小学数学鸡兔同笼问题解题思路和方法公式例题附答案.docx

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小学数学鸡兔同笼问题解题思路和方法公式例题附答案

鸡兔同笼问题

【含义】这是古典的算术问题。

已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。

已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】

  第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有  兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

                    假设全都是兔，则有  鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

  第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有  兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

                    假设全都是兔，则有  鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。

通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1：

长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。

数数头有三十五，脚数共有九十四。

请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

  解：

假设35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）  兔数＝35－23＝12（只）

        也可以先假设35只全为鸡，则  兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）  鸡数＝35－12＝23（只）

  答：

有鸡23只，有兔12只。

例2：

2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？

  解：

此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。

“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。

    假设16亩全都是菠菜，则有白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）

  答：

白菜地有10亩。

例3：

李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。

问作业本和日记本各买了多少本？

  解：

此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。

假设45本全都是日记本，则有

      作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）        日记本数＝45－15＝30（本）

  答：

作业本有15本，日记本有30本。

例4：

（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

  解：

假设100只全都是鸡，则有兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）  鸡数＝100－20＝80（只）

  答：

有鸡80只，有兔20只。

例5：

有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？

  解：

假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。

    因此，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）    共有大和尚100－75＝25（人）

  答：

共有大和尚25人，有小和尚75人。

盈亏问题

【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

            如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

                                      参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1：

给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。

问有多少小朋友？

有多少个苹果？

  解：

按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：

（1）有小朋友多少人？

（11＋1）÷（4－3）＝12（人）

（2）有多少个苹果？

3×12＋11＝47（个）

  答：

有小朋友12人，有47个苹果。

例2：

修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。

这条路全长多少米？

  解：

题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知

      原定完成任务的天数为（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）

      这条路全长为300×（22＋4）＝7800（米）

  答：

这条路全长7800米。

例3：

学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。

问有多少车？

多少人？

  解：

本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有

（1）有多少车？

（30－0）÷（45－40）＝6（辆）  

（2）有多少人？

40×6＋30＝270（人）

  答：

有6辆车，有270人。

年龄问题

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

例1：

爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？

明年呢？

  解：

35÷5＝7（倍）    （35+1）÷（5+1）＝6（倍）

  答：

今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2：

母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

  解

（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？

37－7＝30（岁）  

（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

30÷（4－1）－7＝3（年）

      列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

  答：

3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例3：

3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？

  解：

今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，今年二人的年龄和为49＋3×2＝55（岁）

    把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为55÷（4＋1）＝11（岁）

    今年父亲年龄为11×4＝44（岁）

  答：

今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。

例4：

甲对乙说：

“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。

乙对甲说：

“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。

求甲乙现在的岁数各是多少？

  解：

这里涉及到三个年份：

过去某一年、今年、将来某一年。

列表分析：

过去某一年  

今年  

将来某一年  

甲  

    □岁  

△岁  

    61岁  

乙  

    4岁  

□岁  

  △岁  

    表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。

    因为两个人的年龄差总相等：

□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，

    因此二人年龄差为（61－4）÷3＝19（岁）    

    甲今年的岁数为△＝61－19＝42（岁）      乙今年的岁数为□＝42－19＝23（岁）

  答：

甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。

     归总问题

【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。

所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】1份数量×份数＝总量 

            总量÷1份数量＝份数

            总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1：

服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。

原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

    解

（1）这批布总共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）

      列成综合算式3.2×791÷2.8＝904（套） 

  答：

现在可以做904套。

例2：

小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。

小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？

  解

（1）《红岩》这本书总共多少页？

24×12＝288（页）

（2）小明几天可以读完《红岩》？

288÷36＝8（天）

      列成综合算式24×12÷36＝8（天）  

  答：

小明8天可以读完《红岩》。

例3：

食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。

后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？

  解

（1）这批蔬菜共有多少千克？

50×30＝1500（千克）

（2）这批蔬菜可以吃多少天？

1500÷（50＋10）＝25（天）

      列成综合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）

  答：

这批蔬菜可以吃25天。

   归一问题

【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。

这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量÷份数＝1份数量  

            1份数量×所占份数＝所求几份的数量 

            另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1：

买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

  解：

（1）买1支铅笔多少钱？

0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱？

0.12×16＝1.92（元）

      列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

  答：

需要1.92元。

例2：

3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？

  解：

（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？

90÷3÷3＝10（公顷）

（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？

10×5×6＝300（公顷）

      列成综合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）

  答：

5台拖拉机6天耕地300公顷。

例3：

5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？

  解：

（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？

100÷5÷4＝5（吨）

（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？

5×7＝35（吨）

    （3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？

105÷35＝3（次）

      列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

  答：

需要运3次。