初一数学幂的运算性质专题测试题.docx

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初一数学幂的运算性质专题测试题

初一数学幂的运算性质专题测试题

一．选择题（共10小题）

1．（2016•太仓市模拟）计算x3•x2的结果是（　　）

A．xB．x5C．x6D．x9

2．（2016•海南校级一模）若a•23=26，则a等于（　　）

A．2B．4C．6D．8

3．（2016•应城市三模）下列计算正确的是（　　）

A．a3+a2=a5B．a4﹣a2=a2C．2a﹣3a=aD．a5•a5=2a5

4．（2016春•乐亭县期中）若5x=2，5y=，则x，y之间的关系为（　　）

A．x，y互为相反数B．x，y互为倒数

C．x=yD．无法判断

5．（2016春•忻城县期中）计算：

（﹣3x2y）•（﹣2x2y）的结果是（　　）

A．6x2yB．﹣6x2yC．6x4y2D．﹣6x4y2

6．（2016春•江阴市校级月考）计算3n•（　　）=﹣9n+1，则括号内应填入的式子为（　　）

A．3n+1B．3n+2C．﹣3n+2D．﹣3n+1

7．（2016春•东台市月考）如果3x=m，3y=n，那么3x+y等于（　　）

A．m+nB．m﹣nC．mnD．

8．（2015秋•怀集县期末）化简（﹣x）3•（﹣x）2的结果正确的是（　　）

A．﹣x6B．x6C．﹣x5D．x5

9．（2015春•慈溪市校级月考）若x，y为正整数，且2x•2y=25，则x，y的值有（　　）

A．4对B．3对C．2对D．1对

10．（2014•永州）在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：

从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：

S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①

然后在①式的两边都乘以6，得：

6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②

②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：

如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？

你的答案是（　　）

A．B．C．D．a2014﹣1

二．填空题（共10小题）

11．（2016春•永登县期中）已知2x=3，那么2x+2=　　　　　　．

12．（2016春•泗阳县校级月考）一个长方体的长宽高分别为a2，a，a3，则这个长方体的体积是　　　　　　．

13．（2015春•房山区期末）若4x=2，4y=3，则4x+y=　　　　　　．

14．（2015春•醴陵市校级期中）（﹣b）2•（﹣b）3•（﹣b）5=　　　　　　．

15．（2015春•北流市校级期中）若xn﹣1•xn+5=x10，则n=　　　　　　．

16．（2015秋•夏津县月考）若32×83=2n，则n=　　　　　　．

17．（2015春•宜兴市校级月考）如果a2n﹣1•an+5=a16，那么n=　　　　　　（n是整数）．

18．（2015春•滨湖区校级月考）若a、b为正整数，且3a•3b=243，则a+b=　　　　　　．

19．（2015秋•南召县校级月考）计算（x﹣y）2（x﹣y）3（y﹣x）4（y﹣x）5=　　　　　　．

20．（2015秋•宜春校级月考）计算（﹣2）3•2=　　　　　　，（a﹣b）3•（a﹣b）2（b﹣a）=　　　　　　．

三．解答题（共10小题）

21．（2015秋•沈丘县校级月考）已知：

8•22m﹣1•23m=217，求m的值．

22．（2015春•丹阳市校级月考）基本事实：

若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：

①2×8x=27；②2x+2+2x+1=24．

23．（2015春•苏州期末）记M

（1）=﹣2，M

（2）=（﹣2）×（﹣2），M（3）=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）=

（1）计算：

M（5）+M（6）；

（2）求2M（2015）+M（2016）的值：

（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．

24．（2011春•相城区期中）计算：

（1）（﹣8）2011•（﹣）2012；

（2）（a﹣b）5（b﹣a）3．

25．（2013•广东模拟）先阅读下列材料，再解答后面的问题．

材料：

一般地，n个相同因数相乘，记为an，如23=8，此时3叫做以2为底8的对数，记为（即）

一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如34=81，4叫做以3为底81的对数，记为．

问题（Ⅰ）计算以下各对数的值：

=　　　　　　；=　　　　　　；=　　　　　　．

（2）观察（Ⅰ）中三数4、16、64之间满足怎样的关系？

、、之间又满足怎样的关系？

（3）由

（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

+=　　　　　　（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）

根据幂的运算法则am•an=am+n以及对数的含义证明上述结论．

26．（2013春•江阴市校级月考）在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．

比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：

22×23=25，23×24=27，22×26=28…⇒2m×2n=2m+n…⇒am×an=am+n（m、n都是正整数）．

我们亦知：

，，，…

（1）请你根据上面的材料，用字母a、b、c归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式．

（2）试用

（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：

“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．

27．（2011春•溧阳市校级月考）若1+2+3+…+n=a，求代数式（xny）（xn﹣1y2）（xn﹣2y3）…（x2yn﹣1）（xyn）的值．

28．计算：

（1）（a﹣b）m+3•（b﹣a）2•（a﹣b）m•（b﹣a）5（m是正整数）．

（2）x•x7+x•x+x2•x6﹣3x4•x4．

29．计算：

（a﹣b﹣c）（b+c﹣a）2（c﹣a+b）3．

30．计算：

﹙3a﹣b﹚5×﹙b﹣3a﹚3．

初一数学幂的运算性质专题测试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016•太仓市模拟）计算x3•x2的结果是（　　）

A．xB．x5C．x6D．x9

【分析】根据同底数的幂相乘的法则即可求解．

【解答】解：

x3•x2=x5．

故选B．

【点评】本题主要考查了同底数的幂的乘方的计算法则，正确理解法则是关键．

2．（2016•海南校级一模）若a•23=26，则a等于（　　）

A．2B．4C．6D．8

【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．

【解答】解：

a•23=26，

a=23=8，

故选：

D．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．

3．（2016•应城市三模）下列计算正确的是（　　）

A．a3+a2=a5B．a4﹣a2=a2C．2a﹣3a=aD．a5•a5=2a5

【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．

【解答】解：

A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；

B、不是同底数幂的除法指数不能相减，故B错误；

C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故C正确；

D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D错误；

故选：

C．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

4．（2016春•乐亭县期中）若5x=2，5y=，则x，y之间的关系为（　　）

A．x，y互为相反数B．x，y互为倒数

C．x=yD．无法判断

【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．

【解答】解：

由负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，得

x，y互为相反数，

故选：

A．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题关键．

5．（2016春•忻城县期中）计算：

（﹣3x2y）•（﹣2x2y）的结果是（　　）

A．6x2yB．﹣6x2yC．6x4y2D．﹣6x4y2

【分析】根据同底数幂的乘法可以解答本题．

【解答】解：

（﹣3x2y）•（﹣2x2y）=6x4y2，

故选C．

【点评】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是明确同底数幂的乘法的计算方法．

6．（2016春•江阴市校级月考）计算3n•（　　）=﹣9n+1，则括号内应填入的式子为（　　）

A．3n+1B．3n+2C．﹣3n+2D．﹣3n+1

【分析】根据同底数幂相乘的性质的逆用，对等式右边整理，然后根据指数的关系即可求解．

【解答】解：

∵﹣9n+1=﹣（32）n+1=﹣32n+2=﹣3n+n+2=3n•（﹣3n+2），

∴括号内应填入的式子为﹣3n+2．

故选C．

【点评】本题主要考查的是同底数幂的乘法的性质的逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．

7．（2016春•东台市月考）如果3x=m，3y=n，那么3x+y等于（　　）

A．m+nB．m﹣nC．mnD．

【分析】根据3x=m，3y=n，利用同底数幂的乘法可以得到3x+y的值．

【解答】解：

∵3x=m，3y=n，

∴3x×3y=3x+y=mn，

故选C．

【点评】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是明确同底数幂的乘法的计算方法．

8．（2015秋•怀集县期末）化简（﹣x）3•（﹣x）2的结果正确的是（　　）

A．﹣x6B．x6C．﹣x5D．x5

【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．

【解答】解：

（﹣x）3•（﹣x）2=（﹣x）5=﹣x5，

故选：

C．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加是解题关键．

9．（2015春•慈溪市校级月考）若x，y为正整数，且2x•2y=25，则x，y的值有（　　）

A．4对B．3对C．2对D．1对

【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，再根据指数相等即可求解．

【解答】解：

∵2x•2y=2x+y，

∴x+y=5，

∵x，y为正整数，

∴x，y的值有x=1，y=4；

x=2，y=3；

x=3，y=2；

x=4，y=1．

共4对．

故选A．

【点评】灵活运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．

10．（2014•永州）在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：

从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：

S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①

然后在①式的两边都乘以6，得：

6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②

②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：

如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？

你的答案是（　　）

A．B．C．D．a2014﹣1

【分析】设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，得出aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，相减即可得出答案．

【解答】解：

设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，①

则aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，②，

②﹣①得：

（a﹣1）S=a2015﹣1，

∴S=，

即1+a+a2+a3+a4+…+a2014=，

故选：

B．

【点评】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法的应用，主要考查学生的阅读能力和计算能力．

二．填空题（共10小题）

11．（2016春•永登县期中）已知2x=3，那么2x+2=　12　．

【分析】根据2x=3，可以得到2x+2的值，本题得以解决．

【解答】解：

∵2x=3，

∴2x+2=2x×22=3×4=12，

故答案为：

12．

【点评】本题考查同底数幂的乘除、代数式求值，解题的关键是明确同底数幂的乘法的计算方法．

12．（2016春•泗阳县校级月考）一个长方体的长宽高分别为a2，a，a3，则这个长方体的体积是　a6　．

【分析】根据长方体的体积公式=长×宽×高求解．

【解答】解：

长方体的体积=a2×a×a3=a6．

故答案为：

a6．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握长方体的体积公式和同底数幂的乘法法则．

13．（2015春•房山区期末）若4x=2，4y=3，则4x+y=　6　．

【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算，可得4x+y=4x•4y，代入求解即可．

【解答】解：

∵4x=2，4y=3，

∴4x+y=4x•4y=2×3=6．

【点评】此题主要考查同底数幂的乘法的逆运算：

am+n=am•an．

14．（2015春•醴陵市校级期中）（﹣b）2•（﹣b）3•（﹣b）5=　b10　．

【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．

【解答】解：

原式=（﹣b）2+3+5

=（﹣b）10

=b10．

故答案为：

b10．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加，注意负数的偶次幂是正数．

15．（2015春•北流市校级期中）若xn﹣1•xn+5=x10，则n=　3　．

【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．

【解答】解：

∵xn﹣1•xn+5=x10，

∴n﹣1+n+5=10，

则n=3．

故答案为3．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法问题，关键是根据法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答．

16．（2015秋•夏津县月考）若32×83=2n，则n=　14　．

【分析】先将等式左边化为同底数幂的乘法，再根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n计算即可．

【解答】解：

∵32×83=2n，∴25×29=2n，

即214=2n，

∴n=14，

故答案为14．

【点评】主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

17．（2015春•宜兴市校级月考）如果a2n﹣1•an+5=a16，那么n=　4　（n是整数）．

【分析】根据同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得出关于n的方程，解出即可．

【解答】解：

由题意得，a2n﹣1•an+5=a2n﹣1+n+5=a16，

故可得：

2n﹣1+n+5=16，

解得：

n=4．

故答案为：

4．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，属于基础题，解答本题的关键掌握同底数幂的运算法则．

18．（2015春•滨湖区校级月考）若a、b为正整数，且3a•3b=243，则a+b=　5　．

【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n计算即可．

【解答】解：

3a•3b=3a+b=243=35，

∴a+b=5，

故答案为：

5．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

19．（2015秋•南召县校级月考）计算（x﹣y）2（x﹣y）3（y﹣x）4（y﹣x）5=　﹣（x﹣y）14　．

【分析】根据负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案．

【解答】解：

原式=﹣（x﹣y）2（x﹣y）3（x﹣y）4（x﹣y）5=﹣（x﹣y）2+3+4+5=﹣（x﹣y）14，

故答案为：

﹣（x﹣y）14．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数得出同底数幂的乘法是解题关键．

20．（2015秋•宜春校级月考）计算（﹣2）3•2=　﹣16　，（a﹣b）3•（a﹣b）2（b﹣a）=　﹣（a﹣b）6　．

【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案；

根据相反数的意义，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．

【解答】解：

（﹣2）3•2=﹣23•2=﹣16，

（a﹣b）3•（a﹣b）2（b﹣a）=﹣（a﹣b）3•（a﹣b）2（a﹣b）=﹣（a﹣b）6，

故答案为：

﹣16，﹣（a﹣b）6．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用积的乘方得出同底数幂的除法是解题关键．

三．解答题（共10小题）

21．（2015秋•沈丘县校级月考）已知：

8•22m﹣1•23m=217，求m的值．

【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

【解答】解：

由幂的乘方，得

23•22m﹣1•23m=217．

由同底数幂的乘法，得

23+2m﹣1+3m=217．

即5m+2=17，

解得m=3，

m的值是3．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用幂的乘方得出同底数幂的乘法是解题关键．

22．（2015春•丹阳市校级月考）基本事实：

若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：

①2×8x=27；②2x+2+2x+1=24．

【分析】①先化为同底数幂相乘，再根据指数相等列出方程求解即可；

②先把2x+2化为2×2x+1，然后求出2x+1的值为8，再进行计算即可得解．

【解答】解：

①原方程可化为，2×23x=27，

∴23x+1=27，

3x+1=7，

解得x=2；

②原方程可化为，2×2x+1+2x+1=24，

∴2x+1（2+1）=24，

∴2x+1=8，

∴x+1=3，

解得x=2．

【点评】本题考查了幂的乘方的性质，积的乘方的性质，是基础题，熟练掌握并灵活运用各性质是解题的关键．

23．（2015春•苏州期末）记M

（1）=﹣2，M

（2）=（﹣2）×（﹣2），M（3）=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）=

（1）计算：

M（5）+M（6）；

（2）求2M（2015）+M（2016）的值：

（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．

【分析】

（1）根据M（n）=，可得M（5），M（6），；根据有理数的加法，可得答案；

（2）根据乘方的意义，可得M（2015），M（2016），根据有理数的加法，可得答案；

（3）根据乘方的意义，可得M（n），M（n+1），根据有理数的加法，可得答案．

【解答】解：

（1）M（5）+M（6）=（﹣2）5+（﹣2）6=﹣32+64=32；

（2）2M（2015）+M（2016）=2×（﹣2）2015+（﹣2）2016=﹣（﹣2）×（﹣2）2015+（﹣2）2016=﹣（﹣2）2016+（﹣2）2016=0；

（3）2M（n）+M（n+1）=﹣（﹣2）×（﹣2）n+（﹣2）n+1=﹣（﹣2）n+1+（﹣2）n+1=0，

∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用了同底数幂的乘法，相反数的性质：

互为相反数的和为零．

24．（2011春•相城区期中）计算：

（1）（﹣8）2011•（﹣）2012；

（2）（a﹣b）5（b﹣a）3．

【分析】

（1）利用an•bn=（ab）n计算即可；

（2）由于（b﹣a）3=﹣（a﹣b）3，再利用同底数幂的法则计算即可．

【解答】解：

（1）原式=（﹣8）2011•（﹣）2011•（﹣），

=[﹣8×（﹣）]2011×（﹣），

=1×（﹣），

=﹣；

（2）原式=（a﹣b）5•[﹣（a﹣b）]3=﹣（a﹣b）8．

【点评】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法法则．注意积的乘方法则的逆运算的利用，以及对互为相反数的变形．

25．（2013•广东模拟）先阅读下列材料，再解答后面的问题．

材料：

一般地，n个相同因数相乘，记为an，如23=8，此时3叫做以2为底8的对数，记为（即）

一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如34=81，4叫做以3为底81的对数，记为．

问题（Ⅰ）计算以下各对数的值：

=　2　；=　4　；=　6　．

（2）观察（Ⅰ）中三数4、16、64之间满足怎样的关系？

、、之间又满足怎样的关系？

（3）由

（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

+=　logaMN　（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）

根据幂的运算法则am•an=am+n以及对数的含义证明上述结论．

【分析】

（1）根据对数的定义，把求对数的数写成底数数的幂即可求解；

（2）根据

（1）的计算结果即可写出结论；

（3）利用对数的定义以及幂的运算法则am•an=am+n即可证明．

【解答】解：

（1）∵4=22，16=24，64=26，

∴=2；=4；=6．

（2）4×16=64，+=；

（3）logaN+logaM=logaMN．

证明：

logaM=m，logaN=n，

则M=am，N=an，

∴MN=am•an=am+n，

∴logaMN=logaam+n=m+n，

故logaN+logaM=logaMN．

故答案是：

2，4，6．

【点评】本题考查了同底数的幂的乘法，正确理解题意，理解对数的定义是关键．

26．（2013春•江阴市校级月考）在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．

比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：

22×23=25，23×24=27，22×26=28…⇒2m×2n=2m+n…⇒am×an=am+n（m、n都是正整数）．

我们亦知：

，，，…

（1）请你根据上面的材料，用字母a、b、c归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式．

（2）试用

（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：

“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．

【分析】

（1）根据已知不等式可找出规律，因为3＞2＞0，1＞0，2＞0，3＞0，，，，…故a＞b＞0，c＞0，则＜；

（2）因为＜，说明原来糖水中糖的质量分数小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数，所以糖水更甜了．

【解答】

（1）你根据上面的材料可得：

＜．

说明：

∵﹣=﹣===，

又∵a＞b＞0，c＞0，

∴a+c＞0，b﹣a＜0，

∴＜0，

∴﹣＜0，

即：

＜成立；

（2）∵原来糖水中糖的质量分数=，

加入k克糖后糖水中糖的质量分数+，

由

（1）＜可得＜，

所以糖水更甜了．

【点评】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，熟练掌握并灵活运用整式的加减混合运算进行计算是解题的关键，也是本题的难点．

27．（2011春•溧阳市校级月考）若1+2+3+…+n=a，求代数式（xny）（xn﹣1y2）（xn﹣2y3）…（x2yn﹣1）（xyn）的值．

【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n计算即可．

【解答】解：

原式=xny•xn﹣1y2•xn﹣2y3…x2yn﹣1•xyn

=（xn•xn﹣1•xn﹣2…x2•x）•（y•y2•y3…yn﹣1•yn）

=xaya．

【点评】主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

28．计算：

（1）（a﹣b）