高中数学第一章 4 第2课时 单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质 单位圆的对称性与诱导公式.docx

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高中数学第一章4第2课时单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式

第2课时　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

单位圆的对称性与诱导公式

[核心必知]

正弦函数、余弦函数的诱导公式

公式

（一）

sin（2kπ＋α）＝sin_α，cos（2kπ＋α）＝cos_α（k∈Z）

公式

（二）

sin（－α）＝－sin_α，cos（－α）＝cos_α

公式（三）

sin（2π－α）＝－sin_α，cos（2π－α）＝cos_α

公式（四）

sin（π－α）＝sin_α，cos（π－α）＝－cos_α

公式（五）

sin（π＋α）＝－sin_α，cos（π＋α）＝－cos_α

公式（六）

sin＝cos_α，cos＝－sin_α

公式（七）

sin＝cos_α，cos＝sin_α

[问题思考]

1．比较公式两边的函数名称，有什么规律？

提示：

公式

（一）～（五）中，左、右两边的函数名称相同；公式（六）、（七）中，左、右两边的函数名称不同，规律为正、余弦互换．

2．公式右边的正、负号有规律吗？

提示：

有，把α看作锐角时，公式左边函数值的符号与右边的正、负号相同．

3．公式

（二）反映了三角函数的什么性质？

提示：

由sin（－α）＝－sinα知y＝sinx是奇函数；

由cos（－α）＝cosα知y＝cosx是偶函数．

讲一讲

1．求下列三角函数值．

（1）cos945°；

（2）sin；

（3）cos；（4）sin.

[尝试解答]　

（1）cos945°＝cos（2×360°＋225°）

＝cos225°＝cos（180°＋45°）＝－cos45°＝－.

（2）sin＝sin＝sin＝sin

＝－sin＝－.

（3）cos＝cos＝－cos

＝－＝.

（4）sin＝－sin

＝sin＝.

1．诱导公式都是角α的正弦、余弦函数与k×±α（k∈Z）的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的口诀是：

奇变偶不变，符号看象限．

“奇变偶不变”解释如下：

α前面加的是k×，当k是奇数时，得α的异名三角函数值；当k是偶数时，得α的同名三角函数值．

“符号看象限”解释如下：

由于对于任意角α，公式都成立，不妨将角α看作一个锐角，考查k×±α（k∈Z）所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．

2．利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，步骤如下：

记忆口诀：

负化正，大化小，化到锐角再查表（特殊角的三角函数值表）．

练一练

1．求下列各式的值：

（1）sin495°cos（－675°）；

（2）sincos

解：

（1）sin495°cos（－675°）

＝sin（135°＋360°）cos675°

＝sin135°cos315°

＝sin（180°－45°）cos（360°－45°）

＝sin45°cos45°

＝×＝.

（2）sincos

＝－sincos

＝－sincos

＝－sincos

＝－sincos

＝－sinsin

＝－×＝－.

讲一讲

2．

（1）已知cos＝m（|m|≤1），

求cos，sin的值．

（2）已知sin＝－，求cos（5π＋α）的值．

[尝试解答]　

（1）cos

＝cos

＝－cos＝－m.

sin＝sin

＝cos＝m.

（2）∵sin＝－

∴cosα＝－

∴cos（5π＋α）

＝cos[4π＋（π＋α）]

＝cos（π＋α）

＝－cosα

＝－＝.

解决条件求值问题的常见思路是：

寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角之间的互余、互补关系．

常见的互余关系有：

－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．

常见的互补关系有：

＋θ与－θ；＋θ与－θ，－θ与＋θ等．

练一练

2.已知sin＝，求cos的值．

解：

∵π－α＝3π＋

∴cos＝cos

＝－cos

又∵＋＝.

∴cos＝－cos

＝－sin＝－.

讲一讲

3．化简下列各式：

（1）.

（2）cos＋cos.

[尝试解答]　

（1）原式＝

＝－1.

（2）∵＋＝2nπ，

∴原式＝cos＋cos

＝2cos＝2cos.

①当n为奇数，即n＝2k＋1（k∈Z）时，

原式＝2cos

＝－2cos；

②当n为偶数，即n＝2k（k∈Z）时，

原式＝2cos＝2cos.

故原式＝

1．所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．

2．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，π±α时，要注意对k的奇偶性进行讨论．

练一练

3．设k为整数，化简：

.

解：

法一：

当k为偶数时，不妨设k＝2m（m∈Z），

则原式＝

＝

＝＝－1；

当k为奇数时，可设k＝2m＋1（m∈Z），

同理，可得原式＝－1.

法二：

由（kπ＋α）＋（kπ－α）＝2kπ，

[（k－1）π－α]＋[（k＋1）π＋α]＝2kπ，

得sin（kπ－α）＝－sin（kπ＋α）＝sin[（k＋1）π＋α]，

cos[（k－1）π－α]＝cos[（k＋1）π＋α]

＝－cos（kπ＋α），

所以原式＝－1.

若cosθ＝，则＋

的值为________．

[错解]　原式＝＋＝0.

[错因]　混淆了诱导公式，应有sin＝sin）＝－sin－cosθ，sin＝cosθ.

cos（π－θ）＝－cosθ，cos（π＋θ）＝－cosθ.

[正解]　原式＝＋

＝＋＝.

因为cosθ＝，

所以原式＝＝3.

[答案]　3

1．当α∈R时，下列各式恒成立的是（　　）

A．sin＝－cosα　　　B．sin（π－α）＝－sinα

C．cos（π＋α）＝cosαD．cos（－α）＝cosα

答案：

D

2．cos的值是（　　）

A．－B.

C.D．－

解析：

选D　cos＝cos（π－）＝－cos＝－.

3．（广东高考）已知sin（＋α）＝，那么cosα＝（　　）

A．－B．－

C.D.

解析：

选C　sin（＋α）＝sin[2π＋（＋α）]＝sin（＋α）＝cosα＝.

4．已知cos（π＋α）＝－，则sin＝________．

解析：

∵cos（π＋α）＝－，∴cosα＝.

∴sin＝cosα＝.

答案：

5．已知cos（508°－α）＝，则cos（212°＋α）＝________．

解析：

∵508°＋212°＝720°

∴cos（212°＋α）＝cos[2×360°－（508°－α）]

＝cos（508°－α）＝.

答案：

6．求sincossin的值．

解：

原式＝sincos（2π＋）sin（4π＋）

＝cossin

＝cos（π＋）sin

＝×＝××＝.

一、选择题

1．cos150°的值是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　

A．－B．－C.D.

解析：

选A　cos150°＝cos（180°－30°）＝－cos30°＝－.

2．已知600°角的终边上有一点P（a，－3），则a的值为（　　）

A.B．－C.D．－

解析：

选B　∵sin600°＝sin（360°＋240°）＝sin240°

＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－，

∴＝－，∴a＝±.

又∵600°角的终边在第三象限∴a＝－.

3．在△ABC中，下列4个等式恒成立的是（　　）

①sin（A＋B）＋sinC＝0，②cos（A＋B）＋cosC＝0，

③sin（2A＋2B）＋sin2C＝0，④cos（2A＋2B）＋cos2C＝0

A．①②B．②③C．③④D．①②

解析：

选B　对于②，cos（A＋B）＋cosC＝cos（180°－C）＋cosC＝－cosC＋cosC＝0，成立．对于③，sin（2A＋2B）＋sin2C＝sin[2（180°－C）]＋sin2C＝sin（360°－2C）＋sin2C＝－sin2C＋sin2C＝0，成立．

4．下列三角函数中，与sin数值相同的是（　　）

①sin　②cos

③sin　④cos

⑤sin，（n∈Z）

A．①②B．①②③C．②③⑤D．①③④

解析：

选C　①中n为偶数时，sin＝－sin；

②中cos（2nπ＋）＝cos＝sin；

③中sin＝sin；

④中cos＝－cos＝－sin；

⑤中sin[（2n＋1）π－]＝sin（π－）＝sin.

故②③⑤正确．

二、填空题

5．sin＝________．

解析：

sin＝－sin＝－sin

＝－sin＝sin＝.

答案：

6．化简＝________．

解析：

原式＝＝－cosα.

答案：

－cosα

7．已知sin＝，则cos的值等于________．

解析：

∵sin＝，∴sin（－α）＝－，

又∵＋＝，∴cos（＋α）＝cos＝sin＝－.

答案：

－.

8．若函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f（2011）＝2，则f（2012）＝________.

解析：

∵f（2011）＝asin（2011π＋α）＋bcos（2011π＋β）＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）＝－（asinα＋bcosβ）＝2，

∴f（2012）＝asin（2012π＋α）＋bcos（2012π＋β）

＝asinα＋bcosβ＝－2.

答案：

－2

三、解答题

9．求值：

.

解：

原式＝

＝

＝

＝

＝－＝－.

10．已知f（α）＝，

（1）化简f（α）；

（2）若α＝－，求f（α）的值．

解：

（1）f（α）＝＝－cosα；

（2）f＝－cos

＝－cos

＝－cos＝－cos＝－.