全国卷二理科数学.docx
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全国卷二理科数学
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
（）
A．
B．
C．
D．
2.设集合
，
．若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）
A．
B．
C．
D．
5.设
，
满足约束条件
，则
的最小值是（）
A．
B．
C．
D．
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）
A．12种B．18种C．24种D．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：
你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的
，则输出的
（）
A．2B．3C．4D．5
9.若双曲线
（
，
）的一条渐近线被圆
所截得的弦长为2，则
的离心率为（）
A．2B．
C．
D．
10.已知直三棱柱
中，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
11.若
是函数
的极值点，则
的极小值为（）
A.
B.
C.
D.1
12.已知
是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
的最小值是（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为
，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取
次，
表示抽到的二等品件数，则
．
14.函数
（
）的最大值是．
15.等差数列
的前
项和为
，
，
，则
．
16.已知
是抛物线
的焦点，
是
上一点，
的延长线交
轴于点
．若
为
的中点，则
．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
的内角
的对边分别为
已知
．
（1）求
（2）若
面积为2,求
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：
kg）某频率直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：
旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面三角形BCD，
E是PD的中点
（1）证明：
学|科网直线
平面PAB
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为
，求二面角M-AB-D的余弦值
20.（12分）
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：
上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足
.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=-3上，且
.证明：
过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.（12分）
已知函数
且
.
（1）求a；
（2）证明：
存在唯一的极大值点
，且
.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）M为曲线
上的动点，点P在线段OM上，且满足
求点P的轨迹
的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为
，点B在曲线
上，求
面积的最大值．
23.[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知
，证明：
（1）
；
（2）
．
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
理科数学解析
1．D
【解析】
2．C
【解析】1是方程
的解，
代入方程得
∴
的解为
或
，∴
3．B
【解析】设顶层灯数为
，
，
，解得
．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线
取到点
时，所求
最小值为
．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】
，
，
代入循环得，
时停止循环，
．
9．A
【解析】取渐近线
，化成一般式
，圆心
到直线距离为
得
，
，
．
10．C
【解析】
，
，
分别为
，
，
中点，则
，
夹角为
和
夹角或其补角（异面线所成角为
）
可知
，
，
作
中点
，则可知
为直角三角形．
，
中，
，
则
，则
中，
则
中，
又异面线所成角为
，则余弦值为
．
11．A
【解析】
，
则
，
则
，
，
令
，得
或
，
当
或
时，
，
当
时，
，
则
极小值为
．
12．B
【解析】几何法：
如图，
（
为
中点），
则
，
要使
最小，则
，
方向相反，即
点在线段
上，
则
，
即求
最大值，
又
，
则
，
则
．
解析法：
建立如图坐标系，以
中点为坐标原点，
∴
，
，
．
设
，
，
，
，
∴
则其最小值为
，此时
，
．
13．
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中
，
则
14．
【解析】
令
且
则当
时，
取最大值1．
15．
【解析】设
首项为
，公差为
．
则
求得
，
，则
，
16．
【解析】
则
，焦点为
，准线
，
如图，
为
、
中点，
故易知线段
为梯形
中位线，
∵
，
，
∴
又由定义
，
且
，
∴
17.
【解析】
（1）依题得：
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
（2）由⑴可知
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
18．
【解析】
（1）记：
“旧养殖法的箱产量低于
”为事件
“新养殖法的箱产量不低于
”为事件
而
（2）
箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由计算可得
的观测值为
∵
∴
∴有
以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）
，
，
，∴中位数为
．
19．【解析】
（1）令
中点为
，连结
，
，
．
∵
，
为
，
中点，∴
为
的中位线，∴
．
又∵
，∴
．
又∵
，∴
，∴
．
∴四边形
为平行四边形，∴
．
又∵
，∴
（2）以
中点
为原点，如图建立空间直角坐标系．
设
，则
，
，
，
，
，
．
在底面
上的投影为
，∴
．∵
，
∴
为等腰直角三角形．
∵
为直角三角形，
，∴
．
设
，
，
．∴
．
．∴
．
∴
，
，
．设平面
的法向量
．
，∴
，
．设平面
的法向量为
，
．
∴
．
∴二面角
的余弦值为
．
20．
【解析】⑴设
，易知
又
∴
，又
在椭圆上．
∴
，即
．
⑵设点
，
，
，
由已知：
，
，
∴
，
∴
．
设直线
：
，
因为直线
与
垂直．
∴
故直线
方程为
，
令
，得
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
若
，则
，
，
，
直线
方程为
，直线
方程为
，
直线
过点
，为椭圆
的左焦点．
21．
【解析】⑴因为
，
，所以
．
令
，则
，
，
当
时，
，
单调递减，但
，
时，
；
当
时，令
，得
．
当
时，
，
单调减；当
时，
，
单调增．
若
，则
在
上单调减，
；
若
，则
在
上单调增，
；
若
，则
，
．
综上，
．
⑵
，
，
．
令
，则
，
．
令
得
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增．
所以，
．
因为
，
，
，
，
所以在
和
上，
即
各有一个零点．
设
在
和
上的零点分别为
，因为
在
上单调减，
所以当
时，
，
单调增；当
时，
，
单调减．因此，
是
的极大值点．
因为，
在
上单调增，所以当
时，
，
单调减，
时，
单调增，因此
是
的极小值点．
所以，
有唯一的极大值点
．
由前面的证明可知，
，则
．
因为
，所以
，则
又
，因为
，所以
．
因此，
．
22．
【解析】⑴设
则
．
解得
，化为直角坐标系方程为
．
⑵连接
，易知
为正三角形．
为定值．
∴当高最大时，
面积最大，
如图，过圆心
作
垂线，交
于
点
交圆
于
点，
此时
最大
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：
当且仅当
，即
时取等号．
⑵∵
∴
∴
∴
∴
由均值不等式可得：
∴
∴
∴
∴
当且仅当
时等号成立．
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