椭圆知识点归纳总结和经典例题.docx

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椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆的基本知识

1．椭圆的定义：

把平面内与两个定点

的距离之和等于常数（大于

）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（设为2c）.

2.椭圆的标准方程：

（

＞

＞0）

（

＞

＞0）

焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0）不必考虑焦点位置，求出方程

3.求轨迹方程的方法:

定义法、待定系数法、相关点法、直接法

解:

（相关点法）设点M（x,y）,点P（x0,y0）,

则x＝x0,y＝

得x0＝x，y0＝2y.

∵x02＋y02＝4,得x2＋（2y）2＝4,

即

所以点M的轨迹是一个椭圆.

4.范围.x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．

椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．

5.椭圆的对称性

椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．

原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

6.顶点只须令x＝0，得y＝±b，点B1（0,－b）、B2（0,b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a,0）、A2（a,0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：

A1（－a,0）、A2（a,0）、B1（0,－b）、B2（0,b）．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．

线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.

长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.a叫做椭圆的

长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．

|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．

在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，

即c2＝a2－b2．

7.椭圆的几何性质：

椭圆的几何性质可分为两类：

一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要

的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出

的有关性质。

总结如下：

几点说明：

（1）长轴：

线段

，长为

；短轴：

线段

，长为

；焦点在长轴上。

（2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0

由于

，所以

越趋近于1，

越趋近于

，椭圆越扁平；

越趋近于0，

越趋近于

，椭圆越圆。

（3）观察下图，

，所以

，所以椭圆的离心率e=cos∠OF2B2

8.直线与椭圆：

直线

：

（

、

不同时为0）

椭圆

：

那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？

将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。

方法如下：

消去

得到关于

的一元二次方程，化简后形式如下

，

（1）当

时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；

（2）当

时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）；

（3）当

时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。

注：

当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为

，那么线段

的长度（即弦长）为

，设直线的斜率为

，

可得：

，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。

椭圆典型例题

例1已知椭圆

的一个焦点为（0，2）求

的值．

分析：

把椭圆的方程化为标准方程，由

，根据关系

可求出

的值．

解：

方程变形为

．因为焦点在

轴上，所以

，解得

．

又

，所以

，

适合．故

．

例2已知椭圆的中心在原点，且经过点

，

，求椭圆的标准方程．

分析：

因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数

和

（或

和

）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：

当焦点在

轴上时，设其方程为

．

由椭圆过点

，知

．又

，代入得

，

，故椭圆的方程为

．

当焦点在

轴上时，设其方程为

．

由椭圆过点

，知

．又

，联立解得

，

，故椭圆的方程为

．

例3

的底边

，

和

两边上中线长之和为30，求此三角形重心

的轨迹和顶点

的轨迹．

分析：

（1）由已知可得

，再利用椭圆定义求解．

（2）由

的轨迹方程

、

坐标的关系，利用代入法求

的轨迹方程．

解：

（1）以

所在的直线为

轴，

中点为原点建立直角坐标系．设

点坐标为

，由

，知

点的轨迹是以

、

为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因

，

，有

，

故其方程为

．

（2）设

，

，则

．①

由题意有

代入①，得

的轨迹方程为

，其轨迹是椭圆（除去

轴上两点）．

例4已知

点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点

到两焦点的距离分别为

和

，过

点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

解：

设两焦点为

、

，且

，

．从椭圆定义知

．即

．

从

知

垂直焦点所在的对称轴，所以在

中，

，

可求出

，

，从而

．

∴所求椭圆方程为

或

．

例5已知椭圆方程

，长轴端点为

，

，焦点为

，

，

是椭圆上一点，

，

．求：

的面积（用

、

、

表示）．

分析：

求面积要结合余弦定理及定义求角

的两邻边，从而利用

求面积．

解：

如图，设

，由椭圆的对称性，不妨设

，由椭圆的对称性，不妨设

在第一象限．由余弦定理知：

·

．①

由椭圆定义知：

②，则

得

．

故

．

例6已知动圆

过定点

，且在定圆

的内部与其相内切，求动圆圆心

的轨迹方程．

分析：

关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：

如图所示，设动圆

和定圆

内切于点

．动点

到两定点，

即定点

和定圆圆心

距离之和恰好等于定圆半径，

即

．∴点

的轨迹是以

，

为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为

的椭圆的方程：

．

说明：

本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

例7已知椭圆

（1）求过点

且被

平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过

引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点

、

，

为原点，且有直线

、

斜率满足

，

求线段

中点

的轨迹方程．

分析：

此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：

设弦两端点分别为

，

，线段

的中点

，则

①－②得

．

由题意知

，则上式两端同除以

，有

，

将③④代入得

．⑤

（1）将

，

代入⑤，得

，故所求直线方程为：

．⑥

将⑥代入椭圆方程

得

，

符合题意，

为所求．

（2）将

代入⑤得所求轨迹方程为：

．（椭圆内部分）

（3）将

代入⑤得所求轨迹方程为：

．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得：

，⑦，将③④平方并整理得

，⑧，

，⑨

将⑧⑨代入⑦得：

，⑩

再将

代入⑩式得：

，即

．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例8已知椭圆

及直线

．

（1）当

为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为

，求直线的方程．

解：

（1）把直线方程

代入椭圆方程

得

，

即

．

，解得

．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为

，

，由

（1）得

，

．

根据弦长公式得：

．解得

．方程为

．

说明：

处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式

；解决弦长问题，一般应用弦长公式．

用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例9以椭圆

的焦点为焦点，过直线

上一点

作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点

应在何处？

并求出此时的椭圆方程．

分析：

椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

解：

如图所示，椭圆

的焦点为

，

．

点

关于直线

的对称点

的坐标为（－9，6），直线

的方程为

．

解方程组

得交点

的坐标为（－5，4）．此时

最小．

所求椭圆的长轴：

，∴

，又

，

∴

．因此，所求椭圆的方程为

．

例10已知方程

表示椭圆，求

的取值范围．

解：

由

得

，且

．

∴满足条件的

的取值范围是

，且

．

说明：

本题易出现如下错解：

由

得

，故

的取值范围是

．

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中

这个条件，当

时，并不表示椭圆．

例11已知

表示焦点在

轴上的椭圆，求

的取值范围．

分析：

依据已知条件确定

的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出

的取值范围．

解：

方程可化为

．因为焦点在

轴上，所以

．

因此

且

从而

．

说明：

（1）由椭圆的标准方程知

，

，这是容易忽视的地方．

（2）由焦点在

轴上，知

，

．（3）求

的取值范围时，应注意题目中的条件

．

例12　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过

和

两点的椭圆方程

分析：

由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

可设其方程为

（

，

），且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

解：

设所求椭圆方程为

（

，

）．由

和

两点在椭圆上可得

即

所以

，

．故所求的椭圆方程为

．

例13已知长轴为12，短轴长为6，焦点在

轴上的椭圆，过它对的左焦点

作倾斜解为

的直线交椭圆于

，

两点，求弦

的长．

分析：

可以利用弦长公式

求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：

（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为

，

，所以

．因为焦点在

轴上，

所以椭圆方程为

，左焦点

，从而直线方程为

．

由直线方程与椭圆方程联立得：

．设

，

为方程两根，所以

，

，

，从而

．

（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为

，设

，

，则

，

．

在

中，

，即

；

所以

．同理在

中，用余弦定理得

，所以

．

（法3）利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程

求出方程的两根

，

，它们分别是

，

的横坐标．

再根据焦半径

，

，从而求出

．

例14　椭圆

上的点

到焦点

的距离为2，

为

的中点，则

（

为坐标原点）的值为A．4　　　B．2　　C．8　　D．

解：

如图所示，设椭圆的另一个焦点为

，由椭圆第一定义得

，所以

，

又因为

为

的中位线，所以

，故答案为A．

说明：

（1）椭圆定义：

平面内与两定点的距离之和等于常数（大于

）的点的轨迹叫做椭圆．

（2）椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即

，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．

例15已知椭圆

，试确定

的取值范围，使得对于直线

，椭圆

上有不同的两点关于该直线对称．

分析：

若设椭圆上

，

两点