小学数学特殊问题整理版附答案.docx

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小学数学特殊问题整理版附答案

小学数学特殊问题（整理版）

一、和差问题：

已知两数的和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题，简称和差问题。

和差问题的解题规律为：

小数加上两数差就是大数，两数和加上两数差便是大数的2倍；大数减去两数差就是小数，两数和减去两数差是小数的2倍。

因此，用两数和加上两数差，再除以2，就可求出其中的大数；用两数和减去两数差，再除以2，就可求出小数。

公式：

（和+差）÷2=大数（和-差）÷2=小数

例题：

1.明明星期天上街买衣服，花75元买了一条裤子和一件上衣，已知上衣比裤子贵15元，明明买上衣花（）元

解设：

上衣x元，则裤子（x-15）元

依题意可得：

x+（x-15）=75

2x=90

X=45

x-15=30

2.在期末数学考试中，甲乙成绩之和为184分，乙丙成绩和为187分，丙丁成绩和为188，甲比丁多一分，问甲乙丙丁各得多少分

解题思路：

187-184=3分丙比甲多三分

188-187=1分丁比乙多1分

因为甲比丁多一分，则：

甲比乙多2分，丙比乙多3+2=5分

（184+2）÷2=93分甲的分数

93-2=91分乙的分数

91+5=96分丙的分数

91+1=92分丁的分数

解设：

乙x分，则甲（184-x）分，丙（187-x）

分，丁为（188-187+x）分

则：

184-x-1=188-187+x

2x=182

x=91

184-x=93

187-x=96

188-187+x=92

答：

甲93分，乙91分，丙96分，丁92分

训练中心：

1.小兰期末考试语文和数学平均分是96分，数学比语文多4分，问小兰语文（）分，数学（）分。

2.学校做扫除，张娟和陈凡一共擦玻璃31块，又知张娟比陈凡少擦9块，张娟、陈凡各擦玻璃（）、（）块。

3.甲筐内有苹果30千克，乙筐内有桔子若干千克，如果从乙筐取出12千克桔子，苹果就比桔子多12千克，乙筐原有桔子（）千克。

4.今年弟弟16岁，哥哥20岁，当两人的年龄和是52时，弟弟（）岁。

5.王老师买回83个球，其中篮球是足球的2倍，足球比排球多5个，这三种球各买了多少个？

6.无线电一厂、二厂共有工人864人，为了照顾工人就近上班，从一厂调入二厂32名工人，这样一厂工人人数还比二厂多48人，一厂、二厂原来各有工人多少人？

二、和倍问题

已知两个数的和与两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，我们通常叫做和倍问题。

解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

公式：

两数和÷倍数和=小数小数×倍数=大数或两数和－小数=大数

例题：

某校买了几支红铅笔和白铅笔，已知红铅笔和白铅笔的和是64支，红铅笔是白铅笔的3倍，求两种铅笔各几支。

例题解说：

“红铅笔是白铅笔的3倍”表示白铅笔是一倍数，红铅笔是三倍数。

因此，我们可以把白铅笔设为一倍数：

用x表示，那么红铅笔就是白铅笔的3倍，用3x表示，“红铅笔和白铅笔的和是64支”就是说很红铅笔的支数+白铅笔的支数=64支（总支数）

解：

设白铅笔为x（一倍数）支，那么红铅笔为3x支。

x+3x=64

4x=64

x=64÷4

x=16

红铅笔：

3x=3×16=48（支）

答：

白铅笔有16支，红铅笔有48支。

训练中心：

1.三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗．第三堆糖果有多少颗？

2. 549是甲、乙、丙、丁4个数的和．如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等．求4个数各是多少？

（☆☆☆☆）

3.有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米？

4. 甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食．其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的3倍多1吨，而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的2倍．问：

甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？

三、差倍问题

差倍问题就是已知两个数的差与两个数的倍数关系，求这两个数是多少的应用题。

差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。

公式：

两数之差÷（倍数-1）=小数小数×倍数=大数或小数+两数之差=大数

例题：

六

（1）班与六

（2）班原有图书的本数一样多，后来，六

（1）班又买来新书100本，六

（2）班从本班原有书中取出180本送给三年级同学。

这时，六

（1）班的图书是六

（2）班所剩图书的3倍。

求两班原有图书各多少本？

例题分析：

原来两个班的图书本数一样多，后来，六

（1）班买进100本，六

（2）班送出180本，这时，两个班相差280本。

又知，这时六

（1）班的图书是六

（2）班所剩图书的3倍，则两班图书的相差数应是六

（2）班所剩图书的（3—1）倍，这样，六

（2）所剩图书的本数即可求得。

随之，原有图书本数也可以求出来了。

计算：

（1）六

（2）班所剩图书多少本？

　　（180＋100）÷（3—1）

　　=280÷2=140（本）

（2）两个班原有图书各多少本？

　　140＋180=320（本）

　　答：

两个班原有图书各320本。

解设六

（2）班所剩x本书

依题意得（3-1）x=100+180

2x=280

x=140

所以140+180=320（本）

答：

两个班原有图书各320本。

训练中心：

1.第一粮仓存的小麦比第二粮仓多96吨。

后来，从两仓各运出小麦30吨，所余小麦第一仓恰是第二仓的3倍。

两仓原来各存小麦多少吨？

2.大水池里现在有水880立方米，小水池里现在有水200立方米。

计划往两水池里注入同样多的水，使大水池的水量是小水池水量的3倍。

求两水池各应注入多少立方米的水？

3.参加科技小组的人数，今年比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人。

两年各有多少人参加？

四、植树问题

1.植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。

2.为使其更直观，用图示法来说明。

树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。

专题分析+公式：

一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。

1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：

株数=段数+1=全长÷株距+1。

2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：

株数=段数=全长÷株距。

3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：

株数=段数－1=全长÷株距-1。

4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数比要分的段数多1再乘二，即：

株数=（段数+1）×2。

二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：

株数=段数=全长÷株距。

三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。

则株数=（每边的株数－1）×边数。

例题：

1.长方形场地：

一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米．这个苹果园共种苹果树多少棵？

解法一：

　　①一行能种多少棵？

84÷2=42（棵）．|

　　②这块地能种苹果树多少行？

54÷3=18（行）．

　　③这块地共种苹果树多少棵？

42×18=756（棵）．

　　如果株距、行距的方向互换，结果相同：

　　（84÷3）×（54÷2）=28×27=756（棵）．

解法二：

　　①这块地的面积是多少平方米？

　　84×54=4536（平方米）．

　　②一棵苹果树占地多少平方米？

　　2×3=6（平方米）．

　　③这块地能种苹果树多少棵？

　　4536÷6=756（棵）．

2.直线场地：

在一条公路的两旁植树，每隔3米植一棵，植到头还剩3棵；每隔2.5米植一棵，植到头还缺少37棵，求这条公路的长度。

解法一：

（代数解法）

设一共有x棵树

【（x-3）/2-1】X3=【（x+37）/2-1】X2.5

x=205

公路长:

【（205-3）/2-1】X3=300

答:

公路长度为300米

解法二：

（算术解法）

思路：

首先，我们在两边起点处各栽下一棵树，这两棵树与路长没有关系，以后每栽下一棵树，不论栽在哪一侧，植树的路线（不是路）就增加一个间距，为了简单起见，我们按单侧植树来考虑。

当按3米的间距植树时，最后剩下3棵，也就是说植树的路线要比路长出3个间距，3×3=9米，当按2.5米的间距植树时，最后还缺37棵树，也就是说植树的路线比路短了37个间距，2.5×37=92.5米，两次相差9+92.5=101.5米，两次植树的间距相差是3－2.5=0.5米，据此可以求出树的棵数：

（不包括起点的2棵）101.5÷0.5=203（个）

知道了树的棵数，就可以求出植树路线的长度了：

3×（203－3）=600（米）或2.5×（203+37）=600（米）

因为是双侧植树，所以路长为：

600÷2=300（米）

综合算式为：

3×〔（3×3+2.5×37）÷（3－2.5）－3〕÷2=300（米）

或2.5×〔（3×3+2.5×37）÷（3－2.5）+37〕÷2=300（米）（过程略）

答：

公路长度为300米。

3.圆形场地（难题）：

有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。

如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。

可栽丁香花多少株？

可栽月季花多少株？

每2株紧相邻的月季花相距多少米

解：

根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数：

120÷6=20（株）

由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：

2×20=40（株）

由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：

6÷3=2（米）

答：

可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。

训练中心：

1.在一条长80米的小路旁种松树，每隔16米种一棵，两端都种，共可以种树多少棵？

2.在相隔50米的两座楼房之间种桃树，每隔5米种一棵，共可以种树多少棵？

3.一个正方形鱼塘的周长是1200米，在4个角上都种上树后，每条边上都有16棵树，求每棵树之间相距多少米？

4.小张要到金鹰大厦的18层去上班，一日因停电，他步行上楼。

他从一层到6层用了100秒，如果用同样的速度，走到18层，还需要多少秒？

（两种解法）

五、盈亏问题

盈亏问题就是把一定的总数，分配给一定的对象，由于每份数分法不同，导致分后结果有盈（多）有亏（少）的一种典型应用题。

解题关键：

解决盈亏问题，往往先用结果的相差数除以每份的相差数，求出对象的数量，进一步求出分配的总数。

所以在讲解时，应引导学生牢牢抓住两种分法上总的相差数和每次相差数

三年级要求：

掌握三类基本题型及解题思路和方法

四年级要求：

掌握三类题型的变化题型的转化思路和转化方法（讲解时注意运用对比例子，对比引导学生进行条件转换）

公式：

（盈+亏）÷两次分配量之差=参加分配的份数

（大盈-小盈）÷两次分配量之差=参加分配的份数（大亏-小亏）÷两次分配量之差=参加分配的份数

基本题型展示：

1.第一类：

一盈一亏

例1：

阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？

分析：

依题中条件，我们可知：

       第一种分法：

每人3块，还剩16块

       第二种分法：

每人5块，还少4块

我们可以比较看出：

由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以不仅把那剩下的16块分完，还少4块，总数上，第二次比第一次多16+4=20块，换句话说：

每人多分2块，就得多分20块，我们就可以算出有多少人了，20÷2=10（人），那总饼干数就

是：

10×3+16=46（块）或10×5-4=46（块）

或可用方程解：

设共有饼干x块

则依题意得（x-16）÷3=（x+4）÷5

等价于（x-16）×5=（x+4）×3

去括号5x-3x=80+12

得2x=92

x=46

所以幼儿园的小朋友有（x-16）÷3=（46-16）÷3=10

答：

有10个小朋友，46块饼干。

2.第二类：

二次都是盈

例：

阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就多4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？

分析：

依题中条件，我们可知：

       第一种分法：

每人3块，还剩16块

       第二种分法：

每人5块，还多4块

我们可以比较看出：

由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由剩下16块变成只剩下4块，总数上，第二次比第一次多16-4=12块，换句话说：

每人多分2块，就得多分12块，我们就可以算出有多少人了，12÷2=6人，那总饼干数就是：

6×3+16=34或6×5+4=34

 或方程解：

设小朋友有x人

则依题意得3x+16=5x+4

2x=12

x=6

所以饼干有3x+16=3×6+16=34

或5x+4=5×6+4=34

答：

幼儿园有6位小朋友，34块饼干。

3.第三类：

二次都是亏

例：

阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则少4块饼干；如果每人分5块，那么就少16块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？

分析：

依题中条件，我们可知：

       第一种分法：

每人3块，还少4块

       第二种分法：

每人5块，还少16块

我们可以比较看出：

由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由少4块变成了少16块，总数上，第二次比第一次多16-4=12块，换句话说：

每人多分2块，就得多分12块，我们就可以算出有多少人了，12÷2=6人，那总饼干数就是：

6×3-4=14或6×5-16=14

或方程解：

设有x个小朋友

则依题意得3x-4=5x-16

2x=12

x=6

所以饼干有3x-4=3×6-4=14

或5x-16=5×6-16=14

答：

幼儿园有6个小朋友，14块饼干。

训练中心：

1.某校同学排队上操.如果每行站9人，则多37人；如果每行站12人，则少20人.一共有多少学生？

（一盈一亏）

2.小明计划用若干天读完一本书，如果每天读18页，还剩120页；如果每天读22页，还剩下100页；小明计划几天读完？

这本书共多少页？

（二次都是亏）

3.同学们种树，如果每人种2棵，还有18棵没种；如果每人种5棵，还有3棵没种。

问有多少学生共种多少棵树？

（二次都是盈）

4.（语言上的变化）小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校.小强家到学校的路程是多少米？

（1500）

5.同学去划船，如果每只船坐4人，则少1只船；如果每只船坐6人，则多出4只船，问同学们共多少人？

租了几只船？

6.（条件上的变化）学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？

7.老师给学生分苹果，如果每人分2个，还多30个，如果其中的12位小朋友每人分3个，剩下的每人分4个，正好分完，一共有多少个小朋友？

有多少个苹果？

六、相遇问题

相遇问题是学生在掌握行程问题基本数量关系的基础上，理解相遇问题的运动特点、数量关系和解题思路，并能解答简单的相关问题。

一般分为两个步骤：

①已知两物体的运动速度和相遇时间，求路程。

②一直两物体的运动速度和路程，求相遇时间。

要求用方程解决相遇问题中求相遇时间的问题。

旧知识复习：

小华每分钟走65米，走了4分钟，一共走了多少米？

答案：

65×4=260（米）这样列式的原因：

路程=速度×时间

公式：

路程和=速度和×相遇时间速度和=路程和÷相遇时间相遇时间=路程和÷速度和

例题展示：

1．已知小明每分钟走70米，小丽每分钟走56米，一天他们在路的两端同时出发，经过半小时后两人相遇，问这条路多长？

解题思路：

因为速度×时间=路程，同时在两端出发到相遇的小明和小丽所用时间为半小时（即30分钟），从题意中看出小明和小丽走的路程相加就是这条公路的长度。

所以：

算术解得（70+56）×30

=126×30

=3780（米）

答：

这条公路一共3780米

2．甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，两人几小时后相遇？

分析：

相遇时间=路程和÷速度和

20÷（6+4）

=20÷10

=2（小时）

答：

两人2小时后相遇。

或方程解设两人x小时后相遇

依题意得（6+4）x=20

10x=20

x=2

答：

两人2小时后相遇。

3．甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行48千米，乙每小时行42千米，两车在离中点18千米处相遇，求AB两地间的距离？

分析：

“两车在离中点18千米处相遇”，由于甲的速度更快，说明他们相遇时，甲过了中点18千米，而乙离中点18千米，那甲比乙多走了18+18=36千米，一小时甲比乙多走48-42=6千米，我们就可以算出相遇时间：

36÷6=6小时，再依公式路程和=速度和×相遇时间=（48+42）×6=540千米

或可方程解设经过x小时后甲、乙相遇

依题意得（48-42）x=18×2

6x=36

x=6

所以AB两地相距（48+42）×6=540（米）

答AB两地的距离是540米。

4．甲乙两人同时从A到B地，甲每分钟行250米，乙每分钟行90米，甲到达B地后立即返回A地，在离B地1200米处与乙相遇，A、B两地相距多少千米？

分析：

画图，从图中我们可以知道，甲比乙多走了2个1200，甲每分钟比乙多走250-90=160米，我们就可以求出总共走了多少时间：

2×1200÷160=15分钟，那么A、B两地相距：

250×15-1200=2550米

如图所示：

AB

也可设两人共走了x分钟甲：

依题意得（250-90）x=1200×2乙：

x=15距离1200米相遇

所以250×15-1200=2550或90×15+1200=2550（米）=2.55（千米）答：

AB两地相距2.55千米。

训练中心：

1．从北京到沈阳的铁路长738千米．两列火车从两地同时相对开出，北京开出的火车，平均每小时行59千米；沈阳开出的火车，平均每小时行64千米．两车开出后几小时相遇？

2．甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行54千米，乙车每小时行53千米，经过5小时相遇，两地相距多远？

3．两个工程队合开一条670米的隧道，同时各从一端开凿．第一队每天开12.6米，第二队每天开14.2米．这个隧道要用多少天才能打通？

打通时两队各开凿多少米？

4．甲乙两人同时从相距1395米的两地相对而行，9分钟相遇，已知甲每小时走69米，乙每分钟走多少米？

.

5．甲乙两人同时从两地骑车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行10千米，两人在距中点5千米处相遇，求两地间的距离

6．甲乙两人同时从A到B地，甲每分钟行250米，乙每分钟行90米，甲到达B地后立即返回A地，在离B地3200米处与乙相遇，A、B两地相距多少千米？

七、追及问题

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

公式：

①速度差（也叫追及距离）×追及时间=追及路程/追及路程＝（快速－慢速）×追及时间②追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）/追及路程÷速度差=追及时间（同向追及）③速度差=追及路程÷追及时间【上面①②两条公式中任选一条记住】

例题：

1.好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

解：

（1）劣马先走12天能走多少千米？

（追及路程）

75×12＝900（千米）

（2）好马几天追上劣马？

（追及时间）

900÷（120－75）＝20（天）

答：

好马20天能追上劣马。

也可方程解：

设好马x天能追上劣马

已知速度差×追及时间=追及路程

依题意得：

（120-75）x=75×12

45x=900

x=20

答：

好马20天能追上劣马。

2．小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。

小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解析：

小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。

又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，则可求出小亮的速度。

算术解：

（500－200）÷［40×（500÷200）］

＝300÷100

＝3（米）答：

小亮的速度是每秒3米。

方程解：

设小亮的速度是每秒x米

已知小明的速度是200÷40=5（米）

依题意得（5-x）×［40×（500÷200）］=200

（5-x）×100=200

5-x=2

x=3

答：

小亮的速度是每秒3米。

3．一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

解析：

这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。

从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间。

这个时间为16×2÷（48－40）＝4（小时）

所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）

答：

甲乙两站的距离是352千米。

（可用相遇问题的思路解题）或方程解如下：

解：

设经过x小时客车和货车相遇

依题意得（48-40）x=16×2

8x=32

x=4

所以两站间的距离为（48+40）x=88×4=352

答：

甲乙两站的距离是352千米。

训练中心：

1．某校组织学生排队去春游，步行速度为每秒1米，队尾的王老师以每秒2.5米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10秒，求队伍的长度是多少米？

2．两列火车从甲乙两地同时相对开出,4小时后在距中点48千米的地方相遇，一直慢车是快车的5/7（慢车：

快车=5:

7），他们的速度分别是？

甲乙相距？

.

3．兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。

哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。

问他们家离学校有多远？

4.如图，在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒5米，乙每秒4米，每人跑100米都要停10秒，那么甲追上乙需要多少秒？

5．孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。

后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。

求孙亮跑步的速度。

6．一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40