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挖掘教材内涵探索数学思想
挖掘教材内涵探索数学思想
--浅谈教学中对数学思想认识的一点体会
南京市天景山中学奚治国邮编：
211100
提要：
本文就新课程教学中数教材的思想体系进行了深入的挖掘，并针对性的就如何在教学中让学生掌握运用这些数学思想作出了有益的探索，希望给教师一些启发。
关键词：
数学教材数学思想运用解决问题
新课程教材中每个章节都渗透着数学思想方法，数学课程标准中提及“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释及运用的过程……”，即为数学思想方法的建立与运用；在总体目标中要求学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
”“初步学会运用数学的思想方法去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。
”更进一步阐述了数学思想方法的重要性、应用性。
可见，新教材对数学思想方法的建立与运用十分重视，它为培养学生创新思维奠定基础，也为学生终身学习奠定基础。
那么，初中教材中体现着哪些数学思想方法？
如何运用这些思想方法来解决现实问题呢？
下面，就本人在教学过程中的一些体会浅谈新课程中的数学思想方法。
一、新教材所体现的数学思想
新教材中的数学思想方法有很多，归纳起来主要有以下几种思想：
1、用字母表示数的基本思想。
它是最基本的数学语言，是描述和表达数学应用问题的重要策略之一，是中小学教材衔接的转折点。
那么用字母表示数的思想主要内容有两个方面：
第一，要让学生学会在现实情境中理解字母表示数的意义或几何意义。
例1：
4a表示什么？
可以表示为：
如果苹果的价格是4元/千克，买a千克苹果需4a元；也可以表示为：
正方形的边长为a，这个正方形周长为4a。
例2、比较7a与8a的大小。
第二，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。
例1：
一个两位数的个位数是a，十位数是b，则这个两位数可以表示为：
10b+a。
梯形个数
1
2
3
…
n
周长
例2：
观察下列图形并填表
1
1
2
例3：
有四个宽为a，长为3a的矩形，组成一个大矩形。
请你用代数式表示这个大矩形的周长。
（有三种情况）
2、方程思想。
对现实生活中广泛存在的如增长率、产品购销、储蓄利率、工程施工、人员调配、行程等含有等量关系的实际问题，通常可以通过建立方程模型来解决。
教材从七年级到九年级几乎每个章节都贯穿了方程思想，它要求我们教给学生根据具体问题中的数量关系列出方程，让学生体会方程是刻画现实的一个有效的数学模型。
2x-y=0
方程思想在代数中的体现有两个方面：
一是解方程，教材中要求学生掌握的解方程有一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程组，并且根据解方程的思想对比较复杂的方程进行分析。
例如：
探索解方程组
xy+y²=24
的方法。
第二是根据现实问题列方程解决应用题。
其中，审题是
解题的基础，找等量关系是解题的关键。
例1：
某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1／3，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。
已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m³，求该市今年居民用水的价格。
（八年级教材中例题）
5
=
分析：
此题的等量关系是小丽家今年7月份的用水量－小丽家去年12月份的用水量=5m³，根据问题设该市去年居民用水的价格为X元／m³，根据等量关系列方程：
3015
（1+1／3）XX
例2：
某商店将进价为每件8元的商品按每件10元出售，一天可销售200件。
现采用提价销售的办法来增加利润，据预测：
销售单价每提高0.5元，日销售量就减少10件。
问：
如果要使每天的利润为640元，每件的售价应定为多少元？
X
分析：
通过理解题意，找出等量关系：
总利润=每件利润×总件数。
设每件的售价提高X元，根据等量关系列出方程：
0.5
（10+X－8）（200－×10）=640
每件利润总件数总利润
方程思想在有关几何问题中比较典型的体现在以下两个方面：
C′
第一，构造直角三角形，根据勾股定理列方程解决问题。
①根据图形变换构造直角三角形。
E
D
A
例1：
已知将矩形ABCD沿直线BD折叠，
使C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，
C
B
AB=4，求△BDE的面积。
分析：
由题意可证△ABE≌△C′DE，得DE=BE，设ED=EB=X，则AE=8－X，在Rt△ABE中，根据勾股定理列方程为：
（8－X）²+4²=X²
②在解决有关弦的问题时，过圆心的圆作线，构造直角三角形。
O
·
例2：
已知圆中弦AB=6cm，圆心到AB的距离为4cm，
A
B
求的⊙O半径。
第二，运用相似三角形性质，根据比例，列方程解决问题。
M
E
D
C
例1：
已知Rt△ABC中，∠C=90º，AC=3cm，BC=4cm，
H
F
G
B
A
四边形DEFG是△ABC的内接正方形，求正方形的边长。
DE
CM
分析：
过点C作CH⊥AB交DE于M，根据勾固定
AB
CH
理和等积公式，分别求出AB、CH长，运用△CDE∽△CAB，根据=
列方程，求出正方形边长。
3、函数思想。
函数反映了事物之间的广泛联系，揭示了现实世界数量关系和运动、变化规律。
对于现实中普遍存在的最优化问题，例如用料最省、成本最低、利润最大等，可透过实际背景，建立函数模型，转化为求函数的最值问题。
教材中所提及的函数思想主要有以下几个方面。
第一，通过对实际问题情境分析确定一次函数、二次函数、反比例函数的表达式，并体会它的意义。
例：
点燃一支21cm长的蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度s是蜡烛燃烧时间t的一次函数，已知蜡烛燃烧0.5小时后，剩下长度是14cm。
⑴写出s与t之间的关系式。
⑵这支蜡烛共可燃烧多少小时？
分析：
根据题意，设s=kt+b。
当t=0时，s=21；当t=0.5时，s=14，代入到方程，解出k、b。
第二，结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。
例：
填表并观察下列两个函数的变化情况。
x
1
2
3
4
5
…
y1=50+2x
y2=5x
⑴在同一个直角坐标系中，画出上面两个函数的图象，比较它们有什么不同。
⑵当x从1开始增长时，预测哪一个函数的植先达到100。
第三，将实际问题转化为函数模型，运用函数所具有的性质来解决实际问题，特别是解决实际问题中的最值问题。
用一次函数的增减性解决实际问题的最值问题。
例：
某童装厂有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套。
已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米。
可获利45元；已知做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米。
可获利30元，设生产L型号的套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获的利润为y（元）。
⑴写出y（元）关于x（套）的函数关系，并求出自变量x的取值范围。
⑵该厂生产这批童装时，当L型号的童装为多少时，能使该厂所获的利润最大？
最大利润是多少？
用二次函数的性质分析实际问题的最值问题。
例：
某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年来的行情进行调查的基础上，对今年的市场销售与成本进行了预测，如下甲、乙两图，图中甲为线段，乙为抛物线段且6月份时成本最低。
⑴用y1表示每千克售价，y2表示
每千克成本，试写出y1、y2关于月
份x的函数关系式。
⑵若市场售价与成本之差为纯收
益，问何时出售这种蔬菜每千克
的收益最多？
4、图形变换思想。
图形变换是现实生活中广泛存在的一种现象，它不仅是探索一些图形的性质，认识、描述物体的形状和空间位置关系的必要手段，也是解决现实世界中的具体问题，并进行交流的重要工具。
图形变换主要包括轴对称、平移、旋转和相似，它们之间性质的比较如下表：
形状
大小
位置
轴对称
不变
不变
变化
平移
不变
不变
变化
旋转
不变
不变
变化
相似
不变
改变
变化
教材中图形变换思想主要体现在以下几个方面：
1、探索图形变换之间的关系，灵活运用图形变换的组合，进行图形的综合分析。
例如：
请说出下面乙树是怎样由甲树变换而得。
再如：
观察图案
可以看出是哪个基本图形经过怎样的变换产生的？
A
2、数形结合的思想方法。
即研究图形中各种元素之间的关系。
如边与角之间的关系，线段之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。
例：
Rt△ABC中，∠C=90º，BC=4，AC=8，点D在AB上，
E
D
DE⊥AC，DF⊥BC，设DE=x，DF=y。
F
C
B
⑴求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围。
⑵设四边形DECF的面积为s，求s与x之间的函数关系式，并求出何时s有最大值？
A
分析：
根据三角形相似，运用比例列方程。
3、构造直角三角形，运用三角函数解决问题。
C
B
例：
为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，
D
再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60º，∠ACB=45º，
BC=30米，求河的宽度。
分析：
过A作AD⊥BC，构造Rt△ABD和Rt△ACD，运用
三角函数解决。
5、分类讨论思想。
分类讨论思想能培养学生创造性思维，提高学生综合分析问题的能力，其情境是在问题不明确的情况下，借助一一列举的方法来解决问题，从而培养学生解决问题的应变能力和思维敏捷能力（教材是通过练习的形式呈现出来的）。
例：
劳技课上，老师请同学们在一张长为17㎝，宽为16㎝的长方形纸板上剪下一个腰长为10㎝的等腰三角形。
（要求：
等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形边上），请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形面积。
C
B
A
F
D
A
分析：
①②③
C
F
A
C
B
B
6、几何证明的归纳、类比思想。
即为思维的定势与发散，通过对学生定势与发散思维的培养，发展学生情感推理能力及演绎推理能力。
⑴定势思维的培养。
在几何证明中，求边、角相等问题时，一般将所求的
边、角放在两个三角形中或根据所求边与角构造两个三角形，证明两个三角形全等或相等，借助相似或全等来解决问题。
具体的定势过程是：
无法求解全等、相似
找两个三角形
通过边、角代换继续找两个三角形
将所求边、角放到两个三角形中
所求边、角相等求解两个三角形全等或相似再求解三角形全等或相似
例1：
正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足
分别为E、F，试判断AP与EF的大小关系，并说明你的理由。
（如图）
A
D
F
P
E
C
B
分析：
分别将放在两个三角形△ABP和△EFP中，求解它们全等不成功，结合图形容易求解，四边形PECF是矩形，则对角线EF可代换为PC，因此，可以连接PC，求解△ABP≌△CBP（SAS）
⑵发散思维的培养。
发散思维的培养关键是发挥联想，根据条件联想；结
合图形联想；利用求解内容联想；联想所学过定义、性质、；联想所学过的知识等。
遇到等腰三角形就联想到等腰三角形的“三线合一”，遇到角平分线就联想到角平分线上的任一点到这个角的两边距离相等；遇到中垂线就联想到垂直平分线上任一点到线段两个端点距离相等；遇中点就联想到三角形的中位线，等等。
通过一个个的联想，将所求的问题串联在已知的知识体系中，从而便捷的解决问题。
其次，是一题多解。
F
E
P
O
C
D
B
A
例：
ABCD中，E、F、P分别是OB、OC、
AD中点，若AC=2AB，求证EP=EF。
分析：
①由条件可得△ABD是等腰三角形，联想等腰三角形的“三线合一”连接AE；由P为Rt△AED中点，联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；由E、F为△OBC两边中点，联想到三角形中位线定理。
②本题可连接PO并延长交EF于M，证△EPO≌△EFO可得。
7、坐标思想。
确定某一点的位置方法很多，可以选定某个参照物和某个方向，用距离和角度来刻画物体的位置等，关键要培养学生利用坐标来表示某一点的位置。
坐标思想主要体现在根据坐标描出点的位置和由点的位置写出它的坐标。
y
例如：
根据一组点的坐标在坐标系中描出各点，并观察图形像什么？
此类问题关键在于准确无误的描出各点坐标。
B
A
再例：
在直角坐标系内⊙C与y轴相切于D点，
O
x
与x轴相交于A（2，0）B（8，0）两点，圆心C
C
D
·
·
在第四象限，求C点坐标。
E
分析：
解题关键是过点C向x轴（或y轴）作
垂线，构造直角三角形，运用直角三角形知识解决问题。
8、统计思想，随机思想。
统计和概率的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的运用，要接受统计观点、概率思想最有效的方法是让学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断，让学生在具体的情况中体会概率的意义，通过教学让学生加强统计与概率之间的联系，应避免将这部分内容的学习变成数学运算的练习。
例1：
某公司33名职工的月工资如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数（人）
1
1
2
1
5
3
20
工资（元）
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
⑴请你选择一个统计量（平均数、中位数、众数）来代表这个公司员工的工资水平。
⑵你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？
简要说明理由。
分析：
①平均数2091（元），众数1500（元），中位数1500（元）
②中位数和众数都是1500元，更能反映这个公司的员工工资水平，它们都是描述一组数据的集中趋势。
1
5
例2：
小兵和小林都做掷骰子游戏，每次将两个骰子同时掷出，如果小兵掷出点数和为6，则加1分，否则不得分；如果小林掷出的点数和为7，则加1分，否则不得分。
如果他们各掷10次，记录每次得分，10次累计分高的为胜者，你能否确定他俩谁会赢？
掷100次、10000次…他们两个谁赢的概率大一些？
6
36
分析：
P（小兵获胜）=P（小林获胜）=
因为掷10次，实验次数少，其频率不能反映概率，因此，仅投掷10次无法确定谁会赢；但是掷100次、10000次，他们得分的频率逐渐趋于理论概率，从理论上将，小林赢的概率要大。
此外，初中教材中所体现的数学思想还有分解与组合思想、图形的割补思想、配方法思想、添项拆项思想等，由于篇幅有限，不再叙说。
总之，在初中数学教学中，结合教学内容适当介绍有关数学思想及应用实例是非常必要的，它将有助于学生加深对数学的应用特征的理解，并能使学生得到数学应用的初步训练，应该给学生创造机会接触实际问题，并让他们尝试着解决这些实际问题，在应用中学习如何建立数学思想，运用数学思想方法解决实际问题，即如何“用数学”。
二、在教学过程中，如何掌握数学思想，并运用数学思想解决问题，培养学生的创新意识。
新教材中的数学思想方法是通过教学过程中的师生交流、探索、归纳来掌握的，即教材采用了“设置问题情境—建立模型—解释应用与拓展”的模式展开研究。
围绕这个宗旨，我想在教学中应该注意以下四个方面。
1、让学生经历数学知识的形成与应用过程。
让学生经历数学知识的形成与应用过程，从而更好地解释数学知识的意义，掌握必要的基础知识与技能，发展应用数学知识的意义与能力，增强学好数学的愿望和信心。
新教材为学生提供了大量的数学活动线索和丰富的数学活动机会，为学生的数学学习构筑起点，如“字母表示数”中的第一节“a能表示什么”，没有直接向学生呈现“代数式”含义（定义）及相关概念，而是让学生用火柴棒搭正方形，在游戏中经历探索规律过程，并用代数式表示出来，体会“为什么要学习代数式”、“代数式是怎样产生的”，通过活动去获得代数式的基本含义，形成初步的符号感，进而让学生知道要掌握用字母表示数的思想，关键要弄清题意，理解题中的关键词、句的含义，准确地列出算式，将日常文字语言翻译成数学语言，构建数与式的模型。
再如函数思想，不应只关注对其表达式、值域的讨论，而应选取具体实例，使学生体会函数能反映实际事物的变化规律，让学生掌握将实际问题转化为函数问题的函数思想。
因此，我们在教学过程中，可以根据教学内容设计多样化的数学活动形式，创设恰当的问题情境，提供观察、实验、具有生成性的背景资料，蕴涵数学化过程，反映出思维的动向，帮助、引导学生参加数学活动，让学生在乐中学、趣中学、动中学、做中学，掌握数学思想。
2、构建“以问题为中心”的讨论式数学模式。
即通过教师创设情景，启发引导，经过学生自主探索、合作交流，引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，使学生具有初步的创新精神和实践能力。
“以问题为中心”的讨论式教学模式具体地说是由“问题情境、合作讨论、理性概况、应用创新、反思提高”五个环节组成的一种讨论式学习的教学模式。
A
例如：
在专题复习《图形变换》中
D
首先，创设问题情境：
现有一张矩形白纸，你能
图1
C
B
通过折叠得到一个正三角形吗？
其次，讨论、交流两
y
道问题：
①同学之间合作交流：
C
A
例：
（如图1）△ABC绕点C旋转后，顶点A的对应点为D，
⑴试作出旋转后的三角形；
⑵若BC=2cm，∠ACD=80º，
那么点B运动了多少cm？
x
B
O
②师生互动交流：
例：
（如图2）
三角形顶点坐标分别是A（0，4），
图2
B（2，0），C（4，2），
以点O为位似中心，将△ABC缩小，使缩小的△DEF与△ABC对应边的比为1：
2。
请画出△DEF，并写出顶点D、E、F的坐标（通过师生交流可得两种情况，即本题属分类讨论）
A
第三，归纳概况：
平移、旋转、轴对称、相似，从形状、大小、位置等几个方面归纳出它们的异同点。
第四，运用提高。
将两块完全相同的等腰直角三角
E
D
C
B
板摆成如图的平面内。
那么，图形中相似（不包括
F
G
全等）三角形吗？
3、发挥学生自主合作，探究学习，同时充分利用接受性学习传授数学思想。
在课程改革的今天，在倡导新的学习方式的同时，不能完全否定过去的接受性学习，应把接受性学习与探究性学习有机地结合起来，其过程概括为：
教师通过讲解基本数学思想，学生通过听讲、理解、练习、记忆等一系列学习过程，将数学思想构建为学生自身的知识体系。
例如：
在几何证明中应关注基本过程和方法，掌握几何证明的归纳、类比思想。
在这个思想方法传授中，首先，将几何问题化归到两个三角形中利用全等或相似来解决，或化归到直角三角形中利用勾股定理、三角函数来解决，即为思维的定势培养；其次，教给学生学会探索、联想，从三个方面联想，即从已知条件联想、从图形联想、从结论逆推联想，这里所提及的联想就是课程标准所提的归纳、猜想，同时，组织学生探索证明的不同思路，并进行适当的比较、讨论，这就是发散思维的培养，它有利于开阔学生的视野。
4、注重数学思想的运用，提高解决问题的能力。
教学中，应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学思想，
感受数学的规律性、可循性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。
2006年8月
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