数学函数的对称性与周期性六年级数学教案.docx

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数学函数的对称性与周期性六年级数学教案

数学-函数的对称性与周期性_六年级数学教案

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　　对称性：

函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。

　　周期性：

设函数的定义域是，若存在非零常数，使得对任何，都有且，则函数为周期函数，为的一个周期。

　　对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？

本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。

　　一、一个函数关于两个点对称。

　　命题1：

如果函数的图象关于点和点　对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

　　证明：

∵函数的图象关于点对称，

　　∴对定义域内的所有成立。

　　又∵函数的图象关于点对称，

　　∴对定义域内的所有成立。

　　从而

　　∴即：

　　∴是周期函数，为函数的一个周期。

　　特例：

当时，为奇函数，即奇函数如果又关于点　对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

　　命题：

如果函数的图象关于两点和对称，那么：

　　当，时，是周期函数，为函数的一个周期。

　　当，时，不是周期函数。

　　证明：

∵函数的图象关于点对称，

　　∴对定义域内的所有成立。

　　又∵函数的图象关于点对称，

　　∴对定义域内的所有成立。

　　从而

　　当，时

　　∴

　　即：

　　∴当，时，是周期函数，为函数的一个周期。

　　当，时

　　∴

　　∴

　　∴当，时，不是周期函数。

　　当，时

　　∴（与条件矛盾，舍去）

　　综合得原命题成立。

　　二、一个函数如果关于一个点和一条线对称。

　　命题2：

如果函数的图象关于点和直线　对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

　　证明：

∵函数的图象关于点对称，

　　∴对定义域内的所有成立。

　　又∵函数的图象关于直线对称，

　　∴对定义域内的所有成立。

　　从而

　　∴即：

　　∴

　　即：

　　∴是周期函数，为函数的一个周期。

　　特例：

当时，为奇函数，即奇函数如果又关于直线　对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

　　命题：

如果函数的图象关于点和直线对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

　　证明：

∵函数的图象关于点对称，

　　∴对定义域内的所有成立。

　　又∵函数的图象关于直线对称，

　　∴对定义域内的所有成立。

　　从而

　　∴

　　即：

　　∴

　　即：

　　∴是周期函数，为函数的一个周期。

　　三、一个函数如果关于两条线对称。

　　命题3：

如果函数的图象关于直线和直线对称，那么函数是以为周期的周期函数。

　　证明：

∵函数的图象关于直线对称，

　　∴对定义域内的所有成立。

　　又∵函数的图象关于直线对称，

　　∴对定义域内的所有成立。

　　从而

　　∴即：

　　∴

　　∴是以为周期的周期函数。

　　特例：

当时，为偶函数，即偶函数如果又关于直线　对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。

课题乘法算式中的各部分名称  

1． 教学目标：

使学生进一步理解乘法的意义掌握乘法算式，掌握乘法算式的写法和读法。

2． 教学重点、难点：

会读、写乘法算式。

3．           教具、学具准备：

小黑板、投影机

4．           教学过程：

步骤

师生活动

修改意见

1、看图说出加法算式，再说出乘法算式。

1． 加法算式

改成乘法。

5+5+5　　　2+2+2　　　7+7+7+7　　　3+3+3+3

新授

练习

小结

教学例2

一个一个的出示气球图1个5、2个5、3个5、要求4个5是多少？

用加法算式怎样列式?

乘号后写几？

怎样列式3个5是多少？

　5×3＝15读会各部分名称：

被乘数、乘数、积

1、  说出例题中乘法算式各部分的名称

2×3＝6　　3×4＝12　　4×5＝20

练习

1、  做一做练习九第1题

2、  做练习九第7－10题

3、  游戏

（1）教师拍手，学生口答列式

（2）每次拍3下拍4次

教学反思

教学目标

1．使学生认识圆的周长，初步理解圆周率的意义。

2．通过对圆周率π值的探求，培养学生科学的和实事求是的探索精神，及概括能力和逻辑思维能力。

3．通过介绍我国古代数学家对圆周率研究的贡献，对学生进行爱国主义和辩证唯物主义观点的启蒙教育、增强民族自豪感。

教学重点和难点

推导圆周长的计算公式。

理解圆周率的意义。

教学过程设计

（一）复习准备

上节课我们认识了圆，现在大家都说说，你们都知道关于圆的哪些知识？

（二）学习新课

我们这节课就来研究圆的周长。

（板书：

圆的周长）

我想问问同学，你们都带了哪些圆形实物？

两人互相指指圆的周长在哪儿？

谁愿意到前面来指一指老师手里这个圆的周长。

谁跟他指得不一佯？

为什么这样指不行？

老师这有一面镜子，我要给这面镜子镶一条不锈钢边框，怎么才能知道这个边框长多少厘米呢？

老师这还有一个杯子，用它喝水有时烫手，我想编一个杯子套，怎么才能知道套口应该编多大？

哪个小组愿意帮助解决这个问题？

我们每个组都带了一些圆形实物，我们要通过小组合作测出圆的周长，并填写实验报告。

请你在实验报告上填出你测量的实物名称，周长是多少，直径是多少。

（学生分小组测量手中圆形实物，并填写在实验报告上。

能测量多少数据就测量多少数据。

）

请小组代表汇报本组的实验过程和实验结果。

同学们想了那么多种方法，看来你们真了不起。

我们归纳起来，同学们都是用缠绕、滚动的方法把曲线变直的。

（板书：

绕、滚）

（师出示黑板上画的圆）谁能用这两种方法来测量这个圆的周长。

看来光靠绕、滚这种实践的方法来测量圆的周长是不行的，我们必须研究一种求圆周长的方法。

想一想，以前我们学过哪些几何图形的周长？

长方形的周长和谁有关系？

有什么关系？

正方形的周长和谁有关系？

有什么关系？

圆的周长和谁有关系呢？

举个例子说明，是不是这样呢？

请看屏幕。

（用电脑演示三个滚动的圆，看出圆越大滚动的轨迹越长，圆越小滚动的轨迹越短。

）

我们得出了圆的周长和直径有关系。

（板书：

圆的周长　直径）

这是我们大家一起发现的。

科学家往往发现问题就要去研究，我们同学长大想不想当科学家？

今天我们就先学着科学家来研究一个问题：

用我们测量的数据，通过计算分析，来研究圆的周长到底和直径有什么关系？

你发现了什么规律？

（学生分小组讨论。

）

通过同学们实验研究，我们得出圆的周长总是直径的3倍多一些。

（板书：

3倍多一些）

是不是这样呢？

我们来验证一下。

（电脑演示：

圆的周长是直径的3倍多一些。

）

这是一个固定的倍数关系，我们叫它圆周率。

（板书：

圆周率）

谁能说说圆周率是怎么得来的？

请同学们看书上是怎么说的？

早在2000年前，我国古代数学经典《周髀算经》就指出：

“圆经一而周三”，（用投影打出这句话。

）当时，是很了不起的成就，至今人们常用它来估算圆的周长。

刚才，老师就是用这种方法来估算同学们算得是否准确的。

谁知道世界上最早将圆周率准确到7位小数的是谁？

（学生口答）他是我国伟大的数学家和天文学家祖冲之。

（出现祖冲之的画像，同时放配乐录音，介绍祖冲之。

）

约1500年前，我国伟大的数学家和天文学家祖冲之就已精密地计算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，他是世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，比欧洲的数学家要早1000年左右。

现在世界上最大的环形山，就是以祖冲之的名字命名的。

我们确实应该为前人的聪明、智慧感到自豪和骄傲。

后来瑞士的数学家欧拉用希腊字母π代表圆周率。

（板书：

π）

圆周率是一个无限不循环小数。

在计算时，如果用这个无限不循环小数参加计算是不方便的，故通常将π取两位小数。

（板书：

π≈3.14）

既然π是个固定的值了，只要知道什么就能求圆的周长？

（直径。

）

现在我们能不能计算黑板上这个圆的周长？

什么条件不知道？

（直径。

）

谁来测直径，用“分米”作单位。

（板书：

分米）

如果直径是2分米，半径就是几分米？

用半径能不能求圆周长？

现在我们试着用直径或半径来求黑板上圆的周长。

谁用直径求出圆的周长？

（板书：

3.14×2=6.28（分米））

为什么这样列式？

（板书：

圆的周长=直径×圆周率）

如果用C表示圆的周长，d表示直径，π表示圆周率，字母公式怎么表示？

（板书：

C=πd）

谁能用半径求圆的周长？

为什么这样做？

如果用字母r表示半径，字母公式怎么表示？

（板书：

C=2πr）

（三）巩固反馈

1．求出下面各圆的周长。

（单位：

厘米）

2．判断，你认为正确画“√”，错误画“×”。

（1）一个圆的周长总是它的直径的π倍。

　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）

（2）圆的周长是6.28厘米，它的半径是2厘米。

　　　　　　　　　　　　　（　　　）

（3）圆周长的一半与半个圆的周长相等。

　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）

3．选择：

你认为哪个答案正确就举几号卡片。

（1）车轮滚动一周，所行路程是求车轮的　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]

①半径

②直径

③周长

（2）圆形水池的直径是4米，绕池一周长　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]

①25.12米

②12.56米

③12.56平方米

（3）A圆的直径是6厘米，B圆的直径是2分米，圆周率　　　　　　　　　　　[　　　]

①A圆大

②B圆大

③一样大

4．甲乙两人分别沿①、②两条路线从一端走到另一端，谁走的路线长？

（四）总结全课

这节课你学会了什么？

（引导学生总结本课所学的知识。

）

课堂教学设计说明

本节课通过引导学生对圆周率的探求，推导出圆周长的计算公式。

第一步先通过测量实物中圆的周长，研究测量圆周长的方法是通过“绕、滚”的方法来测量。

接着出现画在小黑板上的圆，当学生发现测这个圆的周长不能用“绕、滚”的方法来测量，必须研究一种求圆周长的方法。

第二步，推导计算圆周长的公式。

先带领学生回忆：

我们以前学过哪些几何图形周长的计算？

长方形和正方形的周长和谁有关系？

引导学生发现圆周长和谁有关系。

第三步，研究圆的周长和直径有什么关系，理解圆周率的意义，推导出圆周长的计算公式。

通过对圆周率π值的探求，培养学生科学的、实事求是的探索精神和概括能力及逻辑思维能力。

板书设计

小数的性质

【教学内容】

　　九年义务教育六年制小学数学教科书（人教版）第八册第100—101页例1—例4。

【教材简析】

　　小数的性质是小数四则计算的基础。

根据小数的性质，可以化简小数，也可以不改变小数的大小，在小数末尾添上一个或几个“0”，或者把整数改写成小数的形式。

教学时，要通过比较、辨析、抽象、概括等一系列的思维活动，帮助学生理解和掌握小数的性质。

【教学过程】

　　一、创设情境，引导探索

　　1．找等量关系。

　　教师首先板书三个“1”，让学生判断是相等的，接着在第二个1后面添写上一个0，在第三个1的后面添写上两个0，板书写成：

1、10、100，提问：

这三个数相等吗？

（不相等）你能想办法使它们相等吗？

学生在教师的启发下，回答可以添上长度单位“米、分米、厘米”或“分米、厘米、毫米”就相等了。

板书写成：

1分米＝10厘米＝100毫米。

　　2．思考探索。

（1）你能把它们改用“米”作单位表示吗？

（2）改写成用米作单位表示后，实际长度有没有变化？

（没有变化）说明什么？

（三个数量相等）

　　板书如下：

　　（3）按箭头所指的方向观察三个小数有什么变化？

　　使学生初步认识小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

　　[教师灵活运用教科书上的例子进行教学。

通过一个具体的实例引出相等关系，分析左右变化情况，得出小数性质的内容。

照用教科书上的例子，但不照抄例子的变化过程。

]

　　二、观察比较，引导发现

　　1．让学生观察投影出示的正方形等分图（见下图），回答老师的提问：

（1）把这个正方形看作整数“1”，这个正方形平均分成了多少份？

（10份）这样的一份用小数表示是多少？

（0.1）这样的三份呢？

（0.3）叠片演示由图

（1）成图

（2）。

（板书：

0.3）

（2）叠片演示由图

（2）成图（3）后问：

现在这样来分，把这个正方形平均分成了多少份？

（100份）阴影部分占多少份？

（30份）用小数表示是多少？

（板书：

0.30）

　　（3）（再次演示叠片图

（2）→图（3））小数由0.3到0.30，引导学生去思考：

你看出什么变了？

什么没变？

你从中发现了什么？

（平均分的份数变了，即小数的计数单位变了，而阴影部分的大小没有变，得出0.3＝0.30。

）

　　2．引导学生观察等式“0.3＝0.30”，从中发现：

小数的末尾添上“0”，小数的大小不变。

　　教师板书：

　　再要求学生从右往左看，发现：

小数的末尾去掉“0”，小数的大小不变。

（板书）

　　3．提醒注意：

性质中的“末尾”跟一般说的“后面”是不同的。

　　4．判断练习。

　　下面的数中，那些“0”可以去掉？

　　3.9　　　0.300　　1.8000　　500

　　5.780　　0.0040　　102.020　　60.06

　　[从图形面积的相等关系到小数的相等关系，得出小数的性质。

并通过一道判断题理解性质，这使学生一接触性质，就对性质有较深刻的理解。

]

　　三、推理板书，指导运用

　　1．教师结合板书内容讲解性质的运用。

（1）根据小数的性质，当遇到小数末尾有“0”的时侯，例如，0.30，一般可以去掉末尾的“0”，把小数化简。

（0.30＝0.3）

　　化简下面各小数：

　　0.40　　1.850　　2.900　　0.50600

　　0.090　　10.830　　12.000　　0.070

　　引导学生说出化简后的小数是什么？

（板书）

（2）有时根据需要，可以在小数末尾添上“0”。

（例如：

0.3→0.30）

　　出示：

不改变数的大小，把0.2、4.08、3改写成小数部分是三位的小数，怎样改写？

　　让学生同桌两人议论后答出。

　　提醒：

把整数改写成小数形式，在整数的个位右下角点上小数点，再添上“0”。

　　最后完成如下板书：

　　2．学生质疑问难，教师及时释疑。

　　[教师清楚、简洁的推理板书，使学生明确了小数性质的两大运用：

把小数改写和化简。

这里，教师的分析，学生的答问，条理的板书融为一体了。

]

　　四、多层练习，巩固深化

　　1．选择题。

（在正确答案下面的圈内涂上黑色）

　　化简102.020的结果是（　　）

　　12.2　　12.02　　102.0200　　102.02

　　○　　　　○　　　　○　　　　　○

　　要求学生回答：

化简的依据是什么？

　　2．判断题。

（打“√”，错的打“×”）

（1）0.080＝0.8　　（　　）

（2）4.01＝4.100　　（　　）

　　（3）6角＝0.60元　（　　）

　　（4）30＝30.00　　　（　　）

　　（5）小数点后面添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

　　（　　）

　　让学生按顺序回答，并说出判断的依据是什么？

　　3．下面的每组数中，一共可以去掉多少个“0”？

这些0都在什么位置？

（1）3.09　　　0.300　　　1.8000　　　5.00

（2）0.0004　　12.002　　60.06　　　500

　　（3）0.090　　12.00001　0.50605060　30.0

　　要求学生思考后，按顺序回答。

　　4．

（1）改写。

原数

0.7

7

70

改写成一位小数

改写成两位小数

改写成三位小数

（2）连线。

把相等的数用直线连起来。

　　10.01　　20.1　　4　　4.800　　50.00　　1.60

　　50　　10.010　　16.0　　　　4.0　　4.8

　　要求学生独立完成，然后抽查评讲，检查全班练习效果。

　　5．做游戏。

（1）智力游戏。

谁能只动两笔，就可以在5、50、500之间划上等号。

（50变成5.0，500变成5.00）

（2）贴数游戏。

让自愿参加的十位学生，每人拿一个数（卡片），教师板书“50.3”，要求学生在“50.3”的下面贴上与它相等的数，不相等的贴在旁边。

　　50.03　　5.30　　5.3　　50.300

　　50.30　　503　　50　　五十又十分之三

　　　　500.3

　　五、课堂作业

　　教科书练习二十一第4、5题。

　　六、课堂小结

　　[围绕性质的内容组织多种形式的练习，加强学生对小数性质的理解运用，练习在游戏时达到高潮。

整个教学设计的观点明确，结构严谨，层次分明，使学生步步深入地学好小数的性质。