高三一模试题数学超强解析版.docx
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高三一模试题数学超强解析版
2021年高三一模试题（数学）超强解析版
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
1．在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
1.【题型】复数
【审题】分母存在，分子分母同时乘以，分母出现，转化为实数，再化简得
形式，其在复平面内对应的点为，便知它所在的象限.
【详解】方法1:
在复平面中对应于点,选D.
方法2:
，在复平面中对应于点,选D.
方法3:
，在复平面中对应于点,选D.
方法4（待定系数法）：
设，则，有，
即，在复平面中对应于点,选D.
【易错警示】
（1）对“—”处理不当，而致错，如；
（2）算得，不能化为的形式，而找不到答案.
【矫正建议】熟练掌握复数的代数运算,尽量保持运算过程的完整,严防出现“－”的错误.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
复数的除法与乘法，复数的几何意义（在复平面中所对应的点）.
2、相关考点、方法：
（1）复数的概念：
①我们把形式的数叫做复数，其中、分别叫做复数的实部与虚部，
②当时，为实数；当，时，为纯虚数.
③相等：
.
（2）复数的四则运算：
①加：
，
②减：
，
③乘：
，
④除：
.
（3）复数的几何意义：
①与点对应：
复数在复平面中对应于点，
②与向量对应：
复数对应向量，
（4）与有关的几个速算公式：
①与相关的运算：
，，，，，…，（如
，连续4个为一组，共25组，答案为0），
②与、相关的运算：
，，（如），
③与、相关的运算：
，，（如2）.
补充贴纸
2．设集合A={}，集合B={}，则（）
A． B． C． D．
2.【题型】集合
【审题】集合A的元素为，要求的范围，由对数函数有意义得其真数，有，
集合B的元素为，要求的范围，由，得，再求即可.
【详解】A==，B=，故选B.
【易错警示】误认为集合A的元素为，集合B的元素为，没有公共元素，得，
没有正确的选项.
【矫正建议】其实集合A只表示元素的取值范围，实集合B表示元素的取值范围，这两个范围是可以求公共范围的，将集合B中的用字母、等表示也是一样的.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
（1）考点：
对数函数的定义域，二次函数的值域，不等式的解法与性质，集合的概念及求交集运算.
（2）方法：
直接法.
2、相关考点、方法：
（1）常见函数的定义域：
①对数型（如，直接法，答案），
②幂型（如，直接法，答案），
③分数型（如，直接法，答案），
④根号型（如，直接法，答案）.
（2）常见函数的值域：
①一次函数（如，直接法，用函数单调性），
②二次函数（如,,配方法,数形结合）,
③三次函数（如,导数法，数形结合），
④指数函数型（如，，数形结合），
⑤对数函数型（如，直接法，用函数单调性），
⑥双勾函数型（如，图象法或基本不等式法），
⑦三角函数型（如，，换元法，公式法）.
（3）常见不等式的解法：
①一元一次不等式（如，直接法，用不等式的性质），
②一元二次不等式（如，十字相乘法，，求根公式法，，参数讨论法），
③分式不等式（如，转化为积的形式，，移项转化为前面的类型，，观察法），
④指数型不等式（如，常数指数化法），
⑤指数型不等式（如，常数对数化法
），
⑥三角型（如，数形结合法），
⑦综合型（如，图象法）.
（4）集合的概念及基本运算：
①看准集合元素的含义（如将集合B改为B={}，则
），
②并集运算（如求），
③补集运算（如求），
（5）与列举法相关的问题：
设集合A={}，集合B={}，
则.
（6）与韦因图相关的问题：
设全集，集合A={}，集合B={}，则用阴影部分表示，正确的是（）A
（7）与数轴相关的问题：
设集合A={}，集合B={}，则，
则实数的取值范围是（，，方法1（直接法）：
由
结合数轴得或，有或
，即，方法2（补集法）：
当时，结合数轴得或，即或时，，故时，必有）.
（8）与充要条件有关的问题：
设集合A={}，集合B={}，则“”是“”的条件.（充分不必要）
补充贴纸
3．抛物线的焦点坐标是（）
A．B．C．D．
3.【题型】圆锥曲线基础题
【审题】一次项为，该抛物线的对称轴为轴，且标准方程中一次项的系数为
，知开口方向向右，所求焦点必为，与对比知.
【详解】∵∴，∴抛物线的焦点是，故选C.
【易错警示】当抛物线的方程不是标准方程，必需先化为标准方程，再求其焦点、准线等，如
抛物线的焦点为，（）.
【矫正建议】将抛物线的方程化为标准形式，便于数形结合地考虑问题.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
抛物线的标准方程、焦点，直接法.
2、相关考点、方法：
（1）圆锥曲线的定义：
①椭圆：
到两定点的距离之和为定值（即）的点P的集合，
②双曲线：
到两定点的距离之差为定值（即）的点P的集合，
③抛物线：
到定点与到定直线距离相等（即）的点P的集合，
（2）圆锥曲线的焦点：
①椭圆与的焦点分别为与
，其中，（如的焦点为），
②双曲线与的焦点分别为与，其中，（如的焦点为），
③抛物线、、、的焦点分别为、、、，（如的焦点为），
（3）双曲线的渐近线与抛物线的准线：
①双曲线与的渐近线分别为与
，即与，（如的渐近线为），
②抛物线、、、的准线分别为、、、，（如的准线为），
补充贴纸
4．若平面向量与的夹角是180°，且，则等于（）
A．B．C．D．
4.【题型】平面向量
【审题】与的夹角为，说明它们共线且方向相反，于是可设，
即，再由得，从中解得后即得.
【详解】方法1：
设，即，又，得，
解得，又，∴，于是，选A.
方法2：
设，则得
（1）
又
（2），由
（1）
（2）可解得x=-3,y=6，选A；
【易错警示】方法2的运算量稍大，容易出现运算上的错误（但较具有一般性，如与的夹角为时，方法1则不能用，只能用方法2），共线与垂直的向量易误用结论与
.
【矫正建议】深入分析题意中所给出的特定义条件，常可提高解题效率.但一般性的方法也不能放过，否则难以触类旁通.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
平面向量的夹角、共线、模与坐标运算.直接法，待定系数法.
2、相关考点、方法：
①共线（又称平行）向量：
（或），（如与平行，则），
②垂直向量：
，（如与垂直，则），
③向量的夹角：
，其中，
（i）夹角为锐角（如与的夹角为锐角，的取值范围是且
），
（ii）夹角为钝角（如与的夹角为钝角，的取值范围是），
④向量的模：
，（如与的夹角为，且，则），
⑤数量积：
，（如，，，则），
⑥向量的投影：
在上的投影为，在上的投影为，（如，，则在上的投影等于）.
补充贴纸
（第5题图）
5.某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一
个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长
为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的体积为（）
A．24B．80C．64D．240
5.【题型】三视图与直观图
5
8
6
【审题】根据题意联想可得该几何体为一个四棱锥，如图所示，
底面为长方形，高为5，用锥体的体积公式可计算其体积.
【详解】结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥的的底面是边长为8
和6的长方形，棱锥的高是5，
∴由棱锥的体积公式得，故选B
【易错警示】
（1）不能想象得到其直观图，
（2）投影线的长度理解有误致错.
【矫正建议】在心中的后面、右方、下方各放置一块墙（形成一墙角），然后作投影理解，正视图是光线从正方向直射到后面的墙形成的影子，左视图与俯视图可作同样的理解.与投影墙平行的线段在三视图中长度不变，不平行的长度改变.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
三视图与直观图关系，锥体体积的计算.
2、相关考点、方法：
（1）由三视图联想直观图：
①三角形联想到锥体（棱锥或圆锥），②长方体联想到柱体（棱柱或圆柱），③圆联想到圆柱、圆锥或球，④梯形联想到台体（棱台或圆台），⑤综合型联想到组合体.
（2）由直观图计算三视图的面积：
先在投影墙上画出三视图，再求其面积，
（3）直观图体积的计算：
①柱体（棱柱或圆柱）（从考虑高入手），②锥体（棱锥或圆锥）（从考虑高入手），③台体（棱台或圆台）（考到会给出公式），④球，
⑤不规则几何体：
割补法，⑥组合体：
各几何体的体积和.
（4）直观图面积的计算：
①柱体（棱柱或圆柱）各展开面的面积之和（由对称性简化计算量），②锥体（棱锥或圆锥）各展开面的面积之和（注意扇形的面积），③台体（棱台或圆台）各展开面的面积之和（注意曲边梯形的面积），（考到会给出公式），
④球，
⑤组合体：
各展开面的面积之和.
补充贴纸
6.角终边过点，则=（）
A．B．C．D．
6.【题型】三角基础题
【审题】回顾三角函数的定义，求出，回代可计算得的值.
【详解】由，得，∴选B.
【易错警示】三角函数的定义含糊不清，容易出现，等错误.
x
y
O
P（x,y）
x
y
r
a
【矫正建议】用特殊理解一般的方法掌握三角函数的定义，如图，
有，，，其中，对于其他
象限也成立.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
三角函数的定义，直接法.
2、相关考点、方法：
（1）与分类讨论相关的问题：
如角终边过点，则=或，
（2）与直线相关的问题：
如角的终边在直线上，则=或，
（3）与正弦线、余弦线、正切线相关的问题：
如已知角的正弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在（）B
A.轴上B.轴上C.直线上D.直线上
若将正弦线换为余弦线、正切线呢？
（轴上、直线上或直线上）.
（4）涉及简单的化简求值问题：
①知求型：
如已知，则，
②知求型：
如已知，则，
③知求型：
如已知为锐角，且，则，
④知求与的齐次型：
如已知，则，
.
补充贴纸
7．已知、满足约束条件，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
7.【题型】线性规划题
【审题】解决线性规划问题有三步曲：
（1）画（画出可行域），画出可行域如图所示，
（2）变（将目标函数变形，从中抽象出截距或斜利或距离），
将，即，将直线平移得直线，
当直线过点时，截距有最大值，即有最小值，
当直线过点时，截距有最小值，即有最大值，
（3）代（将合适的点代到原来目标函数中求所求的最值），将点代入得
，将点代入得，有.
【详解】作出可行区域可得，当时，z取得最小值－1，当时，z取得最大值2，故选C
【易错警示】易将误理解为直线在轴上的截距，而错求得，.
【矫正建议】变形后，深入理解的几何意义才是解决这类问题的要害.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
可行域的画法，目标函数的变形，最值问题，数形结合法.
2、相关考点、方法：
（1）截距不变型：
①如求的取值范围，（），
②如求的取值范围，（），
（2）条件含参数型：
①已知、满足约束条件，且的最小值为，则实数,
②已知、满足约束条件，且存在无数组使得取得最小值，则实数,
（3）斜率型：
已知、满足约束条件，则的取值范围是,
（4）距离型（圆半径平方型）：
已知、满足约束条件，则的取值范围是，
（5）隐含型：
已知函数的一个零点在内，另一个零点在内，则
的最小值为.
补充贴纸
8．以下有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若,则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若为假命题，则、均为假命题
D．对于命题，使得，则，则
8.【题型】命题与充要条件
【审题】“若，则”的逆否命题为“若，则”，知A正确，“”“”
（即或），而“”“”，知B正确，若为假命题，说明、中至少有一个为假命题，知C错，命题“，使”的否定为“，使”，知D正确.
【详解】若为假命题，则只需至少有一个为假命题即可.故选C.
【易错警示】若对四种命题、充要条件、复合命题、含有一个量词命题的否定等相关概念理解不透彻，容易出现错选.
【矫正建议】对四种命题、充要条件、复合命题、含有一个量词命题的否定等容易忘记与混淆的概念，建议作一次详尽的分析整理后，还要在每次考试前作一次回顾复习，以免遗忘.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
“若，则”的逆否命题,充要条件的判断（一元二次方程的实根），与、、相关的复合命题的真假判断，含一个量词命题的否定，直接法.
2、相关考点、方法：
（1）四种命题：
原命题：
若，则
逆命题：
若，则
否命题：
若，则
逆否命题：
若，则
互逆
互逆
互否
互否
逆
否
否
同真假
（2）充要条件：
①，A是B的充分条件，B是A的必要条件，
②，A是B的充要条件，B是A的充要条件，
③，A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件，
④，A是B的必要不充分条件，B是A的充分不必要条件，
⑤，A是B的既不充分也不必要条件，B是A的既不充分也不必要条件，
（3）含有（并）、（且）、（非）的复合命题：
①为真、至少一个为真（即一真一假或两真），为假、均为假，
②为真、均为真（即两真）,为假、至少一个为假（即一真一假或两假），
③为真为假，与必一真一假，
④为真，为假、一真一假（即真、假或假、真），
⑤“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“都是”的否定是“不都是”，
（4）含有一个量词命题的否定（命题的否定，即否定原说法（结论））：
①“，使”的否定是“，使”，
（即不是任意的，使成立，也即存在某个，使成立，如“，使得”的否定是“不是任意的，使得”，也即存在某个，使得），
②“，使”的否定是“，使”，
（即不存在某个，使成立，也即对任意的，使成立，如“，使得”的否定是“不存在某个，使得”，也即对任意，使得），
（5）“否命题”与“命题的否定”的区别：
①否命题：
既否定条件，也否定结论，如“若，则”的否命题是“若，则”，多用于考虑“若，则”形式的否命题，
②命题的否定：
只否定结论，简记为“非”（即），如“若，则”命题的否定是“若，则”，多用于考虑“，使”或“，使”形式的命题的否定.
补充贴纸
9.已知函数，若实数是方程的解，且，则的值（）
A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零
9.【题型】指数函数与对数函数的图象、方程的根.
【审题】是方程的解即说明满足，直接求有困难，于是将方程变形为,构造两个函数、,用图象法,在同一坐标系中画出这两个函数的图像,看其交点,则交点的横坐标即为,因为当时,,即,
再由可知的位置，从而得与的大小，这时的正负也就知晓了.
x
y
O
x0
x1
y1
y2
【详解】方法1（图像法）：
设函数、，它们
在同一坐标系中的图像如图所示，由，得的位置如图
所示，则当时，，这时，故选C.
方法2（单调函数分析法）：
由时，，且，
知为减函数，又，所以，故选C.
方法3（导数判断单调性法）：
可得
，
知为减函数，又，所以，故选C.
【易错警示】①若函数与方程思想意识不强，难于将方程移项变形为
，进而构造两个函数，从函数图像的高度快速解决问题，②有些函数的单调可以观察分析得到的，否则易走弯路而致错，③与易被遗忘与混淆.
【矫正建议】在平时训练中加强函数与方程思想、数形结合思想的运用及解题时留意观察题中所给的条件与图形或式子的结构，对一些易混淆的公式需多加对比.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
指数函数与对数函数的图象、方程的根、判断函数单调性质的方法（观察分析法、导数法），函数与方程思想、数形结合思想.
2、相关考点、方法：
x
x
y
y
O
O
（1,0）
（0,1）
y=ax（a>1）
y=ax
（0y=logax（a>1）
y=logax（0图a
图b
（1）指数函数、对数函数与幂函数的图象：
①指数函数的图象如图a所示，
②对数函数的图象如图b所示，
③幂函数在第一象限的图象如图c所示，
x
y
O
1
1
①a>1
②a=1
③0⑤a<0
④a=0
图c
对于第二、三象限的图象（第四象限没有图象）
可根据的奇偶性（或非奇非偶）画出.
（2）指数运算（幂运算）：
①；②；③；
④；⑤；⑥.
（3）对数运算：
①；②；③；
④；⑤；⑥；
⑦；⑧；（）⑨.（）
（4）方程的实根与函数图象的交点关系：
①方程的实根为函数与的图象的交点横坐标为，
②方程的实根为函数的图象与轴交点的横坐标为，
（5）判断函数单调性质的常用方法：
①观察分析法：
（i）增+增=增，（ii）减+减=减，（iii）=增，（iv）=减，
②定义法：
（i）为增，（ii）为减，
③导数法：
（i），则为增函数，（ii），则为减函数，
（6）常用的求导公式：
①,,②,,
③,,④,.
⑤,,⑥,.
如求下列函数的导数：
（1），
（2），（3），
（4），（5），（6）,（7）,（8）.
补充贴纸
10．已知,则
（）
A．－xxB．2008C．xxD．－xx
10.【题型】即时定义题
【审题】是解决本题的依据与入口，由它可得，
设,有
同理得每个，从4到xx共个偶数，每4个偶数为一组，
共组，得所求的和为，选A.
【详解】∵
，数列共有251项，
∴结果为，故选A.
【易错警示】是解决问题的入口，在计算、、时，
直接计算运算较大，易陷入繁重的运算中而致错.
【矫正建议】对于一些繁重的运算，需注意观察其中规律与特点，采用相应的方法降低运算量（本题采用了以字母代替数字的方法，统一作出计算），细心观察，因题制宜地采用方法，才是提高解题的关键.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
新定义运算、连续偶数个数的计算、字母代表数字简化运算，观察、分析、解决问题的能力.
2、相关考点、方法：
（1）新定义运算问题：
如广东文科数学xx年第10题，2011年惠州三模文10，
对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数，都有，则的值是（）
A.B.C.D.
提示：
由定义有对任意实数x恒成立，且m0,令
∴5x-mx=x对任意实数x恒成立,∴m=4.故选A.
评注：
根据新定义的运算、代入、化简、变形，转化为常规问题.
（2）新定义概念问题：
如（2011年惠州二模文10）在平面向量中有如下定理：
设点为同一平面内的点，则三点共线的充要条件是：
存在实数，使.
B
C
A
E
F
M
如图，在中，点为边的中点，点在边上，
且，交于点，设，
则（）
A．B．
C．D．
提示：
因为点B、M、F三点共线，则存在实数t，使.
又，，则.
因为点C、M、E三点共线，则，所以.故，故选A.
评注：
根据新定义的概念、套入、化简、变形，转化为常规问题.
（3）新定义计算问题：
如广东文科数学xx年第10题、广东文科数学xx年第10题.
如图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图,公司在年初分配给A、
B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、
D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只
能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次
（件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为）为
A．18B．17C．16D．15
提示：
A给D10件，调动10次，B给C5件，调动5次，C给D1件，调动1次，共16次
评注：
根据新定义的计算方法、列举，计算种数.
补充贴纸
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）
（一）必做题：
第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答.
11．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是人．
11.【题型】统计问题
【审题】分层抽样法的特点是按比例抽取，总人数的抽取比例为，这也等于女生的抽取比例，即.
【详解】由，得.
【易错警示】
（1）若分层抽样法与系统抽样法概念模糊，易出错，其实前者为按比例抽取，后者为按等距抽取.
（2）若求男生的人数，则还需多算一步，即人.
【矫正建议】对于统计问题的试题难度不大，但一些基本概念要抓住关键点理解透彻.
【超强排查】
1、涉及考点、方法：
分层抽样法的概念，列方程（组）求解法（简称方程法）.
2、相关考点、方法：
（1）简单随机抽样（又称抽签法）：
抓住一部分元素固定，另一部分元素调整变更进行列举.
（2）系统抽样（又等距抽样）：
抽取样本数个，即要平均分为段（多余的要用随机抽样法剔除），等距离地每组抽取1个.如某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为59的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第58段所抽到的编号为288，则第1段抽到的编号为.
提示：
需将编号为1，2，……，295平均分为59段，每段人，等距为5，设第1段抽到的编号为，则第2段抽到的编号为，第3段抽到的编号为，…，第58段抽到的编号为，即有，得.也可从后面倒推回来.
（3）四个特征数：
①众数：
一列数中，数字出现次数最多的为众数（一列数的众数不一定存在），
如1，3，5，2，2的众数为2，而1，3，3，5，2，2的众数不存在.
②中位数：
先将一列数从小到大排列，中间的一个数（或中间的两个数的平均数）为中位数，
如1，3，5，2，2的中位数为2，而1，3，3，5，2，2的中位数为.
③平均数：
平均数=，在计算频率分布直方图（频率分布）中平均数时，通常用每组的组中值计算，如xx年广东省约有22万考生参加了文科高考考试，除去成绩
分数段
频率
[630,670）
0.007
[590,630）
0.061
[550,590）
0.154
[510,550）
0.193
[470,510）
0.183
[430,470）
0.161
[390,430）
0.133
[350,390）
0.108
为670分（含670分）以上的6人，及成绩为350分（不含350分）以
下的38390人，还有19.4万考生的成绩集中在[350，670）内，其
成绩频率分布表如图所示.
请估计xx年全省考生成绩在[350,670）内的平均分（精确到1）.
提示：
由所给的数据估计xx年全省考生成绩在[350,670）内的平均分为
分.
④方差：
，标准差.
（4）三个图：
①频率分布直方图：
注意纵坐标为“”，要计算频率，需用“纵坐标值×组距”，如为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重（kg）,得到频率分布直方图如下
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