62正方形梯形.docx

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62正方形梯形

学员编号：

年级：

初二课时数：

3

学员姓名：

辅导科目：

数学学科教师：

课题

正方形、梯形

授课日期及时段

教学目的

1、回顾并掌握基本的正方形的性质

2、掌握菱形的判定条件

3、熟练使用正方形、菱形的判定解决问题

教学内容

一、上次课问题的解答

二、知识点梳理

（一）平行四边形

1、对边相等且平行；2、对角相等，

3、对角线互相平分；4、中心对称图形，

（二）矩形

1、四个角是直角；2、对角线相等

3、即中心对称又轴对称，对称轴2或4条

（三）菱形

1、四边相等

2、对角线互相垂直，每条都平分一组对角

3、即中心对称又轴对称对称轴2或4条

思考1

平行四边形经过怎样的变化可以成为正方形

思考2

完成平行四边形到正方形的步骤需要哪几个步骤？

满足什么条件的平行四边形是正方形？

有一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形叫做正方形

思考3

完成平行四边形到正方形的步骤需要哪几个步骤？

满足什么条件的平行四边形是正方形？

有一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形叫做正方形

问题：

正方形，矩形，菱形及平行四边形之间的关系如何

例题1已知：

如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O

1、求证：

△ABO是等腰直角三角形。

2、若AO=2,求AB的长

3、若AO=4,求正方形ABCD的面积　　　　　　

答案：

1、证明：

在正方形ABCD中，

AC⊥BD,AO=0.5AC,BO=0.5BD,

且AC=BD

∴∠AOB=90O,且AO=BO

∴△AOB是等腰直角三角形

例题2正方形具有而矩形不一定具有的性质是（B）

（A）四个角相等（B）邻边相等

（C）对角线相等（D）对角互补

思考4

矩形要成为正方形需要什么条件？

一组邻边相等的矩形是正方形

例题3正方形具有而菱形不一定具有的性质是（D）

（A）四条边相等（B）对角线互相垂直平分

（C）对角线平分一组对角（D）对角线相等

思考5

菱形要成为正方形需要什么条件？

一个角是直角的菱形是正方形

例题4已知:

如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.

求证：

四边形DECF是正方形

证明:

∵DF⊥BC,DE⊥AB,

∴∠DEB=∠DFB=90°,

而∠ABC=90°,

∴四边形DEBF是矩形（）,

∵BD平分∠ABC,DF⊥BC,DE⊥AB,

∴DE=DF（）,

∴四边形DECF是正方形（）.

变式

已知：

如图点A’、B’、C’、D’分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'

求证：

四边形A'B'C'D'是正方形

变式

（1）已知：

如图，ABCD和AKLM都是正方形，求证：

MD=KB。

例题5

如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。

等腰梯形的性质

1、等腰梯形在同一底上的两个角相等

2、等腰梯形的两条对角线相等

3、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴

同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。

等腰梯形判定定理：

　在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形．

几何表达式：

　梯形ABCD中，若∠B=∠C，则AB=DC．

例题6如图，已知:

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.求证：

AB＝DC.

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

例题7如图，已知:

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.

求证：

AB＝DC.

证明：

过D作DE∥AB，交BC于E．

则∠DEC=∠B.

∵∠B=∠C，

∴∠C=∠DEC.∴DE=DC.

又∵AD∥BE，DE∥AB，

∴四边形ABED为平行四边形

∴AB=DE.

∴AB=DC.

变式

如图，已知:

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.

求证：

AB＝DC.

证明：

作梯形的高AE、DF

作AE⊥BC于E，DF⊥CB于F.

∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥CB

∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=Rt∠

又∵∠B＝∠C

∴Rt△ABE≌Rt△DFC

∴AB=DC

例题8如图，已知:

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.

求证：

AB＝DC.

证明：

分别延长BA、CD,它们相交于点E

∵AD∥BC，∠B＝

∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C

∴∠EAD=∠EDA

∴EB=EC，EA=ED

∴AB=CD

例9已知：

四边形ABCD是直角梯形，∠B=Rt∠，AB=8cm,AD=24cm,BD=26cm,点P从A出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发，以3cm/s的速度向B运动，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动。

从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD是平行四边形？

成为等腰梯形？

例题10在梯形ABCD中，AD∥BC,AC=BD

求证：

（1）∠DBE=∠ACB

（2）梯形ABCD是等腰梯形

解：

（1）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.

∵AD∥BC,DE∥AC，

∴ACED是平行四边形，∠ACB=∠E

∴DE=AC=BD

∴∠E=∠DBE

∴∠DBE=∠ACB

（2）在△ACB和△DBC中

∵AC=BD,∠ACB=∠DBC，BC=CB

∴△ABC≌△DCB

∴AB=DC

∴ABCD是等腰梯形

三、课内练习

1、求证：

对角互补的梯形的等腰梯形

2、已知：

如图，在矩形ABCD中，E，F是CD边上的两点，且DE=CF，求证：

四边形ABFE是等腰梯形

3、已知：

如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC=BD，AB≠DC，求证：

四边形ABCD是等腰梯形

四、课堂小结

1、等腰梯形的判定方法：

有两腰相等的梯形是等腰梯形

在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形．

２、梯形中常用的辅助线

辅助线的添法：

五、课后作业

1如图,梯形ABCD中,AD∥BC，∠D=70°，∠C=40°AB=4cm,CD=11cm,求BC.

解：

（平移腰）

过B作BE∥AD

则∠1=∠D=70°,DE=AB=4

∵⊿BCE中，∠C=40°∠1=70°

∴∠2=70°

∴CB=CE=CD─DE=11—4=7（cm）

解法2（补三角形）

2、已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，DE⊥CE，求证：

AD+BC=CD。

证明：

（一）延长DE交CB延长线于F，

易证ΔADE≌ΔBFE

∴DE=FE

∵DE⊥CE

∴CD=CF，AD=BF

即CD=CB+BF=CB+AD

证明

（二）构造中位线

取CD的中点F，并连结EF。

∴2EF=AD+BC

RtΔCDE中，2EF=CD

∴CD=AD+BC

3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD且AC=8cm，BD=15cm，则梯形的高=cm.

先用勾股定理求出BE，再用面积法求高DF。

答案：

120/17（cm）

2、梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=54°，∠C=36°，AD=10AB=12，CD=16则BC=。

平移腰后，在RtΔBDE中计算出CE=20，则BC=CE+BE=30（cm）

3、已知：

梯形ABCD中，AB=CD且AC⊥BD，

求证：

梯形的高DE等于它的中位线FG。

证明：

过D点作DH∥AC交BC延长线于H点，

∵AD∥BC，AC⊥BD

∴CH=AD，BD⊥DHAC=DH

即ΔBDH为等腰直角三角形

∴DE=½BH=½（BC+AD）

∵FG=½（AD+BC）

∴DE=FG