第16讲相交线与平行线含详细参考答案 2.docx

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第16讲相交线与平行线含详细参考答案2

2013年中考数学专题复习第十六讲相交线与平行线

【基础知识回顾】

一、直线、射线、线段

线段有个端点，不的度量线比较大小，把线段向两个方向无限延伸，就得到直线，直线端点，将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有个端点，线段、直线、射线都有两种表示方法：

不以用表示可以用表示

线段公理：

直线公理

【名师提醒：

一条直线上有N个点，则这条直线上存在条线段】

二、角

1、定义：

有公共端点的两条组成的图形叫做角，角也可以一条绕它的从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形

【名师提醒：

角的表示方法：

不的用三个大写字母如∠AOB，也可用一个大写字母∠A或用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠2等，注意等于选择合适，简法的方法表示角】

2、角的分类：

角按照大小可分为：

周角、、锐角等。

其中1周角=度=平角直角度=分1分=秒

【名师提醒：

钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：

即时针分针转动度，分针每分转动度】

3、角的平分线

一条射线把一个角分成的角，这条叫做这个角的平分线

【名师提醒：

1、一个角内有几条射线，则一共可形成角】

1、互为余角互为斜角

1、互为余角：

若∠1+∠2则称∠1与∠2互为余角

2、互为补角：

若∠1+∠2则称∠1与∠2互为补角

3性质：

同角或等角的余角同角或等角的余角

【名师提醒：

1、互补和互余是挡两个角的关系

2、一个锐角的补角比它的余角大度】

三、相交线

1、对顶角及其性质：

对顶角：

和邻补角两条直线相交所成德四个角中的角是对顶角，的

角是邻补角，如图：

对顶角有邻补角有对顶角性质

2、垂线及其性质

互相垂直：

两条直线相交所构成的四个角中有一个角是则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的

性质：

1、过一点与已知直线垂直

2、直线外点与直线上各点连接的所有线段中，最短，（简称：

）

【名师提醒：

注意三个距离的区别1、两点间的距离是指：

2、点到直线的距离是指

3、两平行线间的距离是指】

四、平行线：

1、三线八角：

如图：

两条直线a与b被第三条直线c所截，构成八个角

其中同位角有对，分别是，内错角有对，分别是内错角有对，分别是

2、平行线的意义：

在同意平面呢的两条直线叫平行线

3、平行公理：

经过已知直线到一点条直线与已知直线平行

相等

4、平行线的性质和判定

性质

判定

同旁内角

相等

两直线平行————→

【名师提醒：

平行线的应用判定方法还有两条：

1、平行于同一直线的两条直线互相2、同一直线的两条直线互相平行】

一、命题公理定理和证明

1、命题：

的语句叫命题，一个命题由和两部分构成，可分为和两类

2、公理：

从实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真伪的原始根据的真命题

3、定理：

经过证明的命题叫做定理

4、互逆命题与互逆定理：

⑴在两个命题中，如果一个命题的和事另一个命题的和那么这两个命题称为互逆命题

⑵如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个这两个定理称为

5、证明：

⑴根据题设，定义公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题这一推理过程称为证明

⑵命题完整证明的一般步骤：

①审题：

找出命题的和

②根据题意画出

③写出和

④分析证明的整理

⑤写出每一步应有根据，要推理严密

【名师提醒：

1、判断一个命题是其命题的判断一个命题是假命题可以举出2、任何一个命题一定有它的逆命题：

对于任意一个定理有它的逆定理】

【重点考点例析】

考点一：

线与角的概念和性质

例1（2012•丽水）如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（　　）

A．120°B．135°C．150°D．160°

思路分析：

首先根据题意可得：

∠1=30°，∠2=60°，再根据平行线的性质可得∠4的度数，再根据∠2和∠3互余可算出∠3的度数，进而求出∠ABC的度数

解：

如图，由题意得：

∠1=30°，∠2=60°，

∵AE∥BF，

∴∠1=∠4=30°，

∵∠2=60°，

∴∠3=90°-60°=30°，

∴∠ABC=∠4+∠FBD+∠3=30°+90°+30°=150°，

故选：

C．

点评：

此题主要考查了方位角，关键是掌握方位角的概念：

方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．

对应训练

1．（2012•江西）如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（　　）

A．南偏西60°B．南偏西30°C．北偏东60°D．北偏东30°

1．思路分析：

根据方向角的定义进行解答即可．解答：

解：

由于人相对与太阳与太阳相对于人的方位正好相反，

∵在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，

∴太阳相对于你的方向是南偏西60°．

故选A．

点评：

本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的概念是解答此题的关键．

考点二：

余角和补角

例2（2012•孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于（　　）

A．45°B．60°C．90°D．180°

思路分析：

根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．

解：

由题意得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，

两式相减可得：

∠β-∠γ=90°．

故选C．

点评：

此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，是解答本题的关键．

对应训练

2．（2012•南通）已知∠a=32°，则∠a的补角为（　　）

A．58°B．68°C．148°D．168°

2．分析：

根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解．

解：

∵∠a=32°，

∴∠a的补角为180°-32°=148°．

故选C．

点评：

本题考查了余角与补角的定义，熟记互为补角的和等于180°是解题的关键．

3．（2012•扬州）一个锐角是38度，则它的余角是度．

3．52

分析：

根据互为余角的两角之和为90°，可得出它的余角的度数．

解：

这个角的余角为：

90°-38°=52°．

故答案为：

52．

点评：

此题考查了余角的知识，掌握互为余角的两角之和为90°是解答本题的关键．

考点三：

相交线与垂线

例3（2012•北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（　　）

A．38°B．104°C．142°D．144°

思路分析：

根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．

解：

∵∠BOD=76°，

∴∠AOC=∠BOD=76°，

∵射线OM平分∠AOC，

∴∠AOM=

∠AOC=

×76°=38°，

∴∠BOM=180°-∠AOC=180°-38°=142°．

故选C．

点评：

本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．

对应训练

4．（2012•泉州）

（1）如图，点A、O、B在同一直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC=°．

4．分析：

根据邻补角互补直接求出∠AOC的值．

解：

∵∠BOC=50°，

∴∠A0C=180°-50°=130°．

点评：

本题考查了对顶角、邻补角，知道邻补角的和为180°是解题的关键．

考点四：

平行线的判定与性质

例4（2012•衡阳）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（　　）

A．70°B．90°C．110°D．80°

思路分析：

首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3．根据对顶角相等可得∠2=∠3，利用等量代换可得到∠2=∠1=70°．

解：

∵直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，

∴a∥b，

∴∠1=∠3，

∵∠3=∠2，

∴∠2=∠1=70°．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理．

对应训练

5．（2012•宜宾）如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=．

5．121°

分析：

由∠1=∠3，利用同位角相等两直线平行，得到AB与CD平行，再利用两直线平行同旁内角互补得到∠5与∠4互补，利用对顶角相等得到∠5=∠2，由∠2的度数求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．

解：

∵∠1=∠3，

∴AB∥CD，

∴∠5+∠4=180°，又∠5=∠2=59°，

∴∠4=180°-59°=121°．

故答案为：

121°

点评：

此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

考点五：

真假命题的识别

例6（2012•呼和浩特）下列命题中，真命题的个数有（　　）

①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行

②函数y=x2+

图象上的点P（x，y）一定在第二象限

③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面

④使得|x|-y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为

．

A．3个B．1个C．4个D．2个

思路分析：

①根据平移的性质以及旋转的性质得出答案即可；②根据二次根式的性质以及点的坐标性质，得出答案；③根据正投影的定义得出答案；

④根据使得|x|-y=3和y+x2=0同时成立，即y=|x|-3，y=-x2，故|x|-3=-x2，进而利用绝对值得性质，解方程即可得出答案．

解：

①平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．

旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化，故此选项错误；

②根据二次根式的意义得出x＜0，y＞0，故函数y=x2+

图象上的点P（x，y）一定在第二象限，故此选项正确；

③根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面，故此选项正确；

④使得|x|-y=3和y+x2=0同时成立，即y=|x|-3，y=-x2，故|x|-3=-x2，

x2-|x|-3=0，

当x＞0，则x2-x-3=0，

解得：

x1=

，x2=

（不合题意舍去），

当x＜0，则x2+x-3=0，

解得：

x1=

（不合题意舍去），x2=

，

故使得|x|-y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为：

，-

，故此选项错误，

故正确的有2个，

故选：

D．

点评：

此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

同时也考查了平移的性质以及旋转的性质和二次根式的性质、正投影、解一元二次方程等知识，熟练根据绝对值性质整理出一元二次方程是解题关键．

对应训练

6．（2012•龙岩）下列命题中，为真命题的是（　　）

A．对顶角相等B．同位角相等C．若a2=b2，则a=bD．若a＞b，则-2a＞-2b

6．分析：

分别判断四个选项的正确与否即可确定真命题．

解：

A、对顶角相等为真命题；

B、两直线平行，同位角相等，故为假命题；

C、a2=b2，则a=±b，故为假命题；

D、若a＞b，则-2a＜-2b，故为假命题；

故选A．

【聚焦山东中考】

1．（2012•滨州）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（　　）

A．65°B．75°C．85°D．95°

1．思路分析：

先分清一副三角尺，各个角的度数分别为多少，然后将各个角相加或相减即可得出答案．

解：

利用一副三角板可以画出75°角，用45°和30°的组合即可，

故选：

B．

点评：

此题主要考查了用三角板直接画特殊角，关键掌握用三角板画出的角的规律：

都是15°的倍数．

2．（2012•济宁）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（　　）

A．40°B．75°C．85°D．140°

2．分析：

根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．

解：

如图：

∵AE，DB是正南正北方向，

∴BD∥AE，

∵∠DBA=45°，

∴∠BAE=∠DBA=45°，

∵∠EAC=15°，

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，

又∵∠DBC=80°，

∴∠ABC=80°-45°=35°，

∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．

故选C．

点评：

本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．

3．（2012•日照）如图，DE∥AB，若∠ACD=55°，则∠A等于（　　）

A．35°B．55°C．65°D．125°

3．分析：

由DE∥AB，∠ACD=55°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数．

解：

∵DE∥AB，∠ACD=55°，

∴∠A=∠ACD=55°．

故选B．

点评：

此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．

4．（2012•临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（　　）

A．40°B．50°C．60°D．140°

4．分析：

先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据直角三角形的性质即可得出∠2的度数．

解：

∵AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，

∴∠3=∠1=40°，

∵DB⊥BC，

∴∠2=90°-∠3=90°-40°=50°．

故选B．

点评：

本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：

两直线平行，同位角相等．

5．（2012•济南）如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1=65°，则∠2=（　　）

A．115°B．65°C．35°D．25°

5．分析：

由直线a∥b，∠1=65°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由对顶角相等，即可求得答案．

解：

∵直线a∥b，∠1=65°，

∴∠3=∠1=65°，

∴∠2=∠3=65°．

故选B．

点评：

此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．

6．（2012•济南）下列命题是真命题的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形B．一组邻边相等的四边形是菱形

C．四个角是直角的四边形是正方形

D．对角线相等的梯形是等腰梯形

6．分析：

根据矩形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断．解答：

解：

A、对角线相等的平形四边形是矩形，故选项错误；

B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；

C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；

D、正确．

故选D．点评：

本题考查了真命题的判断，正确掌握定义、定理是关键．

7．（2012•菏泽）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段

AC=cm．

7．5或11

分析：

点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．因此分类讨论计算．

解：

根据题意，点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．

若点C在线段BC上，则AC=AB-BC=8-3=5（cm）；

若点C在BC的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11（cm）．

故答案为5或11．

点评：

此题考查求两点间的距离，运用了分类讨论的思想，容易掉解．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2012•永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（　　）

A．朝阳岩

B．柳子庙

C．迥龙塔

D．朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置

1．分析：

设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，然后对四个答案进行比较即可．

解：

设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，

A、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为5+13=18；

B、当旅游车停在柳子庙时，总路程为5+8=13；

C、当旅游车停在迥龙塔时，总路程为13+8=21；

D、当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时，总路程大于13．

故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，

故选B．

点评：

本题考查了直线、射线及线段的有关知识，用特殊值的方法比较容易说出来．

2．（2012•长沙）下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．分析：

根据互补的两个角的和等于180°求出70°角的补角，然后结合各选项即可选择．

解：

70°角的补角=180°-70°=110°，是钝角，

结合各选项，只有D选项是钝角，

所以，最有可能与70°角互补的是D选项的角．

故选D．

点评：

本题考查了互为补角的定义，根据补角的定义求出70°角的补角是钝角是解题的关键．

3．（2012•桂林）如图，与∠1是内错角的是（　　）

A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5

3．分析：

根据内错角的定义找出即可．

解：

根据内错角的定义，∠1的内错角是∠3．

故选B．

点评：

本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

4．（2012•张家界）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（　　）

A．当∠1=∠2时，一定有a∥b

B．当a∥b时，一定有∠1=∠2

C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°

D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b

4．分析：

根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可．

解：

A、若∠1=∠2不符合a∥b的条件，故本选项错误；

B、若a∥b，则∠1+∠2=180°，∠1不一定等于∠2，故本选项错误；

C、若a∥b，则∠1+∠2=180°，故本选项错误；

D、如图，由于∠1=∠3，当∠3+∠2=180°时，a∥b，，所以当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b，故本选项正确．

故选D．

点评：

本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理与性质是解答此题的关键．

6．（2012•肇庆）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（　　）

A．100°B．90°C．80°D．70°

6．分析：

先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．

解：

∵DE∥BC，∠AED=40°，

∴∠C=∠AED=40°，

∵∠B=60°，

∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-40°-60°=80°．

故选C．

点评：

本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．

7．（2012•玉林）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1=50°，则∠2=（　　）

A．40°B．50°C．100°D．130°

7．分析：

根据两直线平行，同位角相等，即可得出∠2的度数．

解：

∵a∥b，

∴∠1=∠2=50°．

故选B．

点评：

此题考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：

两直线平行，同位角相等，难度一般．

1．（2012•长春）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上一点，DE∥AB，∠ADE=42°，则∠B的大小为（　　）

A．

42°

B．

45°

C．

48°

D．

58°

考点：

平行线的性质；直角三角形的性质。

810360

专题：

探究型。

分析：

先根据平行线的性质求出∠CAB的度数，再根据直角三角形的性质即可得出结论．

解答：

解：

∵DE∥AB，∠ADE=42°，

∴∠CAB=∠ADE=42°，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴∠B=90°﹣∠CAB=90°﹣42°=48°．

故选C．

点评：

本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：

①两直线平行，同位角相等；②直角三角形的两个锐角互补．

2．（2012•恩施州）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（　　）

A．

50°

B．

60°

C．

65°

D．

90°

考点：

平行线的性质；角平分线的定义。

810360

分析：

由AB∥CD，∠1=50°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEF的度数，又由EG平分∠BEF，求得∠BEG的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．

解答：

解：

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠1=180°，

∵∠1=50°，

∴∠BEF=130°，

∵EG平分∠BEF，

∴∠BEG=

∠BEF=65°，

∴∠2=∠BEG=65°．

故选C．

点评：

此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．

3．（2012•广元）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度（　　）

A．

先向左转130°，再向左转50°

B．

先向左转50°，再向右转50°

C．

先向左转50°，再向右转40°

D．

先向左转50°，再向左转40°

考点：

平行线的性质。

810360

分析：

首先根据题意画出图形，然后利用同位角相等，两直线平行与内错角相等，两直线平行，即可判定B正确，A，C，D错误，注意排除法在解选择题中的应用．

解答：

解：

如图：

A、∵∠1=130°，

∴∠3=50°=∠2，

∴a∥b，当方向相反；

B、∵∠1=∠2=50°，

∴a∥b；

C、∵∠1=50°，∠2=40°，

∴∠1≠∠2，

∴a不平行于b；

C、∵∠2=40°，

∴∠3=140°≠∠1，

∴a不平行于b．

故选B．

点评：

此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意同位角相等，两直线平行与内错角相等，两直线平行定理的应用．

4．（2012•河池）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果∠1=25°，那么∠2的度数是（　　）

A．

30°

B．

25°

C．

20°

D．

15°

考点：

平行线的性质。

810360

专题：

探究型。

分析：

先根据直角三角板