初中数学知识点总结北师大版.docx

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初中数学知识点总结北师大版

初中数学知识点总结（北师大版）

丰富的图形世界

生活中的立体图形：

长方体、正方体、圆柱、圆锥、球。

圆柱：

两个底面是等圆。

圆锥：

像锥子，底面是圆。

正方体：

有六个面，每个面都是正方体。

长方体：

有六个面，每个面都是长方体。

棱柱：

底面是多边形，上下底面图形的形状和大小都相同，侧面如长方形。

球：

圆的，可以滚动。

图形的构成元素:

点、线、面。

（线有直线曲线，面有平面曲面之分）点动成线，线动成面，面动成体。

柱体：

圆柱和棱柱。

椎体：

圆锥和棱锥（底面是多边形，侧面是三角形）。

圆柱：

由长方形旋转而成；圆锥：

由三角形旋转而成；球：

是由圆旋转而成。

展开与折叠

棱柱的棱：

棱柱中任何两面的交线；侧棱：

棱柱中相邻两个侧面的交线。

棱柱的性质：

侧棱的上下底面都相同，侧面是长方形或者正方形。

棱柱的所有棱长都相等。

侧面的个数与底面多边形的边数相等。

棱柱的分类：

根据底面多边形的边数，可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…..n棱柱有2个底面，n个侧面，共n+2个面，2n个顶点，3n个侧棱。

欧拉公式：

v+f-e=2.（v表示多面体的顶点数，f表示面数，e表示棱数）

截面：

用一个平面去截一个几何体，截出的面叫截面。

截面是平面图形。

三视图：

主视图：

从正面看到的图形；左视图：

从左面看到的图形；俯视图：

从上面看到的图形。

生活中的平面图形：

（1）多边形：

在同一平面内，由一些不在同一平面内的点依次首尾相连组成的封闭图形。

多边形是由线段组成的，既没有曲线也没有弧。

圆和扇形：

圆是由曲线围成的封闭图形。

一个圆可以把平面分为3个部分，即圆内、圆上、圆外。

圆上两点之间的部分叫弧。

由一条弧和经过这条弧两端点的半径组成的图形叫扇形。

圆可以分成若干个扇形。

有理数及其运算

负数的产生。

0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界数。

整数和分数都是有理数。

数集：

有理数集、整数集、正数集、负数集。

数轴：

规定了原点、正方向、单位长度的直线。

任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

相反数：

如果两个数只有符号不同，这两个数就互为相反数，在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

互为相反数的两个数和为0。

绝对值：

一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。

A的绝对值表示为︱a︱。

有理数的加法：

把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

加法法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加：

绝对值相等时和为0，绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加仍得这个数。

加法的交换律a+b=b+a;加法的结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）.

有理数加法口诀：

两数相加很重要，计算处处要用到；学好法则是关键，关键是要看符号；法则分为同异号，同号异号要分好；同号相加分正负，符号不变取同号；正取正来负取负，相加计算错不了；异号相加大减小，符号小心确定好；绝对大小定正负，互为相反和为零。

有理数的减法意义：

已知两个数的和及其中一个数，求另一个数的运算叫做减法，减法是加法的逆运算。

有理数的乘法（除法）

有理数乘法法则：

两数相乘（除），同号得正，异号得负，再把绝对值相乘（除）；任何数与0相乘，积为0.0除以任何非0的数都得0.

乘法交换律：

ab=ba;结合律：

（ab）c=a（bc）;分配率：

a（b+c）=ab+ac

乘积为1的两个数互为倒数。

0没有倒数，除0之外的有理数均存在倒数。

除法：

①除以一个数等于乘以这个数的倒数。

②0不能作除数。

字母表示数

字母能表示什么

用字母表示数就是将表示基本数量关系的文字语言转换为数学语言，这样可以使问题变得既准确又简单明了。

用字母表示数字的特点。

任意性：

字母可以任意表示数或者式子。

限制性：

字母的取值应该使具体代数式有意义。

确定性：

字母取值一旦确定，代数式的值也就确定了。

抽象性;字母取代数更准确地反映了事物的规律，更具一般性。

用字母取代数应注意：

同一问题中，不同的数或数量要用不同的字母表示；

用一个字母表示的数字往往不仅仅是一个数；

字母表示数虽有任意性，但有时会受到实际问题或有关运算规则的限制而存在局限性；

多个字母表示一种数量关系时，字母的取值会相互制约，不可各自为政。

例如a÷（b-c）,例如a,b,c可以是任意的数，但是b,c两字母不能相等。

代数式：

用运算符号把数或者表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的数或者字母也是代数式。

代数式的计算：

合并同类项：

①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

③在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

平面图形及其位置关系

线段、射线、直线

线段的特点：

直的、有长短，没有粗细。

表示方法：

用两端的字母表示。

如线段AB。

射线：

将线段一段无限延长就形成了射线，射线只有一个断点。

直线：

将线段两端无限延长就形成直线。

表示方法：

直线AB。

直线的性质：

过两点有且只有一条直线。

直线是向两方无限延伸到，无端点，不可度量，不可比较大小。

直线上有无穷多个点两条直线至多有一个公共点。

线段、直线、射线的区别：

直线可以向两端无限延伸没有端点，射线可以向一端无限延伸，只有一个端点，线段不可以延伸有两个端点。

比较线段的长短两点之间线段最短。

线段的中点：

把一条线段分成两条相等两条线段的点。

比较两条线段的方法：

叠合法、度量法。

角的度量与表示

定义1:

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

定义2：

一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置形成的图形。

表示方法：

1.用三个大写字母表示：

∠AOB；2.用数字或者希腊字母表示。

度量方法：

用工具量角器：

对中，重合，读数；

角的比较

一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角（180°）。

始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角（360°）。

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

直角：

平角的一半为90°锐角：

大于0°小于90°；钝角大于90°小于180°。

一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

4.5平行：

①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

4.6垂直：

①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂直平分线：

垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。

垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了两点后一定要把线段穿出两点。

垂直平分线定理：

性质定理：

在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；

判定定理：

到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上。

角平分线：

把一个角平分的射线叫该角的角平分线。

定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点

性质定理：

角平分线上的点到该角两边的距离相等

判定定理：

到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上

第五章一元一次方程

一元一次方程：

①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：

去分母，移项，合并同类项，把未知数系化为1.

生活中的数据

科学计数法：

把一个大于10的数表示为a×10^n.其中1≤a＜10,n是正整数。

扇形统计图：

用总个圆的面积表示总体，用圆内的扇形面积表示各部分占总体的比。

统计图：

条形统计图（可以清楚地表示出每个项目的具体数目）、折线统计图（清楚地反映出事物的变化情况）、扇形统计图（清楚地反映出各部分在总体中所占的比例）。

可能性

必然事件:

事先能确定一定能发生的事件；

不可能事件：

事先一定能肯定不发生的事件。

整式的运算

单项式：

数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

整式运算：

加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

幂的运算：

AM+AN=A（M+N）（AM）N=AMN（A/B）N=AN/BN除法一样。

整式的乘法：

①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。

②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式两条：

平方差公式：

（a+b）（a-b）=a^2-b^2

完全平方公式：

（a±b）^2=a^2±2ab+b^2

整式的除法：

①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

分解因式：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

方法：

提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。

分式：

①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式的运算：

乘法：

把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

除法：

除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：

①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

余角与补角

如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。

同角（或等角）的余角相等。

如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。

同角（或等角）的补角相等。

对顶角：

如果两个角有公共顶点且他们的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角。

对顶角相等。

直线平行的判定方法：

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行。

平行线的性质：

两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

生活中的数据

微米，纳米，科学计数法:

绝对值小于0.1的数字的计数法。

近似数的精确度：

四舍五入到哪一位就是精确到哪一位；

有效数字：

对于一个近似数从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

概率

P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，0＜P（不确定事件）＜1。

认识三角形

三角形分类：

锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；

等腰三角形，等边三角形，不等边三角形。

三角形的中线、角平分线、高线。

定理三角形两边的和大于第三边

推论三角形两边的差小于第三边

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

三角形的重心：

中线的交点；内心：

角平分线的交点；垂心：

高线的交点。

全等三角形判定方法:

边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等

斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）

推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

第六章变量之间的关系

变量：

在某一变化过程中，可以取不同数值的量。

自变量、因变量。

生活实例:

小车下滑的时间、变化中的三角形、温度的变化、速度的变化。

生活中的轴对称

如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

角是对称图形。

定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

线段是轴对称图形，

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

，a,b为直角三角形的直角边，c为斜边。

实数

平方根：

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即

，那么x就叫做a的立方根。

求一个数a平方根的运算叫做开平方,a叫做被开方数。

立方根：

一般地，如果一个数x的立方等于a,即

，那么x就叫做a的立方根。

求一个数a立方根的运算叫做开立方,a叫做被开方数。

图形的平移与旋转

平移：

在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移不改变图形的形状与大小。

旋转：

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某一方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

四边形性质探索

平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等，

若两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

平行四边形的判别

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

菱形的判定方法：

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

四条边都相等的四边形是菱形。

菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

一组邻边相等的矩形叫做正方形，它具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

梯形：

一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形

多边形：

在平面内由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形。

外角：

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。

多边形内角和

多边形外角和为

中心对称图形：

在一个平面内一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后图形互相重合，那么这个图形是中心对称图形。

位置的确定：

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

函数：

一般的在某个变化过程中，有两个变量x和y,如果给定一个x值，就相应地确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

一次函数：

若两个变量x,y间的关系式可以表示成

的形式，则称y是x的一次函数，当b=0时，称y是x正比例函数。

一次函数的图象：

①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经过2，3，4象限；当K〈0，B〉0时，则经过1，2，4象限；当K〉0，B〈0时，则经过1，3，4象限；当K〉0，B〉0时，则经过1，2，3象限。

④当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X值的增大而减少。

二元一次方程：

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：

两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：

代入消元法、加减消元法。

算术平均数：

一般的，对于n个数

，我们把

叫做这n个数的算术平均数。

中位数：

一般的，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

众数：

一组数据中，出现次数最多的那个数叫做这组数据的众数。

平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们刻画了这组数据的平均水平。

不等式：

一般的，用符号

连接式子叫做不等式。

在不等式中，如果不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变；例如：

A>B,A+C>B+C；

在不等式中，如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；例如：

A>B，A*C>B*C（C>0）；

在不等式中，如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变；例如：

A>B，A*C

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号。

不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：

关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

分解因式：

把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

分解因式的方法：

提公因式法、公式法

、

分组分解法、十字相乘法

分式：

整式A除以整式B，可以表示为

的形式，如果除式B中含有字母，那么

为分式。

其中A为分子，B为分母，对任意分式分母不能为0.

分式的性质分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。

分式的乘除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按照同分母分式的加减法法则进行计算。

分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

相似图形

四条线段a,b,c,d中，如果

那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。

如果

那么ad=bc;

如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么

如果

那么

；

如果

，那么

。

黄金分割值：

≈0.618.

相似三角形：

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。

相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

数据的收集与处理普查、抽样调查、总体、个体、样本、频数、频率、极差、方差，标准差

证明命题、条件、结论、真命题、假命题

公理同位角相等，两直线平行

定理内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行

两直线平行，同位角相等、两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角互补

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

常用的一些定理和公理

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、同位角相等，两直线平行

10、内错角相等，两直线平行

11、同旁内角互补，两直线平行

12、两直线平行，同位角相等

13、两直线平行，内错角相等

14、两直线平行，同旁内角互补

15、定理三角形两边的和大于第三边

16、推论三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18、推论1直角三角形的两个锐角互余

19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全等三角形的对应边、对应角相等

22、边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23、角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24、推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25、边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等

26、斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）

31、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42、定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系

，那么这个三角形是直角三角形

48、定理四边形的内角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理