最新高中数学函数知识点经典总结96956优秀名师资料.docx
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最新高中数学函数知识点经典总结96956优秀名师资料
高中数学函数知识点经典总结96956
高中数学函数知识点总结
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
,,,,,如:
集合A,x|y,lgx，B,y|y,lgx，C,（x,y）|y,lgx，A、B、C中元素各表示什么,
A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹
2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
2如:
集合，AxxxBxax,,,,,,||2301,,,,
若，则实数的值构成的集合为BAa,
1,,（答:
，，）,10,,3,,
显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。
故B只能是-1或者3。
根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3.注意下列性质:
n（）集合，，„„，的所有子集的个数是;12aaa,,12n
要知道它的来历:
若B为A的子集，则对于元素a来说，有2种选择（在或者不在）。
同样，对于元素a,a,„„123
nn22a,都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集。
n
nn221,当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为，
n22,非空真子集个数为
（）若，;2ABABAABB,,,,:
:
（3）德摩根定律:
CCCCCCABABABAB:
:
:
:
,，，，，，，，，，，，，，UUUUUU
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4.你会用补集思想解决问题吗,（排除法、间接法）
ax,5如:
已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x,,,035MMMa2xa,
的取值范围。
a?
35,（?
，?
3,M,023,a5，,,,a1，，）:
925,，，,,3，a?
55,?
，?
5,M,025,a
2（,1）,,注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过;如告诉你函数f（x）=ax+bx+c（a>0）在上单
（1,），,调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实
际上就是方程的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（）（）（）.,,，，“且”和“非”
若为真，当且仅当、均为真pqpq,
若为真，当且仅当、至少有一个为真pqpq,
若为真，当且仅当为假，pp
命题的四种形式及其相互关系是什么,
（互为逆否关系的命题是等价命题。
）
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）
A,{x|xB,{x|xp}q}满足条件，满足条件，
A_____B若;则是的充分非必要条件;pq
A_____B若;则是的必要非充分条件;pq
A_____B若;则是的充要条件;pq
___________若;则是的既非充分又非必要条件;pq
7.对映射的概念了解吗,映射f:
A?
B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应
能构成映射,
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。
）
m注意映射个数的求法。
如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有n个。
A,{1,2,3,4}B,{a,b,c}ABBAAB如:
若，;问:
到的映射有个，到的映射有个;到的函数
A,{1,2,3}AB有个，若，则到的一一映射有个。
y,,（x）函数的图象与直线交点的个数为个。
x,a
8.函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同,
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法:
?
表达式相同;?
定义域一致（两点必须同时具备）
9.求函数的定义域有哪些常见类型,
xx4,，，（答:
，，，）022334:
:
例:
函数的定义域是y,，，，，，，2lgx,3，，
函数定义域求法:
分式中的分母不为零;
偶次方根下的数（或式）大于或等于零;,指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底
数大于零且不等于一，真数大于零。
,,y,tanxxR,且xk,,k,,,，,,正切函数,,2,,
y,cotx,余切函数，，x,R,且x,k,,k,,,反三角函数的定义域
函数y,arcsinx的定义域是[,1,1]，值域是，函数y,arccosx的定义域是[,1,1]，值域是[0,π]，
函数y,arctgx的定义域是R，值域是.，函数y,arcctgx的定义域是R，值域是（0,π）.当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得
到函数的定义域。
10.如何求复合函数的定义域,
如:
函数的定义域是，，，则函数的定fxabbaF（xfxfx（））（）（）,,,,，,0,,
（答:
，）aa,义域是_____________。
,
y,f（x）m,g（x）,n复合函数定义域的求法:
已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的,,,,m,ny,fg（x）范围，即为的定义域。
,y,fg（x）
1，，y,f（x）例若函数的定义域为,2，则的定义域为。
f（logx）2,,2，，
111，，y,f（x）,2分析:
由函数的定义域为可知:
;所以中有。
x,2y,f（logx）,logx,222,,222，，
1解:
依题意知:
logx,222
解之，得2,x,4
?
的定义域为,,x|2,x,4f（logx）2
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1例求函数y=的值域x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2x例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不
必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
bay.,型:
直接用不等式性质2k+x
bxb.y,型,先化简，再用均值不等式2xmxn，，
x11例:
y,,,2121+xx+x
2,,xmxn，，cy..,型通常用判别式2xmxn，，
2xmxn，，d.y,型xn，
法一:
用判别式
法二:
用换元法，把分母替换掉
22xx1，，,（x+1）（x+1）+11例:
y,,,，,,,,（x+1）1211x1x1x1，，，
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x，4例求函数y=值域。
5x，6
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三
角函数的单调性。
xe,12sin1,,2sin1,,例求函数y=，，的值域。
y,y,xe，11sin，1cos，,,
xey,，11xye,,,,0x1,ye，1
2sin11,，y,y,,,,|sin|||1,,1sin2，,y,
2sin1,,yy,,,,，2sin1（1cos）,,1cos，,
2sincos1,,，yy,,
1，y24sin（）1,sin（），，,，，,yxyx即,,24，y
1，y又由知sin（）11，,,x2,4，y
解不等式，求出，就是要求的答案y
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
x,5，例求函数y=（2?
x?
10）的值域x,1log23
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+的值域。
x,1
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22例:
已知点P（x.y）在圆x+y=1上，
y
（1）的取值范围x，2
（2）y-2x的取值范围
y解:
（1）令则是一条过,,，kykx,
（2）,（-2,0）的直线.x,2
d,Rd（为圆心到直线的距离,R为半径）
（2）令y-2xbyxbR,,,,,,20,即也是直线dd
22例求函数y=+的值域。
（x,2）（x，8）
解:
原函数可化简得:
y=?
x-2?
+?
x+8?
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A
（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知:
当点P在线段AB上时，
y=?
x-2?
+?
x+8?
=?
AB?
=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=?
x-2?
+?
x+8?
?
AB?
=10
故所求函数的值域为:
[10，+?
）
22例求函数y=+的值域,6x，13，4x，5xx
2222解:
原函数可变形为:
y=，，+（x,3）（0,2）（x，2）（0，1）
上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，
22，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y=?
AB?
==，43（3，2）（2，1）min故所求函数的值域为[，+?
）。
43
注:
求两距离之和时，要将函数
9、不等式法
，利用基本不等式a+b?
2，a+b+c?
3（a，b，c?
），求函数的最值，其题型特征解析式是和式3abcabR时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例:
22x，,x（0）x
2x（3-2x）（03abc，，（）（应用公式abc,时，应注意使3者之和变成常数）3
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
x，2例求函数y=的值域x，3
x，2y,x，3
x，,20时，
12111x，，,,，，,,,,xy220y2xx，，22
xy，,20时，=0
1？
,0y2
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑
直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗,
切记:
做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，
与到手的满分失之交臂
x如:
，求fxexfx，,，1（）.，，
令，则txt,，,10
2?
xt,,1
2t,12?
ftet（）,，,1
2x,12?
fxexx（）,，,,10，，
13.反函数存在的条件是什么,
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗,
（?
反解x;?
互换x、y;?
注明定义域）
10，,xx,，，,如:
求函数的反函数fx（）,,2,,xx0,，，,
xx,,,11，，,,1（答:
）fx,（）,,,,xx0,，，,
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题:
（2004.全国理）函数的反函数是（B）y,x,1，1（x,1）
22A（y=x,2x+2（x<1）B（y=x,2x+2（x?
1）
22C（y=x,2x（x<1）D（y=x,2x（x?
1）
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。
可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。
下面请看一下我的思路:
原函数定义域为x〉=1，那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在看值域。
原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1,答案为B.
我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。
思路能不能明白呢,
14.反函数的性质有哪些,
反函数性质:
1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称
?
互为反函数的图象关于直线y,x对称;
?
保存了原来函数的单调性、奇函数性;
1?
设的定义域为，值域为，，，则yf（x）ACaAbCf（a）=bf,,,,,（）ba
,,111？
,,,ffafbaffbfab（）（）（）（），,,,,
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
4,1（04.上海春季高考）已知函数，则方程的解__________.f（x）,4f（x）,log（，2）x,3x
15.如何用定义证明函数的单调性,
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种:
（1）定义法:
根据定义，设任意得x,x，找出f（x）,f（x）之间的大小关系1212
fxfx（）（）,fx（）121可以变形为求的正负号或者与1的关系fx（）xx,122
（2）参照图象:
?
若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性;（特例:
奇函数）
?
若函数f（x）的图象关于直线x,a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。
（特例:
偶函数）
（3）利用单调函数的性质:
?
函数f（x）与f（x），c（c是常数）是同向变化的
?
函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c,0时，它们是同向变化的;当c,0时，它们是反向变化的。
?
如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x），f2（x）和它们同向变化;（函数相加）?
如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化;如果负值函数f1
（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化;（函数相乘）
1?
函数f（x）与在f（x）的同号区间里反向变化。
fx（）
?
若函数u,φ（x），x[α，β]与函数y,F（u），u?
[φ（α），φ（β）]或u?
[φ（β）,φ（α）]同向变化，则在[α，β]上复合函数y,F[φ（x）]是递增的;若函数u,φ（x）,x[α，β]与函数y,F（u），u?
[φ（α），φ（β）]或u?
[φ（β），φ（α）]反向变化，则在[α，β]上复合函数y,F[φ（x）]是递减的。
（同增异减）
1?
若函数y,f（x）是严格单调的，则其反函数x,f（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f（g）g（x）f[g（x）]f（x）+g（x）f（x）*g（x）
都是正
数
增增增增增
增减减//
2减增减//如:
求的单调区间yxx,,，log2，，1
2减减增减减
2（设，由则uxxux,,，,,,2002
2且，，如图:
loguux,,,,，11，，1
2
u
O12x
当，时，，又，?
xuuy,,,,（]log011
2
当，时，，又，?
xuuy,,,,[）log121
2
?
„„）
16.如何利用导数判断函数的单调性,
在区间，内，若总有则为增函数。
（在个别点上导数等于abfxfx'（）（）,0，，
零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢,fx'（）,0
3如:
已知，函数在，上是单调增函数，则的最大afxxaxa,,,，,01（），,
值是（）
A.0B.1C.2D.3
,,,aa2（令fxxax'（）,,,，33x,,0,,,,33,,,,
aa则或x,,,x33
a由已知在，上为增函数，则，即fx（）[）1，,,,13a3
?
a的最大值为3）
17.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么,
（f（x）定义域关于原点对称）
若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx（）（）（）,,,,,
若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy（）（）（）,,,,
注意如下结论:
（1）在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积
是奇函数。
（）若是奇函数且定义域中有原点，则。
2f（x）f（0）0,
xaa?
22，,如:
若fx（）,为奇函数，则实数a,x21，
（?
为奇函数，，又，?
fxxRRf（）（）,,,000
0aa?
22，,即01，?
）a,,021，
x2又如:
为定义在，上的奇函数，当，时，，fxxfx（）（）（）（）,,,1101x41，求在，上的解析式。
fx（）,11，，
x2（令，，则，，xxfx,,,,,,1001（），，，，,x41，
xx22又为奇函数，?
fxfx（）（）,,,,,xx，，4114
xx,,（）10，,2,,xx,041，,又，?
ffx（）（）00,,）,x2,x,01，，，x,41，,
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
若函数的定义域不关于一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.
原点对称，则函数为非奇非偶函数.
二、奇偶函数定义法
f（,x）在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形
f（x）+f（-x）=0奇函数
f（x）-f（-x）=0偶函数
f（x）,1偶函数f（-x）
f（x）,,1奇函数f（-x）
三、复合函数奇偶性
f（g）g（x）f[g（x）]f（x）+g（x）f（x）*g（x）
奇奇奇奇偶
奇偶偶非奇非奇
偶
偶奇偶非奇非奇
偶
18.你熟悉周期函数的定义偶偶偶偶偶
吗,
（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTfxTfxfx,，,0（）（），，
函数，T是一个周期。
）
如:
若，则fxafx，,,（），，
（答:
是周期函数，为的一个周期）fxTafx（）（）,2
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况:
告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推
fxfxt（）（）0，，,,,,,，fxfxt（）
（2），导:
fxtfxt（）
（2）0，，，,,
同时可能也会遇到这种样子:
f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思:
函数f（x）关于直线对称，
对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于直线x=a
对称。
又如:
若图象有两条对称轴，fxxaxb（）,,
即，faxfaxfbxfbx（）（）（）（），,,，,,
fxfax（）
（2）,,,,,,,,,,,faxfbx
（2）
（2）,,fxfbx（）
（2）,,,,
令则taxbxtbaftftba,,,,，,,，,2,222,（）（22）
即fxfxba（）（22）,，,
所以函数以为周期因不知道的大小关系,（）2||（,,fxbaab,
为保守起见我加了一个绝对值,
如:
19.你掌握常用的图象变换了吗,
fxfxy（）（）与的图象关于轴对称,联想点（x,y）,（-x,y）
fxfxx（）（）与的图象关于轴对称,联想点（x,y）,（x,-y）
fxfx（）（）与的图象关于原点对称,,联想点（x,y）,（-x,-y）
1fxfxyx（）（）与的图象关于直线对称,联想点（x,y）,（y,x）
fxfaxxa（）（）与的图象关于直线对称2,,联想点（x,y）,（2a-x,y）
fxfaxa（）（）（）与的图象关于点，对称,,20联想点（x,y）,（2a-x,0）
yfxa,，（）左移个单位aa（）,0将图象yfx,（）,,,,,,,,,,yfxa,,（）右移个单位aa（）,0
yfxab,，，（）上移个单位bb（）,0,,,,,,,,,,yfxab,，,（）下移个单位bb（）,0
（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。
对于这种题目，其实根本不用这么
麻烦。
你要判断函数y-b=f（x+a）怎么由y=f（x）得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。
看点和原点的关系，就
可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
）
注意如下“翻折”变换:
fxfx（）|（）|x,,,把轴下方的图像翻到上面
fxfx（）（||）y,,,把轴右方的图像翻到上面
如:
fxx（）log,，1，，2
作出及的图象yxyx,，,，loglog11，，22
y
xy=log2
O1x
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗,
（k<0）y（k>0）
y=b
O’（a,b）
Ox
x=a
（k为斜率，b为直线与y轴的交点）（）一次函数:
10ykxbk,，,，，
kk（）反比例函数:
推广为是中心，200y,,,，kybkOab,'（），，，，xxa,的双曲线。
22b4acb,,,2（）二次函数图象为抛物线30yaxbxcaax,，，,,，，，，,,,,2a4a
2,,b4acb,b顶点坐标为，，对称轴,x,,,,2a42aa,,
24acb,开口方向:
，向上，函数ay,,0min4a
24acb,ay,,0，向下，max4a
,b根的关系:
x,2a
bcxxxxxx，,,，,,,,,||121212aaa||
二次函数的几种表达形式:
2fxaxbxc（）（）,，，一般式
2fxaxmn（）（）（mn,,，顶点式，（，）为顶点
fxaxxxxxx（）（）（）（,2,,,是方程的个根）1212
fxaxxxxhxhxh（）（）（）（,）（,）,,,，函数经过点（1212
应用:
?
“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
22axbxcxxyaxbxcx，，,,,，，00，时，两根、为二次函数的图象与轴,12
2的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。
axbxc，，,,00（）
?
求闭区间,m，n,上的最值。
b区间在对称轴左边（）nffmffn,,,,max（）,min（）2a
b区间在对称轴右边（）mffnffm,,,,max（）,min（）2a
b区间在对称轴边2（）nm,,,2a
24cb,afffmfnmin,maxmax（（）,（））,,4a
也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大m,n
（只讨论的情况）a,0
?
求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
?
一
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