高考数学理科一轮复习平面向量的数量积及其应用学案附答案.docx

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高考数学理科一轮复习平面向量的数量积及其应用学案附答案

高考数学（理科）一轮复习平面向量的数量积及其应用学案附答案

学案27　平面向量的数量积及其应用

导学目标：

1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．自主梳理

1．向量数量积的定义

（1）向量数量积的定义：

____________________________________________，其中|a|s〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．

（2）向量数量积的性质：

①如果e是单位向量，则a•e＝e•a＝__________________；

②非零向量a，b，a⊥b⇔________________；

③a•a＝________________或|a|＝________________；

④s〈a，b〉＝________；

⑤|a•b|____|a||b|

2．向量数量积的运算律

（1）交换律：

a•b＝________；

（2）分配律：

（a＋b）•＝________________；

（3）数乘向量结合律：

（λa）•b＝________________

3．向量数量积的坐标运算与度量公式

（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a•b＝________________________；

（2）设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a⊥b⇔________________________；

（3）设向量a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），

则|a|＝________________，s〈a，b〉＝____________________________

（4）若A（x1，1），B（x2，&nt;2），则|AB→＝________________________，所以|AB→|＝_____________________

自我检测

1（2010•湖南）在Rt△AB中，∠=90°,A=4,则AB→•A→等于（　　）

A．－16B．－8．8D．16

2．（2010•重庆）已知向量a，b满足a•b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝（　　）

A．0B．22．4D．8

3．（2011•福州月考）已知a＝（1,0），b＝（1,1），（a＋λb）⊥b，则λ等于（　　）

A．－2B．212D．－12

4平面上有三个点A（-2，），B（0，），（x，），若AB→⊥B→，则动点的轨迹方程为________________．

（2009•天津）若等边△AB的边长为2，平面内一点满足→＝16B→＋23A→，则A→•B→＝________探究点一　向量的模及夹角问题

例1　（2011•马鞍月考）已知|a|＝4，|b|＝3，（2a－3b）•（2a＋b）＝61

（1）求a与b的夹角θ；

（2）求|a＋b|；

（3）若AB→＝a，B→＝b，求△AB的面积．

变式迁移1　

（1）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（a－）•（b－）＝0，则||的最大值是（　　）

A．1B．2

2D22

（2）已知i，为互相垂直的单位向量，a＝i－2，b＝i＋λ，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．

探究点二　两向量的平行与垂直问题

例2　已知a＝（sα，sinα），b＝（sβ，sinβ），且a＋b的长度是a－b的长度的3倍（>0）．

（1）求证：

a＋b与a－b垂直；

（2）用表示a•b；

（3）求a•b的最小值以及此时a与b的夹角θ

变式迁移2　（2009•江苏）设向量a＝（4sα，sinα），b＝（sinβ，4sβ），＝（sβ，－4sinβ）．

（1）若a与b－2垂直，求tan（α＋β）的值；

（2）求|b＋|的最大值；

（3）若tanαtanβ＝16，求证：

a∥b

探究点三　向量的数量积在三角函数中的应用

例3　已知向量a＝s32x，sin32x，

b＝sx2，－sinx2，且x∈－π3，π4

（1）求a•b及|a＋b|；

（2）若f（x）＝a•b－|a＋b|，求f（x）的最大值和最小值．

变式迁移3（2010•四川）已知△AB的面积S=AB→•A→•＝3，且sB＝3，求s

1．一些常见的错误结论：

（1）若|a|＝|b|，则a＝b；

（2）若a2＝b2，则a＝b；（3）若a∥b，b∥，则a∥；（4）若a•b＝0，则a＝0或b＝0；（）|a•b|＝|a|•|b|；（6）（a•b）＝a（b•）；（7）若a•b＝a•，则b＝以上结论都是错误的，应用时要注意．

2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：

已知a＝（x1，1），b＝（x2，2），θ是向量a与b的夹角

向量表示坐标表示

向量a的模|a|＝a•a＝a2

|a|＝x21＋21

a与b的数量积a•b＝|a||b|sθa•b＝x1x2＋12

a与b共线的充要条A∥b（b≠0）⇔a＝λba∥b⇔x12－x21＝0

非零向量a，b垂直的充要条a⊥b⇔a•b＝0a⊥b⇔x1x2＋12＝0

向量a与b的夹角sθ＝a•b|a||b|

sθ＝x1x2＋12x21＋21x22＋22

3证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：

（1）要证AB=D，可转化证明AB→2＝D→2或|AB→|＝|D→|

（2）要证两线段AB∥D，只要证存在唯一实数≠0，使等式AB→＝λD→成立即可．

（3）要证两线段AB⊥D，只需证AB→•D→＝0（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．（2010•重庆）若向量a＝（3，），b＝（2，－1），a•b＝0，则实数的值为（　　）

A．－32B32

．2D．6

2．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知（2a＋3b）⊥（a－4b），则实数的值为（　　）

A．－6B．－3

．3D．6

3已知△AB中，AB→＝a，A→＝b，a•b<0，S△AB＝14，|a|＝3，|b|＝，则∠BA等于（　　）

A．30°B．－10°

．10°D．30°或10°

4．（2010•湖南）若非零向量a，b满足|a|＝|b|，（2a＋b）•b＝0，则a与b的夹角为（　　）

A．30°B．60°

．120°D．10°

．已知a＝（2,3），b＝（－4,7），则a在b上的投影为（　　）

A13B6

613D1313

题号1234

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．（2010•湖南长沙一中月考）设a＝（s2α，sinα），b＝（1，2sinα－1），α∈π2，π，若a•b＝2，则sinα＝________

7．（2010•广东金中学高三第二次月考）若|a|＝1，|b|＝2，＝a＋b，且⊥a，则向量a与b的夹角为________．

8．已知向量＝（1,1），向量n与向量夹角为3π4，且•n＝－1，则向量n＝__________________

三、解答题（共38分）

9（12分）已知A→＝（2,），B→＝（3,1），→＝（6,3），在线段上是否存在点，使A→⊥B→，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（12分）（2011•杭州调研）已知向量a＝（s（－θ），sin（－θ）），b＝（sπ2－θ，sinπ2－θ）．

（1）求证：

a⊥b；

（2）若存在不等于0的实数和t，使x＝a＋（t2＋3）b，＝－a＋tb，满足x⊥，试求此时＋t2t的最小值．

11．（14分）（2011•济南模拟）已知a＝（1,2sinx），b＝2sx＋π6，1，函数f（x）＝a•b（x∈R）．

（1）求函数f（x）的单调递减区间；

（2）若f（x）＝8，求s2x－π3的值．

答案自主梳理

1．

（1）a•b＝|a||b|s〈a，b〉　

（2）①|a|s〈a，e〉　②a•b＝0　③|a|2　a•a　④a•b|a||b|　

⑤≤　2

（1）b•a

（2）a•＋b•　（3）λ（a•b）　3

（1）a1b1＋a2b2　

（2）a1b1＋a2b2＝0　（3）a21＋a22　a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22

（4）（x2－x1，2－1）　x2－x12＋2－12

自我检测2．B　[|2a－b|＝2a－b2

＝4a2－4a•b＋b2＝8＝22]

3．D　[由（a＋λb）•b＝0得a•b＋λ|b|2＝0，

∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12]

4．2＝8x（x≠0）

解析　由题意得AB→＝2，－2，

B→＝x，2，又AB→⊥B→，∴AB→•B→＝0，

即2，－2•x，2＝0，化简得2＝8x（x≠0）．

．－2

解析　合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设（0,0），A（23，0），B（3，3），这样利用向量关系式，求得A→＝32，－12，B→＝32，－12，B→＝－32，2，所以A→•B→＝－2

堂活动区

例1　解　

（1）∵（2a－3b）•（2a＋b）＝61，

∴4|a|2－4a•b－3|b|2＝61

又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a•b－27＝61，

∴a•b＝－6

∴sθ＝a•b|a||b|＝－64×3＝－12

又0≤θ≤π，∴θ＝2π3

（2）|a＋b|＝a＋b2

＝|a|2＋2a•b＋|b|2

＝16＋2×－6＋9＝13

（3）∵AB→与B→的夹角θ＝2π3，

∴∠AB＝π－2π3＝π3

又|AB→|＝|a|＝4，|B→|＝|b|＝3，

∴S△AB＝12|AB→||B→|sin∠AB

＝12×4×3×32＝33

变式迁移1　

（1）　[∵|a|＝|b|＝1，a•b＝0，

展开（a－）•（b－）＝0ͤ||2＝•（a＋b）

＝||•|a＋b|sθ，∴||＝|a＋b|sθ＝2sθ，

∴||的最大值是2]

（2）λ<12且λ≠－2

解析　∵〈a，b〉∈（0，π2），∴a•b>0且a•b不同向．

即|i|2－2λ||2>0，∴λ<12

当a•b同向时，由a＝b（>0）得λ＝－2

∴λ<12且λ≠－2

例2　解题导引　1非零向量a⊥b⇔a•b＝0⇔x1x2＋12＝0

2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．

解　

（1）由题意得，|a|＝|b|＝1，

∴（a＋b）•（a－b）＝a2－b2＝0，

∴a＋b与a－b垂直．

（2）|a＋b|2＝2a2＋2a•b＋b2＝2＋2a•b＋1，

（3|a－b|）2＝3（1＋2）－6a•b

由条知，2＋2a•b＋1＝3（1＋2）－6a•b，

从而有，a•b＝1＋24（>0）．

（3）由

（2）知a•b＝1＋24＝14（＋1）≥12，

当＝1时，等号成立，即＝±1

∵>0，∴＝1

此时sθ＝a•b|a||b|＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3

故a•b的最小值为12，此时θ＝π3

变式迁移2　

（1）解　因为a与b－2垂直，

所以a•（b－2）

＝4sαsinβ－8sαsβ＋4sinαsβ＋8sinαsinβ

＝4sin（α＋β）－8s（α＋β）＝0

因此tan（α＋β）＝2

（2）解　由b＋＝（sinβ＋sβ，4sβ－4sinβ），

得|b＋|＝sinβ＋sβ2＋4sβ－4sinβ2

＝17－1sin2β≤42

又当β＝－π4时，等号成立，所以|b＋|的最大值为42

（3）证明　由tanαtanβ＝16得4sαsinβ＝sinα4sβ，

所以a∥b

例3　解题导引　与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．

解　

（1）a•b＝s32xsx2－sin32xsinx2＝s2x，

|a＋b|＝s32x＋sx22＋sin32x－sinx22

＝2＋2s2x＝2|sx|，

∵x∈－π3，π4，∴sx>0，

∴|a＋b|＝2sx

（2）f（x）＝s2x－2sx＝2s2x－2sx－1

＝2sx－122－32

∵x∈－π3，π4，∴12≤sx≤1，

∴当sx＝12时，f（x）取得最小值－32；

当sx＝1时，f（x）取得最大值－1

变式迁移3　解　由题意，设△AB的角B、的对边分别为b、，则S＝12bsinA＝12

AB→•A→＝bsA＝3>0，

∴A∈0，π2，sA＝3sinA

又sin2A＋s2A＝1，

∴sinA＝1010，sA＝31010

由题意sB＝3，得sinB＝4

∴s（A＋B）＝sAsB－sinAsinB＝1010

∴s＝s[π－（A＋B）]＝－1010

后练习区

1．D　[因为a•b＝6－＝0，所以＝6]

2．D　[由（2a＋3b）•（a－4b）＝0得2－12＝0，∴＝6]

3．　[∵S△AB＝12|a||b|sin∠BA＝14，

∴sin∠BA＝12又a•b<0，

∴∠BA为钝角．∴∠BA＝10°]

4．　[由（2a＋b）•b＝0，得2a•b＝－|b|2

s〈a，b〉＝a•b|a||b|＝－12|b|2|b|2＝－12

∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°]

．B　[因为a•b＝|a|•|b|•s〈a，b〉，

所以，a在b上的投影为|a|•s〈a，b〉

＝a•b|b|＝21－842＋72＝136＝6]

63

解析　∵a•b＝s2α＋2sin2α－sinα＝2，

∴1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝2，∴sinα＝3

7．120°

解析　设a与b的夹角为θ，∵＝a＋b，⊥a，

∴•a＝0，即（a＋b）•a＝0∴a2＋a•b＝0

又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2sθ＝0

∴sθ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°

8．（－1,0）或（0，－1）

解析　设n＝（x，），由•n＝－1，

有x＋＝－1①

由与n夹角为3π4，

有•n＝||•|n|s3π4，

∴|n|＝1，则x2＋2＝1②

由①②解得x＝－1＝0或x＝0＝－1，

∴n＝（－1,0）或n＝（0，－1）．

9．解设存在点，且→＝λ→＝（6λ，3λ）（0≤λ≤1），

A→＝（2－6λ，－3λ），B→＝（3－6λ，1－3λ）．…………………………………………（4分）

∵A→⊥B→，

∴（2－6λ）（3－6λ）＋（－3λ）（1－3λ）＝0，………………………………………………（8分）

即4λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝111

∴点坐标为（2,1）或22，11

故在线段上存在点，使A→⊥B→，且点的坐标为（2,1）或（22，11）．………（12分）

10．

（1）证明　∵a•b＝s（－θ）•sπ2－θ＋sin－θ•sinπ2－θ

＝sinθsθ－sinθsθ＝0∴a⊥b……………………………………………………（4分）

（2）解　由x⊥得，x•＝0，

即[a＋（t2＋3）b]•（－a＋tb）＝0，

∴－a2＋（t3＋3t）b2＋[t－（t2＋3）]a•b＝0，

∴－|a|2＋（t3＋3t）|b|2＝0………………………………………………………………（6分）

又|a|2＝1，|b|2＝1，

∴－＋t3＋3t＝0，∴＝t3＋3t…………………………………………………………（8分）

∴＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3

＝t＋122＋114……………………………………………………………………………（10分）

故当t＝－12时，＋t2t有最小值114………………………………………………………（12分）

11．解　

（1）f（x）＝a•b＝2sx＋π6＋2sinx

＝2sxsπ6－2sinxsinπ6＋2sinx

＝3sx＋sinx＝2sinx＋π3…………………………………………………………（分）

由π2＋2π≤x＋π3≤3π2＋2π，∈Z，

得π6＋2π≤x≤7π6＋2π，∈Z

所以f（x）的单调递减区间是

π6＋2π，7π6＋2π（∈Z）．……………………………………………………………（8分）

（2）由

（1）知f（x）＝2sinx＋π3

又因为2sinx＋π3＝8，

所以sinx＋π3＝4，……………………………………………………………………（11分）

即sinx＋π3＝sπ6－x＝sx－π6＝4

所以s2x－π3＝2s2x－π6－1＝72………………………………………………（14分）