同济第六版高数第01章函数与极限教案与习题讲解1.docx
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同济第六版高数第01章函数与极限教案与习题讲解1
第一章函数与极限
教学目的：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：
1、复合函数及分段函数的概念；
2、基本初等函数的性质及其图形；
3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；
4、两个重要极限；
5、无穷小及无穷小的比较；
6、函数连续性及初等函数的连续性；
7、区间上连续函数的性质。
教学难点：
1、分段函数的建立与性质；
2、左极限与右极限概念及应用；
3、极限存在的两个准则的应用；
4、间断点及其分类；
5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1.1映射与函数
一、集合
1.集合概念
集合（简称集）:
集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.
元素:
组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aM.
集合的表示:
列举法:
把集合的全体元素一一列举出来.
例如A{a,b,c,d,e,f,g}.
描述法:
若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为
A{a1,a2,,an},
M{x|x具有性质P}.
例如M{（x,y）|x,y为实数,x2y21}.
几个数集:
N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.
N{0,1,2,,n,}.N{1,2,,n,}.
R表示所有实数构成的集合,称为实数集.
Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.
Z{,n,,2,1,0,1,2,,n,}.
Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.
子集:
若xA,则必有xB,则称A是B的子集,记为AB（读作A包含于B）或BA.
如果集合A与集合B互为子集,AB且BA,则称集合A与集合B相等,记作AB.
若AB且AB,则称A是B的真子集,记作A
B.例如,N
Z
Q
R.
不含任何元素的集合称为空集,记作.规定空集是任何集合的子集.
2.集合的运算
设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集（简称并）,记作AB,即
AB{x|xA或xB}.
设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（简称交）,记作AB,即
AB{x|xA且xB}.
设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集（简称差）,记作A\B,即
A\B{x|xA且xB}.
如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作AC.
集合运算的法则:
设A、B、C为任意三个集合,则
（1）交换律ABBA,ABBA;
（2）结合律（AB）CA（BC）,（AB）CA（BC）;
（3）分配律（AB）C（AC）（BC）,（AB）C（AC）（BC）;
（4）对偶律（AB）CACBC,（AB）CACBC.
（AB）CACBC的证明:
x（AB）CxABxA且xBxAC且xBCxACBC,所以（AB）CACBC.
直积（笛卡儿乘积）:
设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对（x,y）,把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为AB,即
AB{（x,y）|xA且yB}.
例如,RR{（x,y）|xR且yR}即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.
3.区间和邻域
有限区间:
设a（a,b）{x|a类似地有
[a,b]{x|axb}称为闭区间,
[a,b）{x|ax其中a和b称为区间（a,b）、[a,b]、[a,b）、（a,b]的端点,ba称为区间的长度.
无限区间:
[a,）{x|ax},（,b]{x|x区间在数轴上的表示:
邻域:
以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U（a）.
设是一正数,则称开区间（a,a）为点a的邻域,记作U（a,）,即
U（a,）{x|a{x||xa|<}.
其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径.
去心邻域
（a,）:
（a,）{x|0<|xa|<}
二、映射
1.映射的概念
定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作
f:
XY,
其中y称为元素x（在映射f下）的像,并记作f（x）,即
yf（x）,
而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df,即
DfX;
X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf,或f（X）,即
Rff（X）{f（x）|xX}.
需要注意的问题:
（1）构成一个映射必须具备以下三个要素:
集合X,即定义域DfX;集合Y,即值域的范围:
RfY;对应法则f,使对每个xX,有唯一确定的yf（x）与之对应.
（2）对每个xX,元素x的像y是唯一的;而对每个yRf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集,即RfY,不一定RfY.
例1设f:
RR,对每个xR,f（x）x2.
显然,f是一个映射,f的定义域DfR,值域Rf{y|y0},它是R的一个真子集.对于Rf中的元素y,除y0外,它的原像不是唯一的.如y4的原像就有x2和x2两个.
例2设X{（x,y）|x2y21},Y{（x,0）||x|1},f:
XY,对每个（x,y）X,有唯一确定的（x,0）Y与之对应.
显然f是一个映射,f的定义域DfX,值域RfY.在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[1,1]上.
（3）f:
[1,1],对每个x
f（x）sinx.
f是一个映射,定义域Df
值域Rf[1,1].
满射、单射和双射:
设f是从集合X到集合Y的映射,若RfY,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1x2,它们的像f（x1）f（x2）,则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射（或双射）.
上述三例各是什么映射？
2.逆映射与复合映射
设f是X到Y的单射,则由定义,对每个yRf,有唯一的xX,适合f（x）y,于是,我们可定义一个从Rf到X的新映射g,即
g:
RfX,
对每个yRf,规定g（y）x,这x满足f（x）y.这个映射g称为f的逆映射,记作f1,其定义域
Rf,值域
X.
按上述定义,只有单射才存在逆映射.上述三例中哪个映射存在逆映射？
设有两个映射
g:
XY1,f:
Y2Z,
其中Y1Y2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个xX映射成f[g（x）]Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fog,即
fog:
XZ,
（fog）（x）f[g（x）],xX.
应注意的问题:
映射g和f构成复合映射的条件是:
g的值域Rg必须包含在f的定义域内,RgDf.否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fog有意义并不表示gof也有意义.即使fog与gof都有意义,复映射fog与gof也未必相同.
例4设有映射g:
R[1,1],对每个xR,g（x）sinx,
映射f:
[1,1][0,1],对每个u[1,1],
.
则映射g和f构成复映射fog:
R[0,1],对每个xR,有
.
三、函数
1.函数概念
定义设数集DR,则称映射f:
DR为定义在D上的函数,通常简记为
yf（x）,xD,
其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即DfD.
应注意的问题:
记号f和f（x）的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f（x）,xD”或“y=f（x）,xD”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.
函数符号:
函数yf（x）中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“”等.此时函数就记作y（x）,yF（x）.
函数的两要素:
函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.
函数的定义域:
函数的定义域通常按以下两种情形来确定:
一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.
求定义域举例:
求函数
的定义域.
要使函数有意义,必须x0,且x240.
解不等式得|x|2.
所以函数的定义域为D{x||x|2},或D（,2][2,]）.
单值函数与多值函数:
在函数的定义中，对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,设变量x和y之间的对应法则由方程x2y2r2给出.显然,对每个x[r,r]，由方程x2y2r2,可确定出对应的y值,当xr或xr时,对应y0一个值;当x取（r,r）内任一个值时,对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.
对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2y2r2给出的对应法则中,附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到一个单值分支
;附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到另一个单值分支
.
表示函数的主要方法有三种:
表格法、图形法、解析法（公式法）,这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集
{P（x,y）|yf（x）,xD}
称为函数yf（x）,xD的图形.图中的Rf表示函数yf（x）的值域.
函数的例子:
例.函数
.
称为绝对值函数.其定义域为D（,）,值域为Rf[0,）.
例.函数
.
称为符号函数.其定义域为D（,）,值域为Rf{1,0,1}.
例设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].
函数
y[x]
称为取整函数.其定义域为D（,）,值域为RfZ.
[]3,[1]1,[3.5]4.
分段函数:
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.
例。
函数
.
这是一个分段函数,其定义域为D[0,1]（0,）[0,）.
当0x1时,
;当x>1时,y1x.
例如
;
;f（3）134.
2.函数的几种特性
（1）函数的有界性
设函数f（x）的定义域为D,数集XD.如果存在数K1,使对任一xX,有f（x）K1,则称函数f（x）在X上有上界,而称K1为函数f（x）在X上的一个上界.图形特点是yf（x）的图形在直线yK1的下方.
如果存在数K2,使对任一xX,有f（x）K2,则称函数f（x）在X上有下界,而称K2为函数f（x）在X上的一个下界.图形特点是,函数yf（x）的图形在直线yK2的上方.
如果存在正数M,使对任一xX,有|f（x）|M,则称函数f（x）在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f（x）在X上无界.图形特点是,函数yf（x）的图形在直线yM和yM的之间.
函数f（x）无界,就是说对任何M,总存在x1X,使|f（x）|>M.
例如
（1）f（x）sinx在（,）上是有界的:
|sinx|1.
（2）函数
在开区间（0,1）内是无上界的.或者说它在（0,1）内有下界,无上界.
这是因为,对于任一M>1,总有x1:
使
所以函数无上界.
函数
在（1,2）内是有界的.
（2）函数的单调性
设函数yf（x）的定义域为D,区间ID.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1f（x1）则称函数f（x）在区间I上是单调增加的.
如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1f（x1）>f（x2）,
则称函数f（x）在区间I上是单调减少的.
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
函数单调性举例:
函数yx2在区间（,0]上是单调增加的,在区间[0,）上是单调减少的,在（,）上不是单调的.
（3）函数的奇偶性
设函数f（x）的定义域D关于原点对称（即若xD,则xD）.如果对于任一xD,有
f（x）f（x）,
则称f（x）为偶函数.
如果对于任一xD,有
f（x）f（x）,
则称f（x）为奇函数.
偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称,
奇偶函数举例:
yx2,ycosx都是偶函数.yx3,ysinx都是奇函数,ysinxcosx是非奇非偶函数.
（4）函数的周期性
设函数f（x）的定义域为D.如果存在一个正数l,使得对于任一xD有（xl）D,且
f（xl）f（x）
则称f（x）为周期函数,l称为f（x）的周期.
周期函数的图形特点:
在函数的定义域内,每个长度为l的区间上,函数的图形有相同的形状.
3．反函数与复合函数
反函数:
设函数f:
Df（D）是单射,则它存在逆映射f1:
f（D）D,称此映射f1为函数f的反函数.
按此定义,对每个yf（D）,有唯一的xD,使得f（x）y,于是有
f1（y）x.
这就是说,反函数f1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.
一般地,yf（x）,xD的反函数记成yf1（x）,xf（D）.
若f是定义在D上的单调函数,则f:
Df（D）是单射,于是f的反函数f1必定存在,而且容易证明f1也是f（D）上的单调函数.
相对于反函数yf1（x）来说,原来的函数yf（x）称为直接函数.把函数yf（x）和它的反函数
yf1（x）的图形画在同一坐标平面上,这两个图形关于直线yx是对称的.这是因为如果P（a,b）是yf（x）图形上的点,则有bf（a）.按反函数的定义,有af1（b）,故Q（b,a）是yf1（x）图形上的点;反之,若Q（b,a）是yf1（x）图形上的点,则P（a,b）是yf（x）图形上的点.而P（a,b）与Q（b,a）是关于直线yx对称的.
复合函数:
复合函数是复合映射的一种特例,按照通常函数的记号,复合函数的概念可如下表述.
设函数yf（u）的定义域为D1,函数ug（x）在D上有定义且g（D）D1,则由下式确定的函数
yf[g（x）],xD
称为由函数ug（x）和函数yf（u）构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.
函数g与函数f构成的复合函数通常记为
即
（
）f[g（x）].
与复合映射一样,g与f构成的复合函数
的条件是:
是函数g在D上的值域g（D）必须含在f的定义域Df内,即g（D）Df.否则,不能构成复合函数.
例如,yf（u）arcsinu,的定义域为[1,1],
在
上有定义,且g（D）[1,1],则g与f可构成复合函数
xD;
但函数yarcsinu和函数u2x2不能构成复合函数,这是因为对任xR,u2x2均不在yarcsinu的定义域[1,1]内.
多个函数的复合:
4.函数的运算
设函数f（x）,g（x）的定义域依次为D1,D2,DD1D2,则我们可以定义这两个函数的下列运算:
和（差）fg:
（fg）（x）f（x）g（x）,xD;
积fg:
（fg）（x）f（x）g（x）,xD;
商
:
xD\{x|g（x）0}.
例11设函数f（x）的定义域为（l,l）,证明必存在（l,l）上的偶函数g（x）及奇函数h（x）,使得
f（x）g（x）h（x）.
分析如果f（x）g（x）h（x）,则f（x）g（x）h（x）,于是
.
证作
则f（x）g（x）h（x）,
且
.
5.初等函数
基本初等函数:
幂函数:
yx（R是常数）;
指数函数:
yax（a0且a1）;
对数函数:
ylogax（a0且a1,特别当ae时,记为ylnx）;
三角函数:
ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;
反三角函数:
yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.
初等函数:
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如
ysin2x,
等都是初等函数.
双曲函数:
双曲正弦:
;
双曲余弦:
;
双曲正切:
.
双曲函数的性质:
sh（xy）shxchychxshy;
ch（xy）chxchyshxshy.
ch2xsh2x1;
sh2x2shxchx;
ch2xch2xsh2x.
下面证明sh（xy）shxchy+chxshy:
.
反双曲函数:
双曲函数yshx,ychx（x0）,ythx的反函数依次为
反双曲正弦:
yarshx;
反双曲余弦:
yarchx;
反双曲正切:
yarthx.
反双曲函数的表示达式:
yarshx是xshy的反函数,因此,从
中解出y来便是arshx.令uey,则由上式有
u22xu10.
这是关于u的一个二次方程,它的根为
.
因为uey0,故上式根号前应取正号,于是
.
由于ylnu,故得
.
函数yarshx的定义域为（,）,它是奇函数,在区间（,）内为单调增加的.
类似地可得
.
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