坛上的发言，浙江大学，2007年12月18日）
亲爱的同行们:
首先我要感谢这次华人数学家大会的组委会对我的邀请,特别感谢他们让我参加数学教育的这个小组的研讨.作为一个从几年前参与教育事务的数学工作者,我很愿意谈谈法国的情况.（我是法国学校跨学科标准研究小组的主席）.和许多欧洲其他国家一样,法国教育的很多方面让我感到忧虑,其趋势值得我们来共同分析.
大家知道,法国在科学研究领域扮演重要角色,特别是数学.2006年在马德里召开的国际数学家大会上，有25%的发言人是法国数学家。
在其他科学领域，法国也是名列前茅。
比如物理，生物和医学。
法国在几个主要的技术领域也是领先的，比如核能和航天。
但是，我认为这些只是代表了法国30、40年前的教育成就。
40年前，法国在中小学教育上取得了很好的成绩，小学入学率达到100%，但是只有20-30%的学生进入高中学习。
那时，法国的学校教育水平，和别的国家相比总是遥遥领先。
这得归功于1880年费里法案，对每一个孩子强制实行免费教育．１８８０－１９７０间提出的课程提纲很好----虽然往往很难说什么事情是最理想的----费迪南·比松和他的后继者们做了出色的工作.特别要提到的是他的不朽的著作《教育学词典》,其中的一般原则对今天的小学教育依然是有意义的，但是他们已被今天的教育者所鄙弃.
1．法国当前的情况
然而,40年后,我们面临的是完全不一样的情形.
在PISAOECD2006年scienceproficiency的水平测试中，法国远远落后于芬兰,加拿大,韩国和中国。
英国的成绩也很差.2002年德国的成绩很糟糕,但是2006年的情形看起来有所进步.我认为,这个国际测试不一定很有意义,因为他们只是测试很少的基本技能,许多国家在教学中提供了丰富的内容，这些不能在测试中体现出来.
在法国,有65%的人高中毕业,但是毕业平均成绩很差.实际上,这是有争议的。
因为有些学科,要求显得过高,比如生物.生物学科的要求和其他学科是很不平衡的:
学生甚至都不必使用正确的法语语法书写正确的语句,但是被要求根据作品的艺术风格把握其深刻性;在数学中,已经不要求学生将整数分解成素数的乘积,但是却告诉学生指数函数是微分方程的解（12年级）,并且讨论其存在性和唯一性.
理科的学习让学生感到失败.（可能除了生物和医学）
在过去的十年,大学一年级学习数学的学生减少了50%。
（物理的人数减少得更多）
工业也因缺乏工程和技术人员而受到影响.工程学校的研究水平可能不向大学的情况这样糟糕,也明显比20年前要差---在西方国家中,法国拥有最好的工程技术学校,它是高等教育的一个分支,完全不同于主流大学.（这实际上是法国大学不能吸引最好的学生的重要原因.另一个负面结果就是在很多领域出现了研究和产业的脱节.）然而,中法之间相同年龄学生的学业比较表明,中国学生的平均水平是很好的,最近有人告诉我,在里昂国立应用科技研究院（INSALYON）学习的中国学生通常数学和物理会取得高分---即使他们是因为在中国落榜,而在法国来继续学业的学生--无论如何,他们还是有着扎实的基本功.
教师的专业背景非常差,尤其是数学和物理:
精英学校的学生还是很棒,但是他们占的比例很小;绝大多数的孩子都深为当前的混沌状况所累及---没有经过训练的年轻教师是将来教育要面临的一个严重问题.
太多的学生更愿意学习（运动,艺术,心理学,...）或者更有吸引力的专业（比如医学）．
数学博士的培养保持了很高的水平,但是学生很少（在过去的四十年里,锐减了40-50%）这也是前面的学习过程中训练不到位的又一个后果.和以前相比,法国的数学家正在培养更多的来法求学的中国学生,在很短的时期里,这可能导致博士培养水平的急剧下降---我很担心法国科学的前景,这种情形和其他欧洲国家也很相似.
下面,我来对这些问题作出一些分析.当然有一些社会学的因素,但是我认为,主要的因素还是改革给普通教育带来的负面的影响.既然这些错误已经在大多数西方国家重复上演（可能是开始于美国,然后欧洲盲目跟风）,我想亚洲国家要好好分析这些现象,避免重蹈覆辙.美国的中小学教育水平极低,但是他们从亚洲和东欧国家引入大量高素质的学生来充实他们的博士培养计划.--我怀疑法国和西欧是否有能力这样做.
2．法国学制
✧ 幼儿园：
3-6岁；
✧ 小学：
1-5年级（年龄在6到11岁）
✧ 中学教育：
6到12年级（年龄在11到18岁）
《初中》年级在6到9年级（年龄在11-15岁）
《高中》年级在10-12年级（年龄在15-18岁）=高中
✧ 大学：
18岁以上（Bolognasystem=LMD）
学士：
3年，硕士：
2年；博士：
3年以上
3．1970年以来的重大改革
现在,我要介绍法国1970年以来发生的教育改革--巴黎所谓的1968年5月革命后不久,当时学生持续数个星期上街大规模游行.这些事件是改革最初的政治信号,虽然他们可能没有直接影响改革的内容--这些想法是早已存在的（甚至在没有卷入冲突的政党和社会各界中间）我认为那次改革是在没有考虑其长期后果的情况下展开的.
1969-1972年,中小学进行了重大改革,小学里引入了"积极教学法",改变了传统的阅读,书写和计数的方式.法语是一门字母语言,在教阅读的时候，教师却把法语变成了某种类似中文的表意文字。
教学的重点被放在了学生的社会化上，而不是通过基本方法来习得知识。
数学中，小学一年级不再要求掌握4种算术运算，学生只是开始学习加法。
同时，在10-12年级引入新数学，重点放在精确性上，学习使用集合语言和抽象的线性代数，而不是传统的欧氏几何，在分析中采用高度形式化的语言（ε－δ）。
我自己当学生的时候感觉在高中学习新数学问题不大，但是对于一般的学生来说可能有一点困难，而且缺乏教育目的，比如培养几何直觉。
只要学生在进入高中之前在算术和几何方面获得良好的训练，这是没有问题的。
但是这也恰恰是大多数学生在科学学习中的问题。
当新数学进入更低的年级，小学甚至幼儿园时，灾难便发生了。
我的父亲是一个数学教师，他也不得不在六年级给学生讲，分数是自然数对的等价类。
在8年级，直线被定义成抽象的集合，和实数之间存在一一映射。
这些内容对学生而言是太多了，学习效果在后期会大量显现出来。
1975年，初中教育的一个重要变化就是实行所谓的单轨制[1]，学生进入6年级，不再区分普通学校和技术学校。
（有更可行的课程提纲）实际上，小学学习变得更加低效，大量的学生在高一些的年级成绩陡降。
这种想法后来看来是理想化的，——意料之中的结果是随后的小学教育水平的滑坡！
其直接后果是６－９年级课程内容的急剧减少，毫不夸张的说，现在６年级的要求比过去５年级还要低。
我们发现，绝大多数学生显然不能接受1969年的改革计划,尤其是新数学.1989年,密特朗总统开始了一个新得改革计划,其想法基于政治和意识形态.
其口号是"80%的人应该进入大学学习"（日本是学习的榜样）.数学,尤其是新数学被含蓄地或者明确的指责为非民主的.1985年,教育部颁布了新的教学大纲,其中小学算术的主要部分从小学课程中取消了:
素数,教学内容中还删除了分解因数和求最大公因数!
可以看到一个趋势:
基础数学知识的学习中,机械学习的方式在减少.
很快,发生了灾难性的变革:
学生必须从实验中重新发现所有的知识,而教师只是对步骤进行指导.这是法国教育的文化革命的开端.导致课程急剧衰竭。
改革发生于1991-1992年.10年级的学生过去分成三科：
艺术,科学和经济,现在没有区别了,只有一种科学课程（以前至少三种:
数学-物理,数学-物理-生物,数学-技术）更为严重的是,新的意识形态对教学实践和教学大纲的组织有恶劣的影响.数学和物理的教学不再结合,强调实验（以牺牲理论部分为前提）,以至于数学和物理之间有意义的互动变得不切实实际.实际上,几乎所有的学科（包括文学,科学,历史和地理）都按照这个计划进行"再创造"（包括所有的基础知识）.师范教育的改革也配套进行,师范大学的学生将学习新的教学理论而不是他们本学科的知识和有效的教学实践.
几年后,改革的结果才开始显现（尤其是在大学）,行政管理部门可能还有一些偏见,不愿意精确分析和汇报改革带来的损失.下面的表格是1920年-1970年间和2002年小学的四种算术运算的要求对比.
1920—1970与2002年小学课程比较
subject
ScheduledingradeX
说明
1920-1970
In2003
delay
整数运算
两位数加法
1
2
1年
《在3年级的期末，才要求掌握加法》（2002年课程）
两位整数减法
1
4
>2年
乘2,5/除以2,5
1
4
>2年
与两位数相乘
3
6
>3年
《用纸和笔计算两位整数的乘积》（3位数×2位数）
2001年,46.2%的6年级学生不会1做像64×39这样的乘法,这样的题目自2002年起已经从6年级的全国测试中去除了!
!
!
被两位数除
3
5*
>2年
[但是有限制]《被除数<10000》
任意整数的除法
4
never
?
小数运算
小数
升级会员 