数值分析试验幂法与反幂法matlab.docx
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数值分析试验幂法与反幂法matlab
一、问题的描述及算法设计
（一）问题的描述
我所要做的课题是：
对称矩阵的条件数的求解设计
1、求矩阵A的二条件数
210
问题A=121
012
2、设计内容：
1）采用幂法求出A的错误！
未找到引用源。
.
2）采用反幂法求出A的错误！
未找到引用源。
.
-1Ⅱ
3）计算A的条件数ⅡAⅡ2*ⅡA2=cond2（A）=错误！
未找到引用源。
/错
误！
未找到引用源。
.（精度要求为10
-6）
3、设计要求
1）求出ⅡAⅡ2。
2）并进行一定的理论分析。
（二）算法设计
1、幂法算法
（1）取初始向量u
（0）（例如取u（0）=（1,1,⋯1）T）,置精度要求，置k=1.
（2）计算
v
（k）=Au（k1）,m
k=max（v（k））,u（k）=v（k）/m
（k））,u（k）=v（k）/m
k
（3）若|mk=mk1|<，则停止计算（mk作为绝对值最大特征值1，u
（k）作为相
应的特征向量）否则置k=k+1，转
（2）
2、反幂法算法
（1）取初始向量u
（0）（例如取u（0）=（1,1,⋯1）T）,置精度要求，置k=1.
（2）对A作LU分解，即A=LU
（3）解线性方程组Ly
）
（k=u（k1）,Uv（k）=y（k）
（4）计算
m
）
（k）,u（k）=v（k）/m
k=max（v
k
（5）若|m
k=mk1|<，则停止计算（1/mk作为绝对值最小特征值n，u
（k）作为
1
相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）.
2
二、算法的流程图
（一）幂法算法的流程图
开始
k=0;m1=0
v=A*u
m1=m;k=k+1
[vmax,i]=max（abs（v
m=v（i）;u=v/m
absn（mo-m1）<1e-6
yes
index=1;break;
输出：
m，u，index
结束
3
（二）反幂法算法的流程图
开始
输入A；[m,u,index]=pow_inv（A,1e-6）
k=0;m1=0
v=invA*u
m1=m;k=k+1
[vmax,i]=max（abs（v））
m=v（i）;u=v/m
abs（nmo-m1）<1e-6
yes
index=1;break;
输出：
m，u，index
输入A；
结束
4
三、算法的理论依据及其推导
（一）幂法算法的理论依据及推导
幂法是用来确定矩阵的主特征值的一种迭代方法，也即，绝对值最大的特征
值。
稍微修改该方法，也可以用来确定其他特征值。
幂法的一个很有用的特性是
它不仅可以生成特征值，而且可以生成相应的特征向量。
实际上，幂法经常用来
求通过其他方法确定的特征值的特征向量。
1、幂法的迭代格式与收敛性质
设n阶矩阵A的特征值1，2,⋯,n是按绝对值大小编号的，xi（i=1,2,⋯,n）
为对应i的特征向量，且1为单根，即
|
1|>|2|≥⋯≥|n|
则计算最大特征值与特征向量的迭代格式为
v
（k）=Au（k1）,m
k=max（v（k））,u（k）=v（k）/m
（k））,u（k）=v（k）/m
k
（1）
其中max（v
）
（k）表示向量v
（k）绝对值的最大分量。
2、对于幂法的定理
按式
（1）计算出mk和u
（k）满足
limmk=1,
k
limu
k
（k）=
x
1
max（x1）
（二）反幂法算法的理论依据及推导
反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。
是对幂
法的修改，可以给出更快的收敛性。
1、反幂法的迭代格式与收敛性质
设A是非奇异矩阵，则零不是特征值，并设特征值为
|
1|≥|2|≥⋯≥|n1|>|n|
则按A
1的特征值绝对值的大小排序，有
111
||>||≥⋯≥||
nn11
对A
1实行幂法，就可得A1的绝对值最大的特征值1/
n和相应的特征向量，即
A的绝对值最小的特征值和相应的特征向量。
由于用A
1代替A作幂法计算，因此该方法称为反幂法，反幂法的迭代格式
5
为v
）
（k=A1u（k1）,m
）
（k）,u（k）=v（k）/m
k=max（v
k
（2）
2、对于反幂法的定理
按式
（2）计算出的mk和u
（k）满足：
x
1
）
（k=n
limmk=,limu
kk
max（xn
n
）
在式
（2）中，需要用到A
1，这给计算带来很大的不方便，因此，把
（2）式的
第一式改为求解线性方程组
Av
（k）=u（k1）（3）
但由于在反幂法中，每一步迭代都需求解线性方程组（3）式，迭代做了大量的
重复计算，为了节省工作量，可事先把矩阵A作LU分解，即A=LU
所以线性方程组（3）改为
Ly
）
（k=u（k1）,Uv
）
（k=y
（k）
四、相关的数值结果
（一）幂法程序的运行结果
m=3.4142u=-0.7071index=1
1.1
-0.7071
（二）反幂法程序的运行结果
m0=0.5858u=0.7071index=1
1.1
0.7071
（三）矩阵A的二条件数的结果
-1Ⅱ
ⅡAⅡ2*ⅡA2=cond2（A）=m/m
0=3.4142/0.5858=5.828269
6
五、数值计算结果的分析
求n阶方阵A的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题。
对于n
阶矩阵A，若存在数和n维向量x满足
Ax=x
（1）
则称为矩阵A的特征值，x为相应的特征向量。
由线性代数知识可知，特征值是代数方程
|I-A|=
n+a
1
n1+⋯+a
n+an=0
（2）
1
的根。
从表面上看，矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单，只需求解方
程
（2）的根，就能得到特征值，再解齐次方程组
（I-A）x=0（3）
的解，就可得到相应的特征向量。
上述方法对于n很小时是可以的。
但当n稍大时，计算工作量将以惊人的速
度增大，并且由于计算带有误差，方程
（2）未必是精确的特征方程，自然就不
必说求解方程
（2）与（3）的困难了。
本次实验所用的幂法和反幂法分别是求解
最大特征值和最小特征值，并根据它们的结果求解二条件数。
幂法和反幂法的
Matlab程序很好的解决了手算时所会遇到的麻烦。
通过实验我们可以看到，幂法程序可以用来计算矩阵绝对值最大的特征值及
相应的特征向量。
幂法的缺点是开始的时候并不知道矩阵是否有单一的主特征
值。
也不知道如何选择x0以保证它关于矩阵特征向量的表达中包含一个与主特
征值相关的非零特征向量。
反幂法程序可以用来计算矩阵绝对值最小的特征值及
相应的特征向量，反幂法的收敛是线性的，它是对幂法的修改，可以给出更快的
收敛性。
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六、附件
（一）幂法程序
/*幂法程序，函数名：
pow.m*/
function[m,u,index]=pow（A,ep,N）
%A为矩阵；ep为精度要求；N为最大迭代次数；m为绝对值最大的特征值；u为
对应最大特征值的特征向量。
N=100;
ep=1e-6;
n=length（A）;u=ones（n,1）;
index=0;k=0;m1=0;
whilek<=N
v=A*u;[vmax,i]=max（abs（v））;
m=v（i）;u=v/m;
ifabs（m-m1）index=1;break;
end
m1=m;k=k+1;
end
输入A=[2-10;-12-1;0-12];
[m,u,index]=pow（A,1e-6）
（二）反幂法程序
/*反幂法程序，函数名：
pow_inv.m*/
function[m0,u,index]=pow_inv（A,ep,N）
%A为矩阵；ep为精度要求；N为最大迭代次数；m
0为绝对值最小的特征值；u
为对应最小特征值的特征向量。
N=100;
ep=1e-6;
n=length（A）;u=ones（n,1）;
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index=0;k=0;m1=0;
invA=inv（A）;
whilek<=N
v=invA*u;[vmax,i]=max（abs（v））;
m
0=v（i）;u=v/m0;
ifabs（m-m1）index=1;break;
end
m1m
0;k=k+1;
end
m
0=1/m0;
输入A=[2-10;-12-1;0-12];
[m
0,u,index]=pow_inv（A,1e-6）
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七、参考文献：
（1）薛毅.数值分析与实验.北京工业大学出版社.2005
（2）杜廷松等.数值分析及实验.科学出版社，2006
（3）RichardL.Burden等.数值分析（第七版）高等教育出版社，2005
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