华南理工网络教育离散数学同步练习册.docx
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华南理工网络教育离散数学同步练习册
离散数学
同步练习册
学 号＿＿＿＿＿＿＿＿
姓 名＿＿＿＿＿＿＿＿
专 业＿＿＿＿＿＿＿＿
教学中心＿＿＿＿＿＿＿＿
华南理工大学
二O一O年九月
第一章命题逻辑
一填空题
（1）设：
p：
派小王去开会。
q：
派小李去开会。
则命题：
“派小王或小李中的一人去开会”可符号化
为：
p∨q。
（2）设A，B都是命题公式，A⇒B，则A→B的真值是T。
（3）设：
p：
刘平聪明。
q：
刘平用功。
在命题逻辑中，命题：
“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：
﹃p∧﹃q。
（4）设A,B代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为
A→B⇔﹃P∨Q。
（5）设，p：
径一事；q：
长一智。
在命题逻辑中，命题：
“不径一事，不长一智。
”可符号化为：
﹃p→﹃q。
（6）设A,B代表任意的命题公式，则德∙摩根律为
⌝（A∧B）⇔﹃A∨﹃B 。
（7）设，p：
选小王当班长；q：
选小李当班长。
则命题：
“选小王或小李中的一人当班长。
”可符号化为：
（A∧﹃B）∨（﹃A∧B）。
（8）设，P：
他聪明；Q：
他用功。
在命题逻辑中，命题：
“他既聪明又用功。
”可符号化为：
P∧Q。
（9）对于命题公式A，B，当且仅当A→B是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A⇒B
。
（10）设：
P：
我们划船。
Q：
我们跑步。
在命题逻辑中，命题：
“我们不能既划船又跑步。
”可符号化为：
﹃（P∧Q）。
（11）设P,Q是命题公式，德·摩根律为：
⌝（P∨Q）⇔﹃P∧﹃Q。
（12）设P：
你努力。
Q：
你失败。
在命题逻辑中，命题：
“除非你努力，否则你将失败。
”可符号化为：
﹃P→Q。
（13）设p：
小王是100米赛跑冠军。
q：
小王是400米赛跑冠军。
在命题逻辑中，命题：
“小王是100米或400米赛跑冠军。
”可符号化为：
p∨q。
（4）设A，C为两个命题公式，当且仅当A→C为一重言式时，称C可由A逻辑地推出
。
二．判断题
1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A→B⇔⌝A∧B。
（F）
2.命题公式⌝p∧q∧⌝r是析取范式。
（T）
3.陈述句“x+y>5”是命题。
（T）
4.110（p=1,q=1,r=0）是命题公式（（⌝（p∧q））→r）∨q的成真赋值。
（T）
5.命题公式p→（⌝p∧q）是重言式。
（F）
6.设A，B都是合式公式，则A∧B→⌝B也是合式公式。
（F）
7.A∨（B∧C）⇔（A∨B）∨（A∨C）。
（F）
8.陈述句“我学英语，或者我学法语”是命题。
（T）
9.命题“如果雪是黑的，那么太阳从西方出”是假命题。
（T）
10.“请不要随地吐痰！
”是命题。
（F）
11.P→Q⇔⌝P∧Q。
（F）
12.陈述句“如果天下雨，那么我在家看电视”是命题。
（T）
13.命题公式（P∧Q）∨（⌝R→T）是析取范式。
（T）
14.命题公式（P∧⌝Q）∨R∨（⌝P∧Q）是析取范式。
（T）
三、选择题：
在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。
1．设：
P：
天下雪。
Q：
他走路上班。
则命题“只有天下雪，他才走路上班。
”可符号化为
（1）。
（1）P→Q
（2）Q→P
（3）⌝Q→⌝P
（4）Q∨⌝P
2．
（1）明年国庆节是晴天。
（2）在实数范围内，x+y〈3。
（3）请回答这个问题！
（4）明天下午有课吗？
在上面句子中，是命题的只有
（2）。
3．命题公式A与B是等值的，是指（4）。
（1）A与B有相同的命题变元
（2）A↔B是可满足式
（3）A→B为重言式
（4）A↔B为重言式
4．
（1）雪是黑色的。
（2）这朵花多好看呀！
。
（3）请回答这个问题！
（4）明天下午有会吗？
在上面句子中，是命题的是
（1）。
5．设：
P：
天下大雨。
Q：
他乘公共汽车上班。
则命题“只要天下大雨，他就乘公共汽车上班。
”
可符号化为
（2）。
（1）Q→P
（2）P→Q
（3）⌝Q→⌝P
（4）Q∨⌝P
6．设：
P：
你努力；Q：
你失败。
则命题“除非你努力，否则你将失败。
”
在命题逻辑中可符号化为（3）。
（1）Q→P
（2）P→Q
（3）⌝P→Q（4）Q∨⌝P
7．
（1）现在开会吗？
（2）在实数范围内，x+y>5。
（3）这朵花多好看呀！
（4）离散数学是计算机科学专业的一门必修课。
在上面语句中，是命题的只有
（2）。
8．设：
P：
天气好。
Q：
他去郊游。
则命题“如果天气好，他就去郊游。
”
可符号化为
（1）
（1）P→Q
（2）Q→P
（3）⌝Q→⌝P（4）Q∨⌝P
9．下列式子是合式公式的是（4）。
（1）（P∨→Q）
（2）⌝（P→（Q∨R））
（3）（P⌝Q）（4）∧Q→R
10．
（1）1＋101＝110
（2）中国人民是伟大的。
（3）全体起立！
（4）计算机机房有空位吗？
在上面句子中，是命题的是
（1）。
11．设：
P：
他聪明；Q：
他用功。
则命题“他虽聪明但不用功。
”
在命题逻辑中可符号化为（4）。
（1）P∧Q
（2）P→Q
（3）P∨⌝Q（4）P∧⌝Q
12．
（1）如果天气好，那么我去散步。
（2）天气多好呀！
（3）x=3。
（4）明天下午有会吗？
在上面句子中
（1）是命题。
13．设：
P：
王强身体很好；Q：
王强成绩很好。
命题“王强身体很好，成绩也很好。
”在命题逻辑中可符号化为（4）。
（1）P∨Q
（2）P→Q
（3）P∧⌝Q（4）P∧Q
四、解答题
1．设命题公式为（⌝p→q）→（q→⌝p）。
（1）求此命题公式的真值表；
（2）给出它的析取范式；
（3）判断该公式的类型。
（1）
P
q
⌝p
⌝q
⌝p→q
q→⌝p
（⌝p→q）→（q→⌝p）
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
T
F
T
T
（2）（⌝p∧⌝q）∨⌝p∨⌝q
（3）可满足式
2．设命题公式为（p→q）∧（p∨r）。
（1）求此命题公式的真值表；
（2）给出它的析取范式；
（3）判断该公式的类型。
（1）
p
q
r
p→q
p∨r
（p→q）∧（p∨r）
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
（2）（p∧q）∨（⌝p∧r）∨（p∧r）
（3）可满足式
3．设命题公式为⌝Q∧（P→Q）→⌝P。
（1）求此命题公式的真值表；
（2）求此命题公式的析取范式；
（3）判断该命题公式的类型。
（1）
P
Q
⌝P
⌝Q
P→Q
（P→Q）→⌝P
⌝Q∧（P→Q）→⌝P
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
T
T
F
F
（2）⌝P∨（P∧⌝Q）
（3）可满足式
4．完成下列问题
（1）求此命题公式⌝Q∧（P→Q）→⌝P的真值表；
（2）求命题公式（P∧（Q→R））→S的析取范式。
（1）同上表
（2）⌝P∨（Q∧⌝R）∨S
5．设命题公式为（P∧（P→Q））→Q。
（1）求此命题公式的真值表；
（2）判断该公式的类型。
（1）
P
Q
P→Q
P∧（P→Q）
（P∧（P→Q））→Q
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
F
F
T
F
F
（2）可满足式
6．设命题公式为（（P∨Q）∧⌝P）→Q。
（1）求此命题公式的真值表；
（2）给出它的析取范式；
（3）判断该公式的类型。
（1）
P
Q
⌝P
P∨Q
（P∨Q）∧⌝P
（（P∨Q）∧⌝P）→Q
T
T
F
T
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
（2）P∨Q（⌝P∧⌝Q）
（3）重言式
7．用直接证法证明
前提：
P∨Q，P→R，Q→S
结论：
S→R
证明：
8．用直接证法证明
前提：
P→（Q∨R），S→⌝Q，P，S。
结论：
R
证明：
S→⌝Q，S推出⌝Q（假言推论）
P→（Q∨R），P推出Q∨R（假言推论）
⌝Q，Q∨R推出R（析取三段论）
第二章谓词逻辑
一填空题
（1）若个体域是含三个元素的有限域{a，b，c}，则
A（x）⇔A（a）∨A（b）∨A（c）
（2）取全总个体域，令F（x）：
x为人,G（x）：
x爱看电影。
则命题“没有不爱看电影的人。
”可符号化为__⌝（∃x_（F（x）∧⌝_G（x）））_________________________________。
（3）若个体域是含三个元素的有限域{a，b，c}，则
∀xA（x）⇔A（a）∧A（b）∧A（c）。
（4）取全总个体域，令M（x）：
x是人,G（y）：
y是花,H（x,y）：
x喜欢y。
则命题“有些人喜欢所有的花。
”可符号化为_∃x∃y（_M（x）∧H（x,y）∧G（y））_______________________。
（5）取个体域为全体人的集合。
令F（x）：
x在广州工作,G（x）：
x是广州人。
在一阶逻辑中，命题“在广州工作的人未必都是广州人。
”可符号化为_∃x（F（x）∧⌝G（x））____________________________________。
（6）P（x）：
x是学生，Q（x）：
x要参加考试。
在谓词逻辑中，命题：
“每个学生都要参加考试”可符号化为：
∀x（P（x）→Q（x））。
（7）M（x）：
x是人，B（x）：
x勇敢。
则命题“有人勇敢，但不是所有的人都勇敢”谓词符号化为_∃x（M（x）∧B（x））∧⌝（∀x（M（x）→B（x）））__________________________________________。
（8）P（x）：
x是人，M（x）：
x聪明。
则命题“尽管有人聪明，但不是一切人都聪明”谓词符号化为_∃x（P（x）∧M（x））∧⌝（∀x（P（x）→M（x）））_________________________________________。
（9）I（x）：
x是实数，R（x）：
x是正数，N（x）：
x是负数。
在谓词逻辑中，命题：
“任何实数或是正的或是负的”可符号化为：
∀x（I（x）→R（x）∨R（x）。
（10）P（x）：
x是学生，Q（x）：
x要参加考试。
在谓词逻辑中，命题：
“每个学生都要参加考试”可符号化为：
∀x（P（x）→Q（x））。
（11）令M（x）：
x是大学生,P（y）：
y是运动员,H（x,y）：
x钦佩y。
则命题“有些大学生不钦佩所有运动员。
”可符号化为__∃x∀y（M（x）∧⌝P（y）∧H（x,y））_____________________。
二．判断题
1.设A，B都是谓词公式，则∀xA↔⌝B也是谓词公式。
（T）
2.设c是个体域中某个元素，A是谓词公式，则A（c）⇒∀xA（x）。
（F）
3.∀x∀yA（x,y）⇔∀y∀xA（x,y）。
（T）
4.∀x∃yA（x,y）⇔∃y∀xA（x,y）。
（F）
5.取个体域为整数集，则谓词公式∀x∀y（x⨯y=y）是假命题。
（T）
6.（∀x）（P（x）→Q（x））⇔（∀x）（⌝P（x）∨Q（x））。
（T）
7.命题公式（P∧⌝Q∨R）∨（⌝P∧Q）是析取范式。
（F）
8.谓词公式（∀x）（A（x）→B（x,y））∧R（x）的自由变元为x,y。
（F）
9.（（∀x）A（x）→B）⇔（∃x）（A（x）→B）。
（F）
10.R（x）：
“x是大学生。
”是命题。
（T）
三、选择题：
在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。
1．设F（x）：
x是火车，G（x）：
x是汽车，H（x，y）：
x比y快。
命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是
（2）。
（1）∃y（G（y）→∀x（F（x）∧H（x，y）））
（2）∃y（G（y）∧∀x（F（x）→H（x，y）））
（3）∀x∃y（G（y）→（F（x）∧H（x，y）））
（4）∃y（G（y）→∀x（F（x）→H（x，y）））
2．设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（3）。
（1）∃y∀x（x–y=2）
（2）∀x∀y（x–y=2）
（3）∀x∃y（x–y=2）
（4）∃x∀y（x–y=2）
3．设F（x）：
x是人，G（x）：
x早晨吃面包。
命题“有些人早晨吃面包”在谓词逻辑中的符号化公式是（4）。
（1）（∀x）（F（x）→G（x））
（2）（∀x）（F（x）∧G（x））
（3）（∃x）（F（x）→G（x））
（4）（∃x）（F（x）∧G（x））
5．下列式子中正确的是（4）。
（1）⌝（∀x）P（x）⇔（∃x）P（x）
（2）⌝（∀x）P（x）⇔（∀x）⌝P（x）
（3）⌝（∃x）P（x）⇔（∃x）⌝P（x）
（4）⌝（∃x）P（x）⇔（∀x）⌝P（x）
6．下面谓词公式是永真式的是 （d） 。
a）P（x）→Q（x）
b）（∀x）P（x）→（∃x）P（x）
c）P（a）→（∀x）P（x）
d）⌝P（a）→（∃x）P（x）
5．设S（x）：
x是运动员，J（y）：
y是教练员，L（x，y）：
x钦佩y。
命题“所有运动员都钦佩一些教练员”的符号化公式是（c）。
a）∀x（S（x）∧∀y（J（y）∧L（x，y）））
b）∀x∃y（S（x）→（J（y）→L（x，y）））
c）∀x（S（x）→∃y（J（y）∧L（x，y）））
d）∃y∀x（S（x）→（J（y）∧L（x，y）））
6．下列式子是合式公式的是
（2）。
（1）（P∨→Q）
（2）⌝（P∧（Q∨R））
（3）（P⌝Q）（4）∧Q→∧R
7．下列式子中正确的是（4）。
（1）⌝（∀x）P（x）⇔（∃x）P（x）
（2）⌝（∀x）P（x）⇔（∀x）⌝P（x）
（3）⌝（∃x）P（x）⇔（∃x）⌝P（x）
（4）⌝（∃x）P（x）⇔（∀x）⌝P（x）
四、解答题
1．构造下面推理的证明：
前提：
∃xF（x）→∀y（（F（y）∨G（y））→R（y）），
∃xF（x）。
结论：
∃xR（x）。
2．在一阶逻辑中构造下面推理的证明
每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。
每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。
有的人不喜欢骑自行车。
因而有的人不喜欢步行。
令F（x）：
x喜欢步行。
G（x）：
x喜欢坐汽车。
H（x）：
x喜欢骑自行车。
∀x（F（x）→⌝G（x））,∀x（G（x）∨H（x））,∃x⌝H（x）⇒∃x⌝F（x）
XX文库-让每个人平等地提升自我
3．在命题逻辑中构造下面推理的证明：
如果他是理科学生，他必须学好数学。
如果他不是文科学生，他必是理科学生。
他没学好数学，所以他是文科学生。
4．用直接证法证明：
前提：
（∀x）（C（x）→W（x）∧R（x）），（∃x）（C（x）∧Q（x））
结论：
（∃x）（Q（x）∧R（x））。
第三章集合与关系
一填空题
（1）如果|A|＝n，那么|A×A|＝ n*n 。
A上的二元关系有___2
_____个。
（2）集合A上关系R的自反闭包r（R）=___________________。
（3）设集合A上的关系R和S，R={（1，2），（1，3），（3，2）}，S={（1,3），（2，1），（3，2）}，则S◦R={（2,2）,（1，2）}。
（4）如果|A|＝n，那么|P（A）|＝ 。
（5）设集合A上的关系R和S，R={<1，2>，<2，1>，<3，4>，<4，3>}，S={<1，3>，<3，1>，<2，4>，<4，2>}，则R◦S={<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>}。
（6）设集合E={a,b,c}，E的幂集P（E）＝{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}___________________________。
（7）设R是定义在集合X上的二元关系，如果对于每个x,y∈X，
______________________，则称集合X上的关系R是对称的。
（8）设关系R和S为，R={<1，2>，<3，4>，<2，2>}，S={<4，2>，<2，5>，<3，1>，<1，3>}，则R◦S=__________________________。
（9）设R是定义在集合X上的二元关系，如果对于每个x,y∈X，
______________________，则称集合X上的关系R是自反的。
二．判断题
1．设A、B、C为任意的三个集合，则A×（B×C）=A×（B×C）。
（）
2．设S，T是任意集合，如果S-T=∅，则S=T。
（）
3．集合A={1,2,3,4}上的关系{<1,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}是一个函数。
（）
4．集合A={1，2，3，4}上的整除关系是等价关系。
（）
5．集合A的幂集P（A）上的包含关系是偏序关系。
（）
6．设A={a,b,c},R∈A×A且R={,},则R是传递的。
（）
6．设A，B是任意集合，如果B≠∅，则A–B≠A。
（）
7．集合A={1,2,3}上的关系{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}是传递的。
（）
8．集合A={1，2，3，4}上的小于关系是等价关系。
（）
9．关系{∣x1,x2∈N,x1+x2<6}能构成一个函数。
（）
10．集合A上的恒等关系是偏序关系。
（）
11．集合A={1,2,3}上的关系S={<1,1>,<1,2>,<3,2>,<3,3>}是自反的。
（）
12．设X={1,2,3},Y={a,b,c}。
函数F={<1,a>,<2,c>,<3,b>}是双射。
（）
13．集合A上的关系R的自反闭包r（R）=R∪IA。
（）
14．集合A上的偏序关系R是自反的、对称的、传递的。
（）
15.设A，B是任意集合，则A⊕B＝（A-B）∪（B-A）。
（）
三、选择题：
在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。
1．设A={a，b，c}，B={a，b}，则下列命题不正确的是。
a）A－B={a，b}
b）A∩B={a，b}
c）A⊕B={c}
d）B⊆A
2．设A={a,b,c,d},A上的关系R={,,,}，则它的对称闭包为 。
a）R={,,,,,,}，
b）R={,,,,}，
c）R={,,,,,}，
d）R={,,,,,}，
3．对于集合{1,2,3,4}上的关系是偏序关系的是。
a）R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}
b）R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,1>,<2,4>,<3,1>,<3,4>,<4,4>}
c）R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,4>}
d）R={<2,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<4,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}
4．设A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9，10}，以下哪个关系是从A到B的单射函数。
a）f={<1，7>，<2，6>，<3，5>，<1，9>，<5，10>}
b）f={<1，8>，<2，6>，<3，7>，<4，9>，<5，10>}
c）f={<1，7>，<2，6>，<3，5>，<4，6>}
d）f={<1，10>，<2，6>，<3，7>，<4，8>，<5，10>}
5．设A={a,b,c}，要使关系{,,,}∪R具有对称性，则。
a）R={,}
b）R={,}
c）R={,}
d）R={,}
6．设S={Φ，{1}，{1，2}}，则S的幂集P（S）有个元素
（1）3
（2）6（3）7（4）8
7．设R为定义在集合A上的一个关系，若R是，则R为等价关系。
（1）反自反的，对称的和传递的
（2）自反的，对称的和传递的
（3）自反的，反对称的和传递的（4）对称的，反对称的和传递的
8．设S，T，M为任意集合，下列命题正确的是。
a）如果S∪T=S∪M，则T=M
b）如果S-T=Φ，则S=T
c）S-T⊆S
d）S⊕S=S
9．设A={a,b,c}，要使关系{,,
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