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浙江宁波中考数学试题

2013年浙江省宁波市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求）

1．（3分）（2013•宁波）﹣5的绝对值为（　　）

A．

﹣5

B．

C．

﹣

D．

2．（3分）（2013•宁波）下列计算正确的是（　　）

A．

a2+a2=a4

B．

2a﹣a=2

C．

（ab）2=a2b2

D．

（a2）3=a5

3．（3分）（2013•宁波）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（3分）（2013•宁波）在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（3分）（2013•宁波）备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012年12月29日建成通车，此项目总投资约77亿元，77亿元用科学记数法表示为（　　）

A．

7.7×109元

B．

7.7×1010元

C．

0.77×1010元

D．

0.77×1011元

6．（3分）（2013•宁波）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（3分）（2013•宁波）两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（　　）

A．

内含

B．

内切

C．

相交

D．

外切

8．（3分）（2013•宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（　　）

A．

B．

C．

D．

9．（3分）（2013•宁波）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（3分）（2013•宁波）如图，二次函数y=ax2=bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（　　）

A．

abc＜0

B．

2a+b＜0

C．

a﹣b+c＜0

D．

4ac﹣b2＜0

11．（3分）（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

12．（3分）（2013•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）

A．

a=b

B．

a=3b

C．

a=b

D．

a=4b

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）（2013•宁波）实数﹣8的立方根是　﹣2　．

14．（3分）（2011•海南）分解因式：

x2﹣4=　（x+2）（x﹣2）　．

15．（3分）（2013•宁波）已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为　y=﹣　．　

16．（3分）（2013•宁波）数据﹣2，﹣1，0，3，5的方差是　

　．　

17．（3分）（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4

，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为　10π　．

18．（3分）（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2

，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为　（

，

）　．

三、解答题（共8小题，满分76分）

19．（6分）（2013•宁波）先化简，再求值：

（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2，其中a=﹣3．

20．（7分）解方程：

﹣5．

21．（7分）（2013•宁波）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）

22．（9分）（2013•宁波）2013年5月7日浙江省11个城市的空气质量指数（AQI）如图所示：

（1）这11个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是多少？

（2）当0≤AQI≤50时，空气质量为优．求这11个城市当天的空气质量为优的频率；

（3）求宁波、嘉兴、舟山、绍兴、台州五个城市当天的空气质量指数的平均数．

23．（9分）（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．

24．（12分）（2013•宁波）某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：

甲

乙

进价（元/部）

4000

2500

售价（元/部）

4300

3000

该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．

（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）

（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？

并求出最大毛利润．

25．（12分）（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．

（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：

BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．

26．（14分）（2013•宁波）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．

①求证：

∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：

点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：

1？

如果存在，求出此时点P的坐标：

如果不存在，请说明理由．

2013年浙江省宁波市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求）

1．（3分）（2013•宁波）﹣5的绝对值为（　　）

A．

﹣5

B．

C．

﹣

D．

考点：

绝对值．

分析：

根据绝对值的概念：

数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．

解答：

解：

﹣5的绝对值为5，

故选：

B．

点评：

此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（3分）（2013•宁波）下列计算正确的是（　　）

A．

a2+a2=a4

B．

2a﹣a=2

C．

（ab）2=a2b2

D．

（a2）3=a5

考点：

幂的乘方与积的乘方；合并同类项．

分析：

根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．

解答：

解：

A、a2+a2=2a2，故本选项错误；

B、2a﹣a=a，故本选项错误；

C、（ab）2=a2b2，故本选项正确；

D、（a2）3=a6，故本选项错误；

故选：

C．

点评：

本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，一定要记准法则才能做题．

3．（3分）（2013•宁波）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

中心对称图形．

分析：

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：

解：

A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是中心对称图形，故本选项正确．

故选D．

点评：

本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．

A．

B．

C．

D．

考点：

概率公式．

分析：

根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

解答：

解：

根据题意可得：

一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，

从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是

=．

故选：

D．

点评：

本题考查概率的求法：

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

5．（3分）（2013•宁波）备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012年12月29日建成通车，此项目总投资约77亿元，77亿元用科学记数法表示为（　　）

A．

7.7×109元

B．

7.7×1010元

C．

0.77×1010元

D．

0.77×1011元

考点：

科学记数法—表示较大的数．

分析：

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：

解：

77亿=7700000000=7.7×109，

故选：

A．

点评：

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6．（3分）（2013•宁波）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

多边形内角与外角．

分析：

利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．

解答：

解：

多边形的边数是：

360÷72=5．

故选A．

点评：

本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．

7．（3分）（2013•宁波）两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（　　）

A．

内含

B．

内切

C．

相交

D．

外切

考点：

圆与圆的位置关系．

分析：

由两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．

解答：

解：

∵两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，

又∵2+3=5，

∴这两个圆的位置关系是外切．

故选D．

点评：

此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．

8．（3分）（2013•宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

三角形中位线定理；三角形三边关系．

分析：

本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于14小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于7而小于10，看哪个符合就可以了．

解答：

解：

设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，

则2＜c＜10，14＜三角形的周长＜20，

故7＜中点三角形周长＜10．

故选B．

点评：

本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．

9．（3分）（2013•宁波）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

展开图折叠成几何体．

分析：

根据长方体的组成，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，分别分析得出即可．

解答：

解：

A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；

B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；

C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；

D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；

故选：

C．

点评：

此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的空间想象能力．

10．（3分）（2013•宁波）如图，二次函数y=ax2=bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（　　）

A．

abc＜0

B．

2a+b＜0

C．

a﹣b+c＜0

D．

4ac﹣b2＜0

考点：

二次函数图象与系数的关系．

分析：

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：

解：

A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．

抛物线的对称轴x=﹣

=1＞0，则b＜0．

抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，

所以abc＞0．

故本选项错误；

B、∵x=﹣

=1，

∴b=﹣2a，

∴2a+b=0．

故本选项错误；

C、∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），

∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），

∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．

故本选项错误；

D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．

故本选项正确；

故选D．

点评：

本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

11．（3分）（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

梯形；等腰三角形的判定与性质．

分析：

延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFB，然后求出∠BAF=∠AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．

解答：

解：

延长AE交BC于F，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAF=∠DAF，

∵AE∥CD，

∴∠DAF=∠AFB，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF，

∵AB=，BC=4，

∴CF=4﹣=，

∵AD∥BC，AE∥CD，

∴四边形AFCD是平行四边形，

∴AD=CF=．

故选B．

点评：

本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．

A．

a=b

B．

a=3b

C．

a=b

D．

a=4b

考点：

整式的混合运算．

专题：

几何图形问题．

分析：

表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差与BC无关即可求出a与b的关系式．

解答：

解：

左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，

∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，

∴AE+a=4b+PC，即AE﹣PC=4b﹣a，

∴阴影部分面积之差S=AE•AF﹣PC•CG=3bAE﹣aPC=3b（PC+4b﹣a）﹣aPC=（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，

则3b﹣a=0，即a=3b．

故选B

点评：

此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）（2013•宁波）实数﹣8的立方根是　﹣2　．

考点：

立方根．

分析：

利用立方根的定义即可求解．

解答：

解：

∵（﹣2）3=﹣8，

∴﹣8的立方根是﹣2．

故答案﹣2．

点评：

本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．

14．（3分）（2011•海南）分解因式：

x2﹣4=　（x+2）（x﹣2）　．

考点：

因式分解-运用公式法．

分析：

直接利用平方差公式进行因式分解即可．

解答：

解：

x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．

点评：

本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：

两项平方项，符号相反．

15．（3分）（2013•宁波）已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为　y=﹣　．

考点：

反比例函数的性质．

分析：

根据图象关于x轴对称，可得出所求的函数解析式．

解答：

解：

关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，

即﹣y=，

∴y=﹣

故答案为：

y=﹣．

点评：

本题考查了反比例函数图象的对称性，是识记的内容．

16．（3分）（2013•宁波）数据﹣2，﹣1，0，3，5的方差是　

　．

考点：

方差．

分析：

先根据平均数的计算公式要计算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．

解答：

解：

这组数据﹣2，﹣1，0，3，5的平均数是（﹣2﹣1+0+3+5）÷5=1，

则这组数据的方差是：

[（﹣2﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（3﹣1）2+（5﹣1）2]=

；

故答案为：

．

点评：

本题考查方差，掌握方差公式和平均数的计算公式是解题的关键，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

17．（3分）（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4

，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为　10π　．

考点：

扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．

专题：

综合题．

分析：

根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．

解答：

解：

∵弦AB=BC，弦CD=DE，

∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，

∴∠BOD=90°，

过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，

则BF=FG=2

，CG=GD=2，∠FOG=45°，

在四边形OFCG中，∠FCD=135°，

过点C作CN∥OF，交OG于点N，

则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，

∴△CNG为等腰三角形，

∴CG=NG=2，

过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2

，

在等腰三角形MNO中，NO=

MN=4，

∴OG=ON+NG=6，

在Rt△OGD中，OD=

，

即圆O的半径为2

，

故S阴影=S扇形OBD=

=10π．

故答案为：

10π．

点评：

本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．

18．（3分）（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2

，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为　（

，

）　．

考点：

反比例函数综合题．

分析：

由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E（a，），D（b，），由双曲线的对称性可以求得

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