功和能习题解答.docx

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功和能习题解答

第四章功和能

一 选择题

1. 一辆汽车从静止出发，在平直公路上加速前进时，若发动机功率恒定，

则正确的结论为：

（）

A. 加速度不变B. 加速度随时间减小

C. 加速度与速度成正比D. 速度与路径成正比

解：

答案是 B。

简要提示：

在平直公路上，汽车所受阻力恒定，设为 Ff。

发动机功率恒定，

则 P =F v，其中 F 为牵引力。

由牛顿运动定律得 F - F = ma ，即：

ma = P/v F 。

ff

所以，汽车从静止开始加速，速度增加，加速度减小。

2. 下列叙述中正确的是：

（）

A. 物体的动量不变，动能也不变．

B. 物体的动能不变，动量也不变．

C. 物体的动量变化，动能也一定变化．

D. 物体的动能变化，动量却不一定变化．

解：

答案是 A。

3. 一颗卫星沿椭圆轨道绕地球旋转，若卫星在远地点 A 和近地点 B 的角动

（

量与动能分别为 LA、EkA 和 LB、EkB，则有：

 ）

A.LB > LA， EkB > EkA

B.LB > LA， EkB = EkA

B

地球

选择题 3 图

A

C.LB = LA， EkB > EkA

D.LB = LA， EkB = EkA

解：

答案是 C。

简要提示：

由角动量守恒，得 vB > vA，故 EkB > EkA。

4. 对功的概念有以下几种说法：

（1） 保守力作正功时，系统内相应的势能增加．

（2） 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零．

（3） 作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零．

在上述说法中：

（）

A. 

（1）、

（2）是正确的；B. 

（2）、（3）是正确的；

C. 只有

（2）是正确的；D. 只有（3）是正确的．

解：

答案是 C。

5. 如图所示，足够长的木条 A 置于光滑水平面上，另一木块 B 在 A 的粗糙

平面上滑动，则 A、B 组成的系统的总动能：

（）

A.不变

B

B.增加到一定值

C.减少到零

A

选择题 5 图

D.减小到一定值后不变

解：

答案是 D。

简要提示：

B 在 A 的粗糙平面上滑动，摩擦力最终使 B 相对于 A 静止下来，

根据质点系的动能原理，它做的功使系统的总动能减少。

当 B 相对于 A 不动时，

摩擦力就不再做功，系统的总动能也就不再变化。

6. 人造卫星绕地球作圆周运动，由于受到稀薄空气的摩擦阻力，人造卫星

的速度和轨道半径的变化趋势应为：

（）

A.速度减小，半径增大B.速度减小，半径减小

C.速度增大，半径增大D.速度增大，半径减小

解：

答案是 D。

简要提示：

系统机械能 E = - GMm

2r

系统的机械能将减少。

因此 r 将减小。

，由于阻力做负功，根据功能原理可知

再根据圆周运动方程为

mv 2  GMm GM

= ， v 2 =

2

r     r          r

，因此速度将增大。

7. 一条长为 L 米的均质细链条，如图所示，一半平直放在光滑的桌面上，

另一半沿桌边自由下垂，开始时是静止的，当此链条末端滑到桌边时（桌高大于

链条的长度），其速率应为：

 （）

A． gLB． 2 gL

C． 3gLD．

1

2

3gL

解：

答案是 D。

简要提示：

运动过程中机械能守恒，则以桌面为零

势能点，初始时机械能为 -

1

8

mgL ，其中 m 为链条的质

11

量；链条末端滑到桌边时机械能为mv 2 -mgL 。

两

22

选择题 7 图

者相等，得：

 v =

1

2

3gL

8． 一竖直悬挂的轻弹簧下系一小球，平衡时弹簧伸长量为d．现用手将小

球托住，使弹簧不伸长，然后将其释放，不计一切摩擦，则弹簧的最大伸长量：

（）

A．dB.d/2；C. 2d；D.条件不足无法判定．

解：

答案是 C。

简要提示：

设弹簧的最大伸长量为 x，由机械能守恒，有

mgx = 1

2

kx 2

由：

mg = kd

所以有：

x = 2d

二 填空题

1. 质量m＝1 kg 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，

其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F ＝3＋2x （SI），那么，物体在开

始运动的3 m 内，合力所作的功W ＝________________；且x＝3 m 时，其速率 v

＝________________________．

解：

答案是 18 J ； 6 ms–1

简要提示：

合力所作的功为：

W = ⎰3 Fdx = ⎰3 （3 + 2 x）dx = 18J

00

由动能定理

W = 1 mv 2

2

v = 6 m ⋅ s -1

2. 一颗速率为700 ms–1的子弹，打穿一块木板后，速率降到500 ms–1。

如果让它继续穿过厚度和阻力均与第一块完全相同的第二块木板，则子弹的速率

将降到______________________________．（空气阻力忽略不计）

答案是100 ms–1

简要提示：

由动能定理，木板对子弹所作的功为：

1

21

设子弹穿透第二块木板的速率为 v，有：

W =

1     1

2

所以

v =2v 2 - v 2 = 100m ⋅ s -1

21

3. 将一劲度系数为 k 的轻弹簧竖直放置，下端悬一质量为 m 的小球，开始

时使弹簧为原长而小球恰好与桌面接触，今将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚

能脱离桌面为止，在此过程中外力作功为。

解：

答案是

m 2 g 2

2k

4. 质量分别为 m 和 m’的两个粒子开始处于静止状态，且彼此相距无限远，

在以后任一时刻，当它们相距为 d 时，则该时刻彼此接近的相对速率

为。

解：

答案是2G（m + m'）

d

简要提示：

设质量为 m 和 m′ 的两个粒子当它们相距为 d 时的速率分别为

v1 和 v2，显然速度的方向相反。

在它们运动过程中只受到相互间的万有引力作用，

因此系统的机械能和动量均守恒。

根据题意，相距无限远时系统的总能量为零。

因此有

11Gmm'

mv 2 +m v 2 -= 0

12

mv = m v

1

2

从以上两式解出v =

1

因此两个粒子彼此接近的相对速率为

2Gm'2

d （m + m'）

mm + m'm + m'2Gm' 2

v + v = v +v =v ==

1211

5. 如图所示，一质量为 m 的物体位于质量可以忽略的直立

2G（m + m'）

d

y

m

弹簧上方高度为 h 处，该物体从静止开始落向弹簧，设弹

簧的劲度系数为 k，若不考虑空气阻力，则物体可能获得

的最大动能为。

h

o

解：

答案是 E

kmax

= mgh +

m 2 g 2

2k

填空题 5 图

简要提示：

以弹簧的平衡位置为原点，选该点为重力势能零点，则物体初始

的机械能为 mgh。

物体与弹簧接触后，弹簧被压缩，物体的机械能守恒：

- mgy + 1

2

ky 2 + E = mgh

k

dEmg

由； E

dyk

kmax = mgh +

m 2 g 2

2k

6. 逃逸速率大于真空中光速的天体称为黑洞，设黑洞的质量等于太阳的质

量，为×1030kg，引力常数为 G= ×10–11Nm2kg–1，真空光速 c = ×108 ms–1，

则按经典理论该黑洞可能的最大半径为m。

解：

答案是×103m

简要提示：

由第二宇宙速度公式，物体要脱离太阳引力所需的速度为：

v =2Gm

2

0 ，其中 m 为太阳的质量。

令 v 等于光速 c，得到

0 2

R = 2Gm / c 2 = 2.96 ⨯ 10 3 m

0

7. 一质量为 2kg 的物体与另一原来静止的物体发生弹性碰撞后仍沿原方向

继续运动，但速率仅为原来的四分之一，则被碰撞物体的质量为。

解：

答案是 1.2 kg

m  + m

简要提示：

由弹性碰撞的速度公式：

 v = （m1 - m2 ）v10 + 2m2 v

1

12

20

3

2

三 计算题

1. 如图，一质点在平面内作圆周运动，有一力 F = F （ xi + yj） 作用在质点

0

上。

在该质点从坐标原点（0，0）运动到 （2R，0）位置过程中，求此力对质点所

作的功。

解 根据式（4.1.4），有

W

ab

= ⎰b（F dx + F dy） = ⎰2R F xdx + ⎰0 F ydy =

x y 0 0

1

F x 2

2 0

2R

0

= 2F R 2

0

y

R

O

2R   x

计算题 1 图

2. 用铁锤把钉子水平敲入木板，设钉子受到的阻力与钉子打入的深度成正

比。

第一次打击，能把钉子打入木板1cm，如第二次打击时，保持第一次打击钉

子时的速度，求第二次钉子打入的深度。

解：

阻力与深度成正比，有 F = kx，两次敲击钉子的条件相同，钉子获得

的动能也相同，所以阻力对钉子作的功相同：

0.010.01+∆x

00.01

得：

∆x = 0.0041m = 0.41cm

3. 质量为 2×103kg 的子弹以 500 ms–1 的速率水平飞出，射入质量为 1kg

的静止在水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为100 ms–1，而木块向前

滑行了 0.2m。

求：

（1）木块与平面间的滑动摩擦因数；

（2）子弹动能和动量的减少量。

（

得木块在子弹穿出后的速率为

m（v - v）2 ⨯ 10 -3 ⨯ （500 - 100）

V === 0.8 （m ⋅ s -1 ）

m1

0

由动能原理，木块与平面间的滑动摩擦力作的功等于木块损失的动能，即

- F x = -μ m gx = ∆E

f0

1

km0 = 0 - 2 m0V 2

得μ =

（2）子弹动能减少

V 2     0.64

=            = 0.163

2gx  2 ⨯ 9.8 ⨯ 0.2

∆E

km =

1           1

0

子弹动量减少

0

4. 以线密度的细线弯成半径为 R 的圆环，将一质量为 m0 的质点放在环

中心点时，求圆环和质点的引力势能。

解将圆环分成无限多个线元，在圆环上任取一个线元，长 dl，则其质量

为

dm = λ ⋅ d l = λ ⋅ Rdθ

线元 dm 和质点 m0 之间的引力势能为

dE = -

p

Gm dm

0

R

= -Gm λdθ

0

圆环和质点 m 之间的引力势能为

E = ⎰ dE = ⎰2π - Gm λdθ = -2πGm λ

pp00

如圆环的质量为 m，则可写作

力，使其轨道半径收缩到 R2。

设地球质量为 mE，试计算：

   ）卫星动能、势能和

E = -2πGm λ = - Gm0 m

p0

5. 一颗质量为 m 的人造地球卫星，沿半径为 R1 圆形轨道运动，由于微小阻

（1

机械能的变化；

（2）引力作的功；（3）阻力作的功。

解 

（1）卫星所受的地球引力提供其作圆周运动的向心力，则

Gmm

E =

R 2

mv2

R

由此得卫星的动能为

E =

k

1 Gmm

mv2 = E

2       2R

动能的变化为

∆E =

k

Gmm

2R

2

E -

Gmm

2R

1

E

势能的变化为

∆E = （- GmmE ） - （-

p

2

Gmm

E ） = -（

R

1

Gmm

E -

R

2

Gmm

E ）

R

1

2R

上式表明：

 ∆E = -2∆E 。

pk

机械能的变化

∆E = ∆E + ∆E = -∆E = GmmE -

kpk

1

Gmm

E

2R

2

（2）引力是保守内力，它作的功等于势能的减少，即

W = -∆E = 2∆E = （ Gmm

Gpk

2

E -

Gmm

R

1

E ）

（3）根据系统的功能原理，阻力作的功等于系统机械能的变化，即

W

k

Gmm

E -

2R

1

Gmm

E

2R

2

我们可以看到，在这个过程中空气阻力作负功，地球引力作正功，且其值为

阻力所作负功的绝对值的两倍。

尽管系统机械能减少，但是卫星的动能增加了。

6. 弹簧原长等于光滑圆环半径R．当弹簧下端悬挂质量

为m 的小环状重物时，弹簧的伸长也为R．现将弹簧一端系

于竖直放置的圆环上顶点A，将重物套在圆环的B 点，AB 长

为 ，如图所示．放手后重物由静止沿圆环滑动．求当重物

计算题 6 图

滑到最低点C 时，重物的加速度和对圆环压力的大小．

解：

重物沿圆环滑动过程中，只有重力和弹力做功，所以机械能守恒，如图

所示，有：

111

k∆l 2 + mg （2R - 1.6R cosθ ） =k∆l2 +mv 2

BCC

其中 ∆l = 0.6R ， ∆l= R ， cosθ = 1.6R / 2R = 0.8 。

BC

由题意可知：

mg = kR ，即 k = mg / R

所以有：

v 2 = 0.8 gR

C

重物在圆环 C 处所受的力为重力、弹力 F 和环的支持力 N，

都沿着竖直方向，所以重物在 C 点的加速度为：

v 2

a =C

C

由牛顿第二定律有：

N + F - mg = ma = m

C

v 2

C

R

v 2

C

C

N = 0.8mg

7. 劲度系数为 360 Nm–1 的弹簧，右端系一质量为

0.25kg 的物体 A，左端固定于墙上，置于光滑水平台面上，

物体 A 右方放一质量为 0.15kg 的物体 B，将 A、B 和弹簧

A B

计算题 7 图

一同压缩 0.2m，然后除去外力，求：

（1） A、B 刚脱离时 B 的速度；

（2） A、B 脱

离后，A 继续向右运动的最大距离。

解：

（1） 物体 AB 一起运动，机械能守恒，当两物体运动到弹簧原长位置时，

两物体将要分离，此时两物体的速度 v 满足

11

1 A B 1

k

（m + m ）

A B

= 6.0 m ⋅ s-1

（2） 物体 A 向右运动的最大距离 x2 满足

11m

22

8. 如图所示，两根绳上分别挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复

系数 e = 。

球 A 由如图所示的静止状态释放，撞击球 B，刚好使球 B 到达绳成水

平的位置，试证明球 A 释放前的张角应满足 cos= 1 / 9。

证：

设球到达最低点速率为 v，则有

1

2

mv 2 = mg 2l （1 - cosθ ）

得到

v = 4 gl （1 - cos θ ）                           2l

2

4

设碰撞后两球速率为 vA 、vB，则有

v - v

e =BA = 0.5

v

v

v - v =

BA

由动量守恒

mvB +mvA = mv

由以上两式联立解得

v = 3 v

B

B 在碰撞后的运动中机械能守恒

1

mv 2 = mgl

2

B

即

19

m ⨯⨯ 4gl（1 - cosθ ） = mgl

216

解得

l

B

计算题 8 图

A

cosθ = 1

9

9. 如图所示，一质量为 m 的钢球，系在一长为 R 的绳一端，绳另一端固定，

现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为 m0，静止于水平面上的

钢块发生弹性碰撞，求碰撞后 m 和 m0 的速率。

解：

球下摆过程中机械能守恒mgR= mv2/2

球速率

v =2 gR

m

R     O

碰撞前后动量守恒，设碰撞后 m 和 m0 的速率分别

m

为 v1 和 v2，所以

mv =mv1+ m0v2

因为发生弹性碰撞，所以碰撞中动能是守恒的

111

1

计算题 9 图

联之解得v = m - m

1

0

v = m - m

m + m

0

0

2 gR

v =2mv

2

0

=

2m

m + m

0

2gR

10. 一质量为 m 的运动粒子与一质量为 km 的静止靶粒子作弹性对心碰撞，

求靶粒子获得最大动能时的 k 值。

解：

根据动量守恒mv = mv + kmv

01

2                  

（1）

11

01

由

（1）式得到 v1= v0kv2，代入

（2）式

v

2

0 2 2

v =

2

2 v

0

k + 1

12v

靶粒动能E =km（0 ） 2

k

dE

dk

则有当 k=1 时，Ek最大。