一元二次函数教案.docx
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一元二次函数教案
二次函数教案
教学应从生活中的实例引出二次函数，进而总结出二次函数定义：
（a，b，c为常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.它是从实践中来，上升为理论的方法，使学生由感性到理性，感到真实贴切，易于接受.进而引导学生自己列表，动手画出二次函数y=x2，y=-x2的图象，总结出其性质，图象的形状--抛物线.以二次函数y=ax2为基础，以具体实例研究，然后由两个特殊型过渡到一般型的二次函数.要始终把由特殊到一般的思维方法孕育在教学中，把配方法交给学生，待定系数法确定二次函数解析式展现给同学们，再通过描点画出二次函数的图象，结合图象确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、图象的平移规律.图象是轴对称图形，并由二次函数的一般形式，通过配方写成顶点式的形式；结合二次方程的有关知识，由一般式可写成截距式的形式.三种形式实质是一致的，各有千秋，要向学生揭示各种形式的特点[如知其抛物线过三点时，可选用一般式求解；知其图象与x轴有交点时，可选用截距式求解]，以例在求函数解析式时灵活运用.
在教学中，要始终贯彻数形结合法、归纳法、演绎法、配方法、待定系数法.要求动手画图，动脑思考，精心观察，培养学生的各种思维方法.
批点迷津
二次函数这一内容，必须牢记数形结合法进行思维，知其三点求二次函数解析式的方法.如何结合代数、几何、锐角三角函数及生活实际等找到这三点，是求二次函数解析式的关键所在，要根据其性质、平移规律等进行思维，精心观察，数形结合，才能找到解题的突破口，并根据自变量的取值范围画出图象.一般地说，二次函数的图象是一条抛物线，那么x取值范围必须是实数.若x的取值范围在某一区间，则所画图象只是抛物线的一部分.根据实际问题，有时是整数点.总之，要根据自变量的取值范围具体画出图象.
在本单元，除抓住"数形结合法"这根主线，对动静的互相转化的辩证关系也要把握适时.
二、学海导航
思维基础
（一）1．二次函数的图象的开口方向是向，顶点从标是，对称轴是。
2．抛物线的顶点在x轴上，则m的值等于.
3.如果把第一条抛物线向上平移个单位（a?
0），再向左平移个单位，就得到第二条抛物线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是
.
（二）1.如图代13-3-1所示二次函数的图象，则有（）
图代13-3-1图代13-3-2
A.a+b+c?
0B.a+b+c=0C.a+b+c?
0D.a+b+c的符号不定
2.如图1-3-2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（）
A.a?
0，b?
0，c?
0，b2?
4acB.a?
0，b?
0，c?
0，b2?
4ac
C.a?
0，b?
0，c?
0，b2?
4acD.a?
0，b?
0，c?
0，b2?
4ac
3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（）
A.或
B.或
C.或
D.或
学法指要
例在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若∠ACB=90°，.
（1）求点C的坐标及这个二次函数的解析式；
（2）试设计两种方案，作一条与y轴不生命，与△ABC的两边相交的直线，使截得的
三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一.
【思考】（第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？
2.如何求抛物线与y轴的交
点坐标？
3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？
4.线段与坐标之间有何种关系？
你会用坐标表示线段吗？
【思路分析】本例必须准确设出A，B两点坐标，再求出C点坐标，并会用它们表
示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成.
解：
（1）依题意，设A（a,0）,B（,0）其中a?
0,β?
0，则a,β是方程
∴AOC∽△COB。
把A（-4，0）代入①，得
解这个方程得n=2.
∴所求的二次函数的解析式为
现在来解答第二问。
【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？
什么样的三角形与△ABC相似？
在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？
在一个图形上作一和直线，需要确定什么？
△ABC是一个什么样的三角形？
【思路分析】①所求的三角形与△ABC相似；②所求的三角形面积=
所求三角形若与△ABC相似，要具备有"两角对应相等"，"两边对应成比例且夹角相等"，"三边对应成比例"等判定两三角形相似的条件。
在两三角形相似的条件下，"两三角形面积的比等于相似的平方"，即找相似比等于1:
2.
在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y轴重合。
分析至此问题十分明确，即在△ABC的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。
再来分析△ABC是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。
从第一问得知的条件A（-4，0）B（1，0），C（0，-2）可用勾股定理推出，△ABC确是直角三角形。
这样△ABC∽△CAO∽△BCO，且为作符合条件的直线提供了条件。
下边分述作符合条件直线的方案。
方案1:
依据"三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似"，其相似比是1:
2，面积的比为1:
4。
作法：
取AO的中点D，过D作DD?
∥OC，
∴D?
是AC的中点。
∴AD：
AO=1：
2，
即△AD?
D=.
△AD?
D∽△ACO∽△ABC.
图代13-3-3
∴DD?
是所求作的直线，AD?
D是所求作的三角形。
方案2：
利用∠C作一个△BCF△COB。
作法：
在CA上截取CE，使CE=CO=2，在CB上截取CF，使CF=BO=1，连结EF，则△BCF即为所求，如图代13-3-4所示。
请读者证明。
图代13-3-4图代13-3-5
方案3：
在AC上截取AG，使AG=CO=2，在AB上截取AH，使AH=BC=，连结GH，则△AGH为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。
方案4：
在CA上截取CM，使CM=BO=1，在CB上截取CN，使CN=CO=2，连结MN，则△CMN为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。
图代13-3-6图代13-3-7
方案5：
在BA上截取BP，使BP=BC=，在BC上截取BQ，使BQ=BO=1，连结PQ，则△BPQ为所示，如图代13-3-7所示。
请读者去证明。
思维体操
例一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面米，铅球落地点距离铅球刚出手时
相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.
图代13-3-8
如图，结合题意，知抛物线过，用一般式：
解之，于是有
解方程组，得
；
.
∴所求抛物线解析式为
或.
∵，这时，抛物线的最高点（-20，3）不在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去.
∴所求抛物线解析式为
（0≤x≤10）.
【扩散2】仿扩散1知抛物线过.因B为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为
.
又其图象过A，C两点，则
解方程组，得
；
.
∵抛物线最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，∴舍去.
故所求抛物线的解析式是（0≤x≤10）.
【扩散3】抛物线与x轴交于两点，即D（x，0），C（10，0），联想截距式解之.
于是设抛物线解析式为，
其图象又过A，C两点，则有
，∴.
又
，
∴.②
①②联立解方程组，得
；
.
但不合题意，舍去.
故所求二次函数解析式为（0≤x≤10）.
【扩散4】由抛物线对称性,设对称点,B（m，3），又C（10，0），应用一般式可获解.
设抛物线，则可得
解这个方程组，得
.
∵（m，3）在第一象限，∴m?
0.
∴m=-20（舍去），∴m=4.
进而求得：
故所求抛物线解析式是：
（0≤x≤10）.
【扩散5】如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，OA=1千米，tgα=,tgβ=,位于O点正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中的E点）.
（1）若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；
（2）说明按
（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由.
【思路分析】
①本例应用扩散1～4思路均可，尤以扩散2应用顶点式最佳，读者可仿扩散2求得抛
物线解析式为：
（0≤x≤10）.
②过点C作CB⊥Ox，垂足为B，然后解Rt△OBC和Rt△ABC，可求得点在抛
物线上，因此可击中目标C（请读者自己写出完整解答过程）.
【扩散6】有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现
把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？
图代13-3-9
【思路分析】本例仿扩散2可设抛物线解析式为（0≤x≤40），
又抛物线过原点，进而求得，在距离M点5m处，即它们的横坐标是x1=15或x2=25，分别代入抛物线解析式，求得y1=y2=15.所以铁柱应取15m长.
【评析】由扩散1～6，抛物线应用从体育方面，扩散到军事，涉及现代科技、导弹、
直升飞机等.进而又扩散到桥梁建筑，涉及到现代化建设的方方面面，告诉同学们，必须学好课本知识，才能适应现代化的需要.
图代13-3-10
本例的解题思路扩散，把顶点式、一般式、截距式、抛物线的对称性都进行了展示，
我们可以根据不同的情况，迅速进行决策，选设不同的解析式，达到求解的目的.
三、智能显示
心中有数
二次函数的知识，是初中三年级数学的重点内容.在解有关二次函数的问题时，应用待
定系数法和方程、方程组的知识，用到数形结合、观察、想象的思想方法，应当深入理解和掌握这部分知识.
动手动脑
1.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在采
用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润为最大，并求出最大利润？
2.已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若
△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式.
3.已知抛物线.
（1）求证：
不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A（2，0）.
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式.
（3）当d=10，P（a，b）为抛物线上一点.
①当△ABP是直角三角形时，求b的值；
②当△APB是锐角三角形、钝角三角形时，分别写出b的范围（不要求写出解答过程）.
创新园地
例如图，有一模型拱门，其拱门的徒刑为抛物线的一部分（该抛物线为二次函数
的图形），拱门宽AB=20cm，拱门高PO为8cm，已知小明的玩具车宽为12cm，车高hcm，就能顺利通过这拱门，那么满足这个条件h的最大整数为.
提示：
本例没有告知拱门所在坐标，这就需要我们自己建立直角坐标系后求解.
图代13-3-11
四、同步题库
一、填空题
1.把抛物线向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个
单位，得抛物线.
2.函数图象的对称轴是，最大值是.
3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系
是.
4.已知二次函数，通过配方化为的形
为.
5.若二次函数（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则
x1与x2的关系是.
6.抛物线当b=0时，对称轴是，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在y轴侧.
7.抛物线开口，对称轴是，顶点坐标是.如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.
8.若a?
0，则函数图象的顶点在第象限；当x?
时，函数值随x的增大而.
9.二次函数（a≠0）当a?
0时，图象的开口a?
0时，图象的开口，顶点坐标是.
10.抛物线，开口，顶点坐标是，对称轴是.
11.二次函数的图象的顶点坐标是（1，-2）.
12.已知，当x时，函数值随x的增大而减小.
13.已知直线与抛物线交点的横坐标为2，则k=，交点坐标为.
14.用配方法将二次函数化成的形式是.
15.如果二次函数的最小值是1，那么m的值是.
二、填空题
16.在抛物线上的点是（）
A.（0，-1）B.C.（-1，5）D.（3，4）
17.直线与抛物线的交点个数是（）
A.0个B.1个C.2个D.互相重合的两个
18.关于抛物线（a≠0），下面几点结论中，正确的有（）
①当a?
0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当
a?
0时，情况相反.
②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.
③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.
④一元二次方程（a≠0）的根，就是抛物线与x轴
交点的横坐标.
A.①②③④B.①②③C.①②D.①
19.二次函数y=（x+1）（x-3），则图象的对称轴是（）
A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-3
20.如果一次函数的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函
-3的大致图象是（）
图代13-2-12
21.若抛物线的对称轴是则（）
A.2B.C.4D.
22.若函数的图象经过点（1，-2），那么抛物线的性
质说得全对的是（）
A.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交
B.开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交
C.开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交
D.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交
23.二次函数中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（）
A.（-1，-1）B.（1，1）C.（1，-1）D.（-1，1）
24.函数与（a?
0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）
图代13-3-13
25.如图代13-3-14，抛物线与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，
C两点，且BC=3，S△ABC=6，则b的值是（）
A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4
图代13-3-14
26.二次函数（a?
0），若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是
（）
A．X取任何实数B.x?
0C.x?
0D.x?
0或x?
0
27.抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为
（）
A.B.
C.D.
28.二次函数（k?
0）图象的顶点在（）
A.y轴的负半轴上B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上D.x轴的正半轴上
29.四个函数：
（x?
0），（x?
0），其中图象经过原
点的函数有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
30.不论x为值何，函数（a≠0）的值永远小于0的条件是（）
A.a?
0，Δ?
0B.a?
0,Δ?
0
C．a?
0,Δ?
0D.a?
0,Δ?
0
三、解答题
31.已知二次函数和的图象都经过x
轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.
32.已知二次函数的图象经过点A（2，4），顶点的横坐标为，它
的图象与x轴交于两点B（x1，0），C（x2，0），与y轴交于点D，且，试问：
y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似（O为坐标原点）？
若存在，请求出过P，B两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.
33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k（x-4）都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该
抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：
（1）直线AB的解析式；
（2）抛物线的解析式.
图代13-3-15图代13-3-16
34.中图代13-3-16，抛物线交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方
向于C点，过A，B，C三点做⊙D，若⊙D与y轴相切.
（1）求a，c满足的关系能工巧匠；
（2）设∠ACB=α，求tgα；（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.
35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示
意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD＇部分为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A＇D＇是两侧高为5.5米的支柱，OA和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.
求
（1）桥拱DGD＇所在抛物线的解析式及CC＇的长；
（2）BE和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A＇B＇为两个方
向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇B＇的宽；
（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车
载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA（或OA＇）区域安全通过？
请说明理由.
图代13-3-17
36.已知：
抛物线与x轴交于两点（a?
b）.O
为坐标原点，分别以OA，OB为直径作⊙O1和⊙O2在y轴的哪一侧？
简要说明理由，并指出两圆的位置关系.
37.如果抛物线与x轴都交于A，B两点，且A点在x轴
的正半轴上，B点在x同的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b.
（1）求m的取值范围；
（2）若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
（3）设
（2）中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：
抛物线上是否存在
点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？
若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
38.已知：
如图代13-3-18，EB是⊙O的直径，且EB=6，在BE的延长线上取点P，使EP=EB.A
是EP上一点，过A作⊙O的切线AD，切点为D，过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H，连结ED和FH.
图代13-3-18
（1）若AE=2，求AD的长.
（2）当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时，①是否总有？
试证明
你的结论；②设ED=x，BH=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
39.已知二次函数的图象与x轴的交点为
A，B（点A在点B右边），与y轴的交点为C.
（1）若△ABC为Rt△，求m的值；
（2）在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；
（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值.
40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB为直径的⊙C交x轴于A，交y轴于B，
满足OA∶OB=4∶3，以OC为直径作⊙D，设⊙D的半径为2.
图代13-3-19
（1）求⊙C的圆心坐标.
（2）过C作⊙D的切线EF交x轴于E，交y轴于F，求直线EF的解析式.
（3）抛物线（a≠0）的对称轴过C点，顶点在⊙C上，与y轴交点
为B，求抛物线的解析式.
41.已知直线和，二次函数图象的顶点为M.
（1）若M恰在直线与的交点处，试证明：
无论m取何实数值，
二次函数的图象与直线总有两个不同的交点.
（2）在
（1）的条件下，若直线过点D（0，-3），求二次函数
的表达式，并作出其大致图象.
图代13-3-20
（3）在
（2）的条件下，若二次函数的图象与y轴交于点C，与x同
的左交点为A，试在直线上求异于M点P，使P在△CMA的外接圆上.
42.如图代13-3-20，已知抛物线与x轴从左至右交于A，B两点，
与y轴交于点C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tgα-tgβ=2,∠ACB=90°.
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积.
参考答案
动脑动手
1.设每件提高x元（0≤x≤10），即每件可获利润（2+x）元，则每天可销售（100-10x）
件，设每天所获利润为y元，依题意，得
∴当x=4时（0≤x≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.
2.∵，
∴当x=0时，y=4.
当时.
即抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴的交点为A（3，0），.
（1）当AC=BC时，
.
∴
（2）当AC=AB时，
.
∴.
∴.
当时，；
当时，.
（3）当AB=BC时，
，
∴.
∴.
可求抛物线解析式为：
或.
3.
（1）∵
图代13-3-21
∴不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点.
令y=0，得
，
∴.
∴两交点中必有一个交点是A（2，0）.
（2）由
（1）得另一个交点B的坐标是（m2+3,0）.
，
∵m2+10?
0，∴d=m2+1.
（3）①当d=10时，得m2=9.
∴A（2，0），B（12，0）.
.
该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB的中点E（7，0）.
过点P作PM⊥AB于点M，连结PE，
则，
∴.①
∵点PD在抛物线上，
∴.②
解①②联合方程组，得.
当b=0时，点P在x轴上，△ABP不存在，b=0，舍去.∴b=-1.
注：
求b的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.
②△ABP为锐角三角形时，则-25≤b?
-1；
△ABP为钝角三角形时，则b?
-1，且b≠0.
同步题库
一、填空题
1.；2.；3.；4.
；5.互为相反数；6.y轴，左，右；7.下，x=-1,（-1,-3），x?
-1；8.四，增大；9.向上，向下，；10.向下，（h,0），x=h；11.-1，-2；12.x?
-1；13.-17，（2，3）；14.；15.10.
二、选择题
16.B17.C18.A19.A20.C21.D22.B23.B24.D25.B26.D27.C28.
C29.A30.D
三、解答题
31.解法一：
依题意，设M（x1，0），N（x2，0）
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