人教版八年级下册《勾股定理》拔高练习.docx

人教版八年级下册《勾股定理》拔高练习.docx

《人教版八年级下册《勾股定理》拔高练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版八年级下册《勾股定理》拔高练习.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

人教版八年级下册《勾股定理》拔高练习

《勾股定理》拔高练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）下列说法：

①等腰三角形的两底角相等；②角的对称轴是它的角平分线；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；④全等三角形的对应边上的高相等；⑤在直角三角形中，如果有一条直角边长等于斜边长的一半．那么这条直角边所对的角等于30°．以上结论正确的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为24，斜边与一直角边之比为5：

4，则这个直角三角形的面积是（　　）

A．20B．24C．28D．30

3．（5分）如图所示：

已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）

A．4B．8C．64D．16

4．（5分）如图，直角三角形三边上的等边三角形的面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（　　）

A．S1+S2＞S3B．S1+S2＜S3

C．S1+S2＝S3D．S12+S22＞S32

5．（5分）如图，正方形的面积是（　　）

A．5B．7C．25D．10

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）在△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，BC边上的高等于8cm，则BC的长为　　cm．

7．（5分）如图，Rt△ABC的周长为30cm，面积为30cm2，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．则这两个正方形的面积之和为　　cm2

8．（5分）如图，已知AD是Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则BD＝　　．

9．（5分）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为　　．

10．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线BD交AC于D，且BD＝10，点E是AB边上的一动点，则DE的最小值为　　．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于多少？

12．（10分）在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．

（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数；

（2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．

13．（10分）已知：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，

（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：

（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

（本题可根据需要，自己画图并解答）

14．（10分）如图，等腰△ABC的底边BC＝16cm，腰AC＝10cm，AD是底边BC上的高，一动点P从点B出发，沿BC方向以2cms的速度向终点C运动，设运动时间为ts（t＞0）

（1）求AD的长；

（2）当△PAC是等腰三角形时，求t的值．

15．（10分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，

（1）如图△ABC中，AB＝AC＝

，BC＝2，求证：

△ABC是“美丽三角形”；

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2

，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．

《勾股定理》拔高练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）下列说法：

①等腰三角形的两底角相等；②角的对称轴是它的角平分线；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；④全等三角形的对应边上的高相等；⑤在直角三角形中，如果有一条直角边长等于斜边长的一半．那么这条直角边所对的角等于30°．以上结论正确的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据勾股定理，全等三角形的性质定理轴对称图形的概念判断即可．

【解答】解：

等腰三角形的两底角相等，①正确；

角的对称轴是它的角平分线所在的直线，②错误；

成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，③正确；

全等三角形的对应边上的高相等④正确；

在直角三角形中，如果有一条直角边长等于斜边长的一半．那么这条直角边所对的角等于30°，⑤正确；

故选：

D．

【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质，轴对称图形，掌握勾股定理，全等三角形的性质定理轴对称图形的概念是解题的关键．

2．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为24，斜边与一直角边之比为5：

4，则这个直角三角形的面积是（　　）

A．20B．24C．28D．30

【分析】由斜边与一直角边比是5：

4，设斜边是5k，则直角边是4k，根据勾股定理，得另一条直角边是3k，根据题意，求得三边的长，进而得出三角形面积即可．

【解答】解：

设斜边是5k，直角边是4k，

根据勾股定理，得另一条直角边是3k．

∵周长为24，

∴4k+5k+3k＝24，

解得：

k＝2．

∴三边分别是8，6，10．

所以三角形的面积公式＝

，

故选：

B．

【点评】本题考查的是勾股定理，用一个未知数表示出三边，根据已知条件列方程即可，要求能熟练运用勾股定理．

3．（5分）如图所示：

已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）

A．4B．8C．64D．16

【分析】此图是一个勾股图，可得225+A＝289，从而易求A．

【解答】解：

如右图所示，

根据勾股定理，可得

225+A＝289，

∴A＝64．

故选：

C．

【点评】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．

4．（5分）如图，直角三角形三边上的等边三角形的面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（　　）

A．S1+S2＞S3B．S1+S2＜S3

C．S1+S2＝S3D．S12+S22＞S32

【分析】根据等边三角形的面积和勾股定理解答即可．

【解答】解：

设三个等边三角形的边长为a1、a2、a3，

所以三个等边三角形的面积分别为：

，

∵

，

∴S1+S2＝S3，

故选：

C．

【点评】本题主要考查运用勾股定理结合图形求面积之间的关系，关键在于根据题意找出直角三角形，运用勾股定理求出三个等边三角形的边长之间的关系．

5．（5分）如图，正方形的面积是（　　）

A．5B．7C．25D．10

【分析】根据勾股定理得出正方形的边长，进而得出正方形的面积．

【解答】解：

由勾股定理可得：

正方形的边长＝

，

所以正方形的面积＝25，

故选：

C．

【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）在△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，BC边上的高等于8cm，则BC的长为　9或21　cm．

【分析】利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况求出BC的长度．

【解答】解：

过点A作AD⊥BC于D，

由勾股定理得，BD＝

＝15（cm），

CD＝

＝6（cm），

如图1，BC＝CD+BD＝21（cm），

如图2，BC＝BD﹣CD＝9（cm），

故答案为：

9或21．

【点评】本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点在于要分情况讨论．

7．（5分）如图，Rt△ABC的周长为30cm，面积为30cm2，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．则这两个正方形的面积之和为　169　cm2

【分析】根据Rt△ABC的周长为30cm，面积为30cm2，得出三角形的边长，进而解答即可．

【解答】解：

∵Rt△ABC的周长为30cm，面积为30cm2，

∴b+c＝30﹣a，bc＝60，

∴（b+c）2＝b2+c2+2bc＝a2+120＝（30﹣a）2，

解得：

a＝13，

∴两个正方形的面积之和为b2+c2＝a2＝169cm2，

故答案为：

169．

【点评】本题考查了勾股定理的应用．解答此题时，巧妙地运用了完全平方公式的变形来求△ABC的面积．

8．（5分）如图，已知AD是Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则BD＝　5　．

【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，根据勾股定理计算即可

【解答】解：

作DE⊥AB于E，

∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝

＝10，

∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，

∴DE＝DC，AE＝AC＝6，

∴BE＝4，

在Rt△DEB中，DE2＝（8﹣DE）2﹣42，

解得，DC＝DE＝3，

∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，

故答案为：

5．

【点评】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

9．（5分）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为　2　．

【分析】根据勾股定理可知正方形A和C的面积和就是大正方形的面积．同理正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，所以四个正方形的面积和就等于两个大正方形的面积由此即可得出结论．

【解答】解：

∵所有的三角形都是直角三角形，

∴正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，

同理，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，

设最大正方形的边长为x，可得：

四个小正方形的面积＝2×x×x＝8．

解得：

x＝2，

故答案为：

2．

【点评】此题主要考查勾股定理这一知识点，解答此题的关键是熟知勾股定理．

10．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线BD交AC于D，且BD＝10，点E是AB边上的一动点，则DE的最小值为　8　．

【分析】根据勾股定理求出CD，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线求出CD＝DE，代入求出即可．

【解答】解：

在Rt△BCD中，∠C＝90°，BC＝6，BD＝10，由勾股定理得：

CD＝

，

过D作DE⊥AB于E，则此时DE的值最小，

∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，

∴DE＝CD＝8，

故答案为：

8

【点评】本题考查了角平分线性质，勾股定理，垂线段最短的应用，注意：

角平分线上的点到角的两边的距离相等．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于多少？

【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2＝EF2，进而可求出CE2+CF2的值．

【解答】解：

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE＝

∠ACB，∠ACF＝

∠ACD，即∠ECF＝

（∠ACB+∠ACD）＝90°

∴△EFC为直角三角形，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，

∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，

由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．

【点评】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．

12．（10分）在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．

（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数；

（2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得∠CBD的度数；

（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB的长．

【解答】解：

（1）∵在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，

∴∠ABC＝∠C，∠ADB＝90°，

∵∠A＝48°，

∴∠ABC＝∠C＝66°，∠ABD＝42°，

∴∠CBD＝24°；

（2）∵BD⊥AC，

∴∠BDC＝90°，

∵BC＝15，BD＝12，

∴CD＝9，

设AB＝x，则AD＝x﹣9，

∵∠ADB＝90°，BD＝12，

∴122+（x﹣9）2＝x2，

解得，x＝

，

即AB＝

．

【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

13．（10分）已知：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，

（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：

（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

（本题可根据需要，自己画图并解答）

【分析】

（1）首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：

①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．

（2）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：

①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．

【解答】解：

（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，

∴BC＝4cm．

①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，

∴t＝4÷2＝2s．

②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm，

在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，

在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，

∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，

解得t＝

s．

综上，当t＝2s或

s时，△ABP为直角三角形．

（2）①当BP＝BA＝5时，∴t＝2.5s．

②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，∴t＝4s．

③当PB＝PA时，PB＝PA＝2tcm，CP＝（4﹣2t）cm，AC＝3cm，

在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，

∴（2t）2＝32+（4﹣2t）2，解得t＝

s．

综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝2.5s或4s或

s．

【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．

14．（10分）如图，等腰△ABC的底边BC＝16cm，腰AC＝10cm，AD是底边BC上的高，一动点P从点B出发，沿BC方向以2cms的速度向终点C运动，设运动时间为ts（t＞0）

（1）求AD的长；

（2）当△PAC是等腰三角形时，求t的值．

【分析】

（1）根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长；

（2）当PC＝AC＝10cm，当AP＝CP时，点P在AC的垂直平分线上，当AP＝AC时，点P和点B重合，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质列方程即可得到结论．

【解答】解：

（1）∵等腰△ABC的底边BC＝16cm，AD是底边BC上的高，

∴BD＝CD＝

BC＝8cm，

∵腰AC＝10cm，

∴AD＝

＝6cm；

（2）∵△PAC是等腰三角形，

∴当PC＝AC＝10cm，

∴BP＝BC﹣PC＝6cm，

∵动点P在底边上从点B开始向点C以2cm/s的速度移动，

∴t＝6÷2＝3s．

当AP＝CP时，点P在AC的垂直平分线上，

则△APC∽△BAC，

∴

，

即

，

∴t＝

，

当AP＝AC时，点P和点B重合，

∵t＞0，

∴这种情况不存在，

∴当△PAC是等腰三角形时，t的值是3s或

s．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论是解题的关键．

15．（10分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，

（1）如图△ABC中，AB＝AC＝

，BC＝2，求证：

△ABC是“美丽三角形”；

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2

，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．

【分析】

（1）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据“美丽三角形”的定义证明；

（2）分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算．

【解答】

（1）证明：

过点A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝

BC＝1，

由勾股定理得，AD＝

＝2，

∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；

（2）解：

当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，

BC＝

＝3，

当BC边上的中线AE等于BC时，

AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（

BC）2＝（2

）2，

解得，BC＝4，

综上所述，BC＝3或BC＝4．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．