上苏教版8年级数学第二章轴对称图形讲义及答案.docx
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上苏教版8年级数学第二章轴对称图形讲义及答案
2014上苏教版8年级数学第二章（轴对称图形）讲义及答案
8年级上学期数学讲义04（第二章轴对称图形）
单元测试
一、选择题．
1．（3分）有下列图形：
（1）两个点；
（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线．其中轴对称图形共有（ ）
A．
3个
B．
4个
C．
5个
D．
6个
2．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．
△ABC的三条中线的交点
B．
△ABC三边的中垂线的交点
C．
△ABC三条角平分线的交点
D．
△ABC三条高所在直线的交点
3．（3分）如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（ ）
A．
4
B．
5
C．
6
D．
8
4．（3分）（2012•抚顺一模）如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（ ）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
5．（3分）（2008•南宁）如图，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：
（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）；
（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；
（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（ ）
A．
60°
B．
67.5°
C．
72°
D．
75°
6．（3分）如图，已知AD=AB=BC，若设∠1=x，∠2=y，那么x与y的关系是（ ）
A．
3x﹣y=180°
B．
3x+y=180°
C．
2x+y=180°
D．
x+3y=180°
二、填空题
7．（3分）下列语句中
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；
②一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；
③两个能重合的图形一定关于某条直线对称；
④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．
正确的序号有 _________ ．
8．（3分）已知∠AOB=45°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是 _________ ．
9．（3分）△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D，E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有 _________ 个．
10．（3分）已知，在△ABC中，AB=AC=12cm，DE垂直平分AB交AC于E．
（1）若BC=5cm，则△BCE的周长是 _________ ；
（2）∠C=70°，则∠EBC= _________ °；
（3）∠EBC=20°，则∠A= _________ °．
11．（3分）如图，已知等边△ABC，AC=AD，且AC⊥AD，垂足为点A，则∠BEC的度数为 _________ ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CE⊥AB，且AC=6，BC=8，则DE的长度是 _________ ．
13．（3分）若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于50°，则其顶角的度数为 _________ ．
若等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于50°，则其顶角的度数为 _________ ．
14．（3分）等腰三角形一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm，底边长为5cm，腰长为 _________ ．
15．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 _________ 个．
三、解答题
16．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
如图1，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等；
（2）若点A、B分别表示2个居民小区，直线l表示公交通道，欲在其旁建1个公交车站，且使从该站到2个小区的总路程最短，应如何确定车站的位置？
请在图2中画出来．
17．利用网格线作图：
在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB=QC．
18．如图，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE．BD和CE有怎样的关系？
请说明理由．
19．如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度数．
20．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？
试说明你的结论．
21．如图，AD是∠BAC的平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F．
试说明：
EC平分∠DEF．
22．在△ABC中，AB≠AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）如图1，写出图中所有的等腰三角形．猜想：
EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图2，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？
如果有，分别指出它们．写出EF与BE、CF关系，并说明理由．
第二单元测试
1，解：
根据轴对称图形的定义可知：
（1）两个点其对称轴是两点连线的垂直平分线，
（2）线段其对称轴是其垂直平分线，
（3）一个角其对称轴是该角的角平分线所在的直线；
（4）一个长方形有2条对称轴，为对边中点的连线，
（5）相交的两条直线，也是轴对称图形，对称轴为两对对顶角的平分线，
（6）两条平行线，也是轴对称图形，
故共有6个轴对称图形．
故选：
D．
2，解：
∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选C．
3，解：
∵∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，
∴∠APO=∠COD．
在△APO和△COD中，
，
∴△APO≌△COD（AAS），
∴AP=CO，
∵CO=AC﹣AO=6，
∴AP=6．
故选C．
4，解：
连BH，如图，
∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，
∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，
而∠1＞60°，
∴∠1≠∠AEH，
∵EB=EH，
∴∠EBH=∠EHB，
又∵点E是AB的中点，
∴EH=EB=EA，
∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
故选B．
5，解：
第一次折叠后，∠EAD=45°，∠AEC=135°；
第二次折叠后，∠AEF=67.5°，∠FAE=45°；
故由三角形内角和定理知，∠AFE=67.5度．
故选B．
6，解：
∵AB=BC，
∴∠B=∠D，
∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵∠1=∠2+∠D=∠2+∠B=∠2+（180°﹣2∠1），
∴3∠1﹣∠2=180°，即3x﹣y=180°．
故选A．
7，解：
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，此选项正确；
②一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，此选项正确；
③两个能重合的图形全等，但不一定关于某条直线对称，此选项错误；
④两个轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，还可以在对称轴上，此选项错误．
故正确的有：
①②．
故答案为：
①②．
8，解：
如图，连接OP，
∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，
∴OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，
∴∠P1OP2=∠BOP1+∠BOP+∠AOP2+∠AOP=2（∠BOP+∠AOP）=2∠AOB，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2×45°=90°，
∴P1，O，P2三点构成的三角形是等腰直角三角形．
故答案为：
等腰直角三角形．
9，解：
∵△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，
∴∠ACB=∠ABC=36°，∠BAC=108°，
∵∠BAD=∠DAE=∠EAC，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=∠ACB=∠ABC，
∴△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ABE，△ACD都是等腰三角形．
故图中等腰三角形有6个．
10，解：
（1）∵DE垂直平分AB交AC于E，
∴AE=BE，
∵BC=5cm，AB=AC=12cm，
∴△BCE的周长是：
BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=5+12=17（cm）；
（2）∵在△ABC中，AB=AC=12cm，
∴∠ABE=∠C=70°，
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠C=40°，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=70°﹣40°=30°；
（3）设∠A=x°，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠A=x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=
=（90﹣
）°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=[（90﹣
）﹣x]°，
∵∠EBC=20°，
∴（90﹣
）﹣x=20，
解得：
x=
，
∴∠A=（
）°．
故答案为：
（1）17，
（2）30，（3）（
）．
11，解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D=
=15°，
∴∠BEC=∠ABD+∠BAC=15°+60°=75°．
故答案为：
75°．
12，解：
如右图，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=100，
∴AB=10，
∵CD是△ABC的中线，
∴DC=
AB=5，
∵S△ABC=
AB•CE=
AC•BC，
∴CE=4.8．
∴DE=
=
，
故答案为：
．
13，解：
（1）①当为锐角三角形时可以画图，
高与右边腰成50°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为40°；
②当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为40°，三角形的顶角为140°．
（2）如图，
①顶角是钝角时，∠B=90°﹣50°=40°，
则顶角=180°﹣2×40°=100°，是钝角，符合；
②顶角是锐角时，∠B=90°﹣50°=40°，
∠A=180°﹣2×40°=100°，是钝角，不符合．
故答案为：
40°或140°；100°．
14，解：
如图，设等腰三角形的腰长是xcm．
当AD+AC与BC+BD的差是3cm时，即
x+x﹣（
x+5）=3
解得：
x=8；
当BC+BD与AD+AC的差是3cm时，即5+
x﹣（
x+x）=3
解得：
x=2（不符合三边关系，舍去）．
故腰长是8cm．
故答案为：
8cm．
15，解：
如图：
分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：
8．
16，解：
（1）如图1所示：
点P就是所求．
（2）如图2所示：
点P就是所求．
17，解：
如图，点P就是所要求作的到AB和AC的距离相等的点，
点Q就是所要求作的使QB=QC的点．
18，证明：
法1：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（等边对等角），
又∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE（等量代换），
在△ABD和△ACE中，
∵
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）；
法2：
过点A作AH⊥BC，垂足为点H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合），
同理可证，DH=EH，
∴BH﹣DH=CH﹣EH，
∴BD=CE．
19，解：
∵AB=AD=CD
∴∠ABD=∠ADB
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠DBC
∴BD为∠B的平分线
∵AD∥BC，AB=AD=CD
∴梯形ABCD为等腰梯形
∴∠B=∠C
∵BD⊥CD
∴
∠C+∠C=90°
∴∠C=60°
20，解：
△APQ为等边三角形．
证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．
21，证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ACD与△AED中，
∵
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=ED，
∴∠DEC=∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠DCE，
∴∠DEC=∠FEC，
∴CE平分∠DEF．
22，解：
（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形
即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；
EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF，
理由是：
∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=BE+CF．
（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形
即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；
EF与BE、CF之间的关系是EF=BE﹣CF，
理由是：
∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE﹣OF=BE﹣CF．
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